Электромагнитные колебания

1. Лекция 16

5. КОЛЕБАНИЯ И ВОЛНЫ
Электромагнитные колебания.

2.

5.1. Электрический колебательный
контур. Формула Томсона.
5.2.
Свободные
затухающие
колебания.
Добротность
колебательного контура.
5.3.
Вынужденные
электрические
колебания.
Метод
векторных
диаграмм.
5.4.
Резонансные
явления
в
колебательном контуре. Резонанс
напряжений и резонанс токов.

3. 5.1. Электрический колебательный контур. Формула Томсона.

Электромагнитные колебания могут возникать в цепи, содержащей
индуктивность L и емкость C. Такая цепь называется колебательным
контуром. Возбудить колебания в таком контуре можно, например,
предварительно зарядив конденсатор от внешнего источника напряжения,
соединить его затем с катушкой индуктивности.
С
L
Поскольку внешнее напряжение к контуру не приложено, сумма падений
напряжений на емкости и индуктивности должна быть равна нулю в
любой момент времени:
q
dI
C
откуда, учитывая, что сила тока
свободных незатухающих
колебательном контуре
L
dt
0,
, Iполучаем
дифференциальное уравнение
q
колебаний
электрического заряда в
q
1
q 0
LC
.

4.

Если ввести обозначение
0
1
LC
то полученное уравнение принимает вид:
,
q 02 q 0
.
Решением этого уравнения, как известно, является функция
q qm cos( 0 t )
.
Таким образом, заряд на обкладках конденсатора изменяется по
гармоническому закону с частотой ω0, называемой собственной частотой
колебательного контура. Период колебаний определяется по формуле
Томсона (Thomson W., 1824-1907):
T
Напряжение на конденсаторе:
UC
q
2
0
2 LC
q qm
cos( 0 t ) U m cos( 0 t )
,
C C
где U m m - амплитуда напряжения.
C
Сила тока в контуре:
I q 0 q m sin( 0 t ) I m cos( 0 t
2
)
.

5.

Сопоставляя полученные выражения, видим, что когда напряжение на
конденсаторе, а значит энергия электрического поля, обращается в нуль,
сила тока, а, следовательно, энергия магнитного поля, достигает
максимального значения. Таким образом, электрические колебания в
контуре сопровождаются
взаимными превращениями энергий
электрического и магнитного полей.
Амплитуды тока Im
соотношением:
и напряжения Um связаны между собой очевидным
I m 0 qm 0 CU m
C
Um
L
.

6.

Аналогия процессов свободных электрических и механических колебаний
Электрические величины
Заряд конденсатора
Ток в цепи
Индуктивность
Величина, обратная
электроемкости
q (t)
I = dq/dt
L
1/С
Механические величины
Координата
Скорость
x (t)
v = dx/dt
Масса
m
Жесткость
k
kx
Напряжение на
конденсаторе
U = q/C
Упругая сила
Энергия
электрического поля
конденсатора
q2/(2C)
Потенциальная
энергия пружины
kx2/2
Магнитная энергия
катушки
LI2/2
Кинетическая
энергия
mv2/2
Магнитный поток
LI
Импульс
mυ

7. 5.2. Свободные затухающие колебания. Добротность колебательного контура.

Всякий реальный колебательный контур обладает сопротивлением. Энергия электрических
колебаний в таком контуре постепенно расходуется на нагревание сопротивления, переходя в
джоулево тепло, вследствие чего колебания затухают.
С
L
R
Уравнение свободных затухающих колебаний можно получить, исходя из того, что в отсутствии
внешнего источника напряжения, сумма падений напряжений на индуктивности, емкости и
сопротивлении равна нулю для любого момента времени:
L
или, поскольку I q ,
Введя обозначение
этому уравнению можно придать вид:
dI
q
IR 0
dt
C
q
R
1
q
q 0
L
LC
R
.
,
2L
q 2 q 02 q 0 ,
где 2 1 LC
0
.

8.

