Передаточные функции линейных импульсных систем

1. ПЕРЕДАТОЧНЫЕ ФУНКЦИИ ЛИНЕЙНЫХ ИМПУЛЬСНЫХ СИСТЕМ

Цифровые системы автоматического
управления

2. Простейшая импульсная система

X(t)
ИЭ
U(t)
Y(t)
НЧ
ИЭ – амплитудно-импульсный элемент, представляющий
собой устройство, на выходе которого в момент времени
t=0, T, 2T наблюдается последовательность импульсов
произвольной формы с амплитудами, пропорциональными
дискретам входного сигнала [nT]
X
t
X
U*
U*
T
2T
4T
T
2
T
3T

3.

Пусть функция S(t) – задает форму импульса на выходе ИЭ,
соответствующего единичной дискрете входного сигнала,
приложенной в момент времени t=0
Тогда дискрете [nT] соответствует импульс:
U(t) = [nT] S(t-nT).
ИЭ с произвольной формой импульса S(t) можно представить как
последовательное соединение ИИЭ и непрерывного звена с
импульсной переходной функцией S(t)
S(p)=L{S(t))}
звено называют формирующим звеном или экстраполятором
Идеальный ИЭ - звено, выходная величина *(t) которого,
представляет собой последовательность -функций с площадями
равными дискретам входной величины [nT]
X(t)
X*(t)
S(t)
U(t)
3

4.

X(t)
X*(t)
S(t)
U(t)
Реакция на дискрету [nT] последовательного соединения
ИИЭ и непрерывного звена с импульсной переходной
функцией S(t)
Через ИИЭ: X*(t)=X[nT]·δ(t-nT)
Через непрерывное звено, дельта-функция в силу свойства
импульсной переходной характеристики развернется в сигнал
S(t-nT)
На выходе цепочки: U(t) = [nT] S(t-nT).
Т о в линейной импульсной системе с одним ИЭ можно
выделить идеальный ИЭ и непрерывную часть
Если выходная величина АИЭ остается постоянной в течение
всего интервала квантования Т, то соответствующее
формирующее звено называется экстраполятором нулевого
порядка
1 e pT
Его передаточная функция имеет вид: s p p Wý (p)
4

5. Уравнения разомкнутой импульсной системы

АИЭ
НЧ
АИЭ
НЧ
ИИЭ
f
ФЗ
f*
НЧ
у
ПНЧ
Передаточная функция приведенной непрерывной части
W(p)=WЭ(p)*WНЧ(p)
*
f t f t t kT f kT t kT
k 0
k 0
W(p)=L{ (t)}
n
y t f kT t kT
nT≤t≤(n+1)T
В дискретные моменты съема сигнала (t=nT), при нулевых начальных
n
условиях
k 0
y nT f kT n k T
k 0
- уравнение движения системы во временной области
5

6. Уравнение системы в изображениях

n
y nT f kT n k T
k 0
Применяя Z-преобразование, получим: y(z)=F(z)·W(z)
где y(z)=z{y[nT]}; F(z)=z{f[nT]}; W(z)=z{ [nT]}
y z z y nT
W z
z nT
F z z f nT
Z - ПФ характеризует связь между входом и выходом
только в тактовые моменты времени
Z-передаточная функция разомкнутой системы равна
Z-преобразованию весовой характеристики
приведенной НЧ
W z z nT nT z n L t T t
n 0
6

7. Реакция системы в смещенные дискретные моменты времени

t = nT+ T, где 0≤ε≤1; n=0,1,
зависимость для расчета реакции системы
y nT T f kT n k T T
k 0
уравнение в изображениях
y z, F z W z,
Z-передаточная функция импульсной системы
W z,
y z,
F z
7

8. Вычисление Z-передаточной функции разомкнутой дискретной системы

f
f*
ФЗ
НЧ
y
Способы получения Z-передаточной функции систем:
1 Прямой – с использованием Z-преобразования по
весовой характеристике (t)
2. С использованием D - преобразования,
устанавливающего связь между ПФ непрерывной
системы и Z –ПФ с последующей заменой eTp z
3. Использование таблиц соответствия W(p) W(z)
8