Решение полученного уравнения имеет вид:
q q0 (t ) cos( t ) , где q0 (t ) qm exp( t )
2
02 2
T
Мы видим, что частота свободных затухающих колебаний ω′ меньше собственной
частоты ω0. Подставив значения ω0 и β, получим:
1
R2
2
LC 4 L
Амплитуда затухающих колебаний заряда конденсатора q0(t) уменьшается со
временем по экспоненциальному закону. Коэффициент β называется
коэффициентом затухания.

9.

Затухание колебаний принято характеризовать декрементом колебаний λ,
определяемым как:
q(t )
ln
T
.
q(t T )
Легко видеть, что декремент колебаний обратен по величине числу колебаний
Ne, совершаемых за время, в течение которого амплитуда колебаний
уменьшается в е раз: λ=1/Ne. Добротностью колебательного контура
называется величина:
Q
N e
T
Из этой формулы видно, что добротность тем выше, чем
меньше
коэффициент затухания β. При малых затуханиях (λ<<1) можно
приближенно считать, что
Q
0
1 L 1 L
2 2
LC R R C .
Амплитуда тока в контуре, как и заряд на конденсаторе, убывает со временем
по закону e-βt. Энергия W, запасенная в контуре, пропорциональна
квадрату амплитуды тока (или квадрату напряжения на конденсаторе).
Следовательно, W убывает со временем по закону e-2βt. Относительное
уменьшение энергии за период колебания Т (при малом затухании) есть:
W W (t ) W (t T )
2
1 e 2 t 2 T
.
W
W (t )
Q
Таким образом, потери энергии в колебательном контуре тем меньше, чем
выше его добротность.

10. 5.3. Вынужденные электрические колебания. Метод векторных диаграмм.

Если в цепь электрического контура, содержащего емкость, индуктивность
и сопротивление, включить источник переменной ЭДС, то в нем, наряду
с собственными затухающими колебаниями, возникнут незатухающие
вынужденные колебания. Частота этих колебаний совпадает с частотой
изменения переменной ЭДС.
Е
~
С
L
R
Чтобы получить уравнение вынужденных колебаний, надо, согласно
второму правилу Кирхгофа, приравнять сумму падений напряжений на
элементах контура приложенной ЭДС:
L
или
dI
q
IR Е 0 cos t
dt
C
q
Lq Rq Е0 cos t
C
где Е0 - амплитуда переменной ЭДС; ω – ее циклическая частота.

11.

Интересующее нас частное решение этого дифференциального уравнения имеет вид:
E0
q t q0 cos t где q 0 ( )
,
1
R 2 ( L
)2
C
R
tg ( )
1
L
C
Решение соответствующего однородного уравнения, как мы видели в п.5.2, представляет собой
свободные затухающие колебания, которые с течением времени становятся исчезающе
малыми, и их можно в дальнейшем не учитывать.
Выпишем формулы для силы тока в цепи и падений напряжений на каждом из элементов
контура.
I (t ) q (t ) I 0 ( ) cos( t )
Сила тока:
,
2
E0
I 0 ( ) q0
1 2
.
R 2 ( L
)
C
По аналогии с законом Ома для полной цепи по постоянному току величину
Z ( ) R 2 ( L
1 2
)
C
называют полным сопротивлением цепи по переменному току. Эта величина
представляет собой модуль комплексного сопротивления Z~( ) R i( L 1 )
,
C
называемого также импедансом цепи. Сопротивление R называют активным
сопротивлением (на нем выделяется тепло). Чисто мнимые сопротивления ωL и
1
называют
соответственно
индуктивным
и
емкостным
реактивными
C
сопротивлениями (на них тепло не выделяется).

12.

Напряжение на сопротивлении R:
U R (t ) RI (t ) U R 0 ( ) cos( t
2
)
U R 0 ( ) RI 0 ( )
,
1 2
R ( L
)
C
2
Напряжение на конденсаторе С:
q(t )
U C (t )
U C 0 ( ) cos( t )
C
E0
U C 0 ( )
,
q0 ( )
C
R
.
E0
C R 2 ( L
1 2 .
)
C
Напряжение на катушке индуктивности L:
U L (t ) I (t ) L q (t ) L U L 0 ( ) cos( t )
,
U L 0 ( ) q0 ( ) 2 L
LE0
R 2 ( L
1 2
)
C
.
Сравнивая написанные формулы, видим, что изменение напряжения на
сопротивлении следует за изменением силы тока в цепи без
отставания или опережения по фазе, изменение напряжение на
конденсаторе отстает по фазе на , а на индуктивности опережает
2
по фазе на 2 изменение тока. Наглядно это можно изобразить с
помощью векторной диаграммы, вещественная ось которой (ось Х)
совпадает с осью токов. Длина каждого вектора на этой диаграмме
дает амплитуду соответствующего напряжения, а угол, который
составляет данный вектор с осью токов – сдвиг фазы по отношению к
изменению силы тока в цепи.

13.

Векторная диаграмма для последовательного RLC-контура.
UL0
E0
φ
UR0
ось токов
X
UC0
Амплитуда суммарного напряжения на всех элементах контура, равная
амплитуде Е0 действующей в контуре ЭДС, является результатом
векторного сложения символических напряжений U R ,U L и U C .
Этот вектор образует с осью токов угол , показывающий
2 равен:
разность фаз между током и ЭДС. Тангенс этого угла
tg tg (
2
)
1
tg
L
R
1
C
.

14. 5.4. Резонансные явления в колебательном контуре. Резонанс напряжений и резонанс токов.

Как следует из приведенных формул, при частоте переменной ЭДС ω,
равной
1
рез 0
,
LC
амплитудное значение силы тока
в колебательном контуре, принимает
E0
максимальное значение I 0 max R . При этом амплитуда напряжения
на активном сопротивлении R также максимальна и равна UR0
=I0maxR =E0. Падения напряжения на емкости UC и индуктивности UL
одинаковы по амплитуде, но противоположны по фазе, и они взаимно
компенсируют друг друга. Это явление, имеющее место в
последовательном колебательном контуре, называется резонансом
напряжений. Векторная диаграмма, соответствующая этому случаю,
показана на рисунке.
UL0
UR0=E0
UC0
X
ось токов

15.

Максимальное значение амплитуды напряжения на конденсаторе UC0(ω)
достигается при частоте
Срез
1
R2
2 02 2 2 0
LC 2 L
.
Резонансные кривые для UC0(ω) представлены на рисунке. Максимум
получается тем выше и острее, чем меньше коэффициент затухания β,
то есть чем меньше активное сопротивление R и больше
индуктивность контура L.

16.

Если источник переменной ЭДС подключить параллельно конденсатору,
то получим колебательный контур, который называется параллельным
RLC-контуром.
Е
ЕЕ
Е
С
L
R
В таком контуре при 0 наблюдается другое резонансное явление,
получившее название резонанса токов. При резонансе токов токи,
текущие через емкость и индуктивность одинаковы по амплитуде, но
противоположны по фазе. При этом общий ток в цепи ЭДС близок к
нулю, хотя токи в самом контуре могут быть очень велики. Векторная
диаграмма, соответствующая этому случаю, приведена на рисунке.
UC0
I0=0
UL0
X
ось напряжений

17.

Можно показать, что при резонансе токов полное сопротивление Z(ω) параллельного
контура максимально и равно чисто активному сопротивлению R. Резонансная
частота, при которой Z(ω) максимально, определяется из условия равенства нулю
1
реактивной части комплексного сопротивления :
1
~
1
Z ( )
i
C
R i L
ωL(1 – ω2LC) – ωCR2 = 0 ,
откуда
рез
1
R2
2 02 4 2 0
LC L
.
Резонансные кривые для амплитудных значений IC0(ω) тока, текущего через
конденсатор, приведены на рисунке.
Резонансные явления в колебательных контурах широко используются в электро- и
радиотехнике (резонансные усилители, частотные фильтры
и другие). В частности, явление резонанса используется
для выделения из сложного сигнала нужной частотной
составляющей. Настроив контур (путем изменения его
параметров C и/или L) на одну из выбранных частот,
можно получить на конденсаторе напряжение, в Q раз
превышающее величину напряжения данной частотной
составляющей. Такой процесс осуществляется, например,
при настройке радиоприемника на нужную длину волны.