9. Свойства Z-ПФ

1 Z-ПФ есть дробно-рациональная функция переменного z
2 Полюсы zi i=1,2..n Z-ПФ W(z) и W(z, )связаны с
полюсами si ПФ НЧ соотношениями:
zi=esiT i=1,2..n
3 Степень знаменателя W(z) (порядок дискретной ПФ)
равна степени полинома знаменателя исходной ПФ:
4 Функция W(z) конечна при z=1, если ПФ W(p) не имеет
полюсов в начале координат При z 1 W(z) стремится к
вещественному числу
9

10. Определение процессов в импульсных системах с помощью Z-преобразования

y[kT]=Z-1{F(z)·W(z)}
Обратное Z-преобразование можно определить с
помощью вычетов
n
y kT Re s F z W z z k 1
i 1
z zi
zi-полюсы функций, стоящих под знаком обратного
преобразования
По известной Z-ПФможно составить соответствующее
разностное уравнение импульсной системы
m
n
m
b y k i a f k j
i 0
i
j 0
j
a z
A z
W z
B z
b z
j 0
n
i 0
i
j
i
i
10

11. Уравнение замкнутой системы

x
f
x*
W(p)
y
уравнение замыкания для дискретных моментов
времени: t=nT, n=0,1…
x[nT]=f[nT]-y[nT]
n
уравнение разомкнутой системы y nT x kT n k T
k 0
уравнение замкнутой системы
n
n
k 0
k 0
y nT f kT n k T y kT n k T
11

12. Передаточная функция замкнутой системы

n
n
k 0
k 0
y nT f kT n k T y kT n k T
y z
W z
F z
1 W z
Ô z
y z F z W z y z W z
W z
1 W z
x z F z y z
1
x z
F z
1 W z
Ô 0 z
1
1 W z
ПФ замкнутой системы для управляемой переменной по
входному воздействию
ПФ замкнутой системы по ошибке
12

13. Правила структурных преобразований в линейных импульсных системах

13

14. Система с импульсным элементом на входе

f
f*
W(p)
y
y z
W z
F z
Если импульсный элемент включен на выходе непрерывной
части
y z D W p F p e pT z
y z W z F z
z –ПФ в этом случае не может быть получена, т к ПФ W(p) и
F(p) нельзя рассматривать раздельно
модифицированное Z –преобразования Y(z,ε) не имеет смысла,
так как информация о переменной Y в промежуточные моменты
14
времени отсутствует

15. Последовательное соединение непрерывных звеньев, разделенных импульсными элементами

f
w1(p)
x1
X 1 z
W1 z Z W1 p
F z
w2(p)
x2
xr-1
wr(p)
Y
Y z
Wr z Z Wr p
X r 1 z
Y z r
Wi z W z
F z i 1
15

16. Последовательное соединение непрерывных звеньев, не разделенных импульсными элементами

x
w1(p)
w2(p)
w3(p)
wr(p)
y
эквивалентная ПФ непрерывной части имеет вид:
W(p)=W1(p)·W2(p)…Wr(p)
после чего это соединение сводится к первой схеме
16

17. Параллельное соединение непрерывных звеньев

w1(p)
X
y
wr(p)
r
y z
W z
Wi z
x z i 1
17

18. Элементарная структура с обратной связью

f
X
w1(p)
Y
x1
w2(p)
W1 z
W z
1 W12 z
W1 z Z W1 p
W12 z Z W1 p W2 p
18

19. Соединение ИИЭ - экстраполятор нулевого порядка - непрерывное звено

f
1-e-pT
p
w(p)
Y
1 e pT
z 1 W p
W z Z
W p
Z
p
z
p
19

20. Определение Z-ПФ многоконтурной дискретной системы

W z
Wïð z
1 Wi z
i
Wпр(z) – Z-ПФ прямой цепи с учетом расположения
ИИЭ
Wi(z) – Z-ПФ i-ого разомкнутого дискретнонепрерывного контура
20