Матрицы. Элементы высшей математики

1. Матрицы

Элементы высшей математики
Смирнова Светлана
Михпайловна

2. Матрицы Вопросы темы:

1. Понятие матрицы и действия над
ними.
2. Свойства сложения и
умножения.
3. Транспонирование матриц

3.

Математика - наиболее
совершенный способ водить
самого себя за нос.
А. ЭЙНШТЕЙН

4. Понятие матрицы и действия над ними.

1
Понятие матрицы и действия
над ними.

5.

Дополнительная литература:
1.Богомолов Н.В. Практические занятия по
математике: / Н.В.Богомолов – 11 изд., пер.
и доп. – м.: Издательство Юрайт, 2020.-495
2. Лисичкин В.Т. Математика в задачах с
решениями: / Лисичкин В.Т. – 4 изд., пер. и
доп. – м.: Издательство Лань, 2019.-464

6.

7.

Матрицей размера m x n называется
прямоугольная таблица чисел,
содержащая m строк и n столбцов.
Числа, составляющие матрицу, называются
элементами матрицы.

8.

Обозначения:
A
m n
a ij
- матрица размерности m x n, где
m- число строк, n- число столбцов
- элемент матрицы i –ой строки и j -го
столбца
Где
i=1,2…m - номер строки
j=1,2…n - номер столбца

9.

a11
a21
A (aij )
m n
...
a
m1
a12
a22
...
am 2
... a1n
... a2 n
... ...
... amn

10.

Две матрицы называются равными, если
у них одинаковая размерность и
совпадают строки и столбцы.
Если число строк матрицы равно числу ее
столбцов, то такая матрица называется
квадратной.

11.

0 2
1
A 2 4
5
0 3 1
- квадратная матрица размерности 3х3

12.

Элементы матрицы aij , у которых номер
столбца совпадает с номером строки,
называются диагональными.
Если в квадратной матрице все
диагональные элементы равны 1, а
остальные элементы равны 0, то
она называется единичной.

13.

1
0
E
...
0
0
1
...
0
...
...
...
...
0
0
...
1

14.

Матрица любого размера называется
нулевой, если все ее элементы равны 0.
0
0
...
0
0
0
...
0
...
...
...
...
0
0
...
0

15.

Матрица, состоящая из одной строки,
называется матрицей-строкой или
вектором-строкой.
A (a11 a12 ... a1n )

16.

Матрица, состоящая из одного столбца,
называется матрицей-столбцом или
вектором-столбцом.
b11
b21
B
b
n1

17.

С помощью матриц удобно
различного рода зависимости.
Например:
описывать
Распределение
экономики:
отраслям
ресурсов
по
Ресурсы
Промышленность
с/хозяйство
Эл.
энергия
Труд.
ресурсы
Водные
ресурсы
8
7.2
5
3
4.5
5.5

18.

Эту зависимость можно представить в виде
матрицы:
8 7.2
A 5
3
3 2
4.5 5.5
Где элемент aij показывает сколько i – го
ресурса потребляет j – отрасль.
Например, a32
показывает, сколько воды
потребляет сельское хозяйство.

19.

Чтобы умножить матрицу на число, надо
каждый элемент матрицы умножить на
это число.
Полученные
произведения
итоговую матрицу.
образуют

20.

Пусть дана матрица
A (aij )
m n
Умножаем ее на число λ:
A B
Где каждый элемент матрицы В:
bij aij
Где:
i 1,2...m
j 1,2...n

21.

Например:
Умножая матрицу
2 3 0
A
1 0 4
на число 2, получим:
2 2 3 2 0 2 4 6 0
A 2
1 2 0 2 4 2 2 0 8

22.

Складываются матрицы одинаковой
размерности. Получается матрица той же
размерности, каждый элемент которой
равен сумме соответствующих
элементов исходных матриц.

23.

Дано:
A (aij )
B (bij )
Складываем матрицы:
A B C
Где каждый элемент матрицы С:
cij aij bij
Аналогично проводится вычитание матриц.

24.

Найти сумму и разность матриц:
2 3 0
A
1 0 4
0 2 3
B
1 5 2

25.

2 1 3
A B
2 5 6
2 5 3
A B
0 5 2

26.

Умножение матриц возможно, если число
столбцов первой матрицы равно числу строк
второй.
Тогда каждый элемент полученной матрицы
равен сумме произведений элементов i – ой
строки
первой
матрицы
на
соответствующие элементы j-го столбца
второй.
Итоговая матрица содержит столько строк,
сколько в 1-й матрице и столько столбцов,
сколько во 2-й.

27.

Пусть даны матрицы
A (aij )
m k
B (bij )
k n
Умножаем их:
A
B
C
m k k n
m n
Где каждый элемент матрицы С:
cij ai1b1 j ai 2b2 j ... aik bkj
i 1,2...m
j 1,2...n

28.

Найти произведение матриц:
2 3 0
A
1 0 4
1 0
B 1 4
0 2

29.

Число столбцов первой матрицы равно
числу строк второй, следовательно их
произведение существует:
2 1 3 1 0 0 2 0 3 4 0 2 5 12
A B
2 3 3 2
1 1 0 1 4 0 1 0 0 4 4 2 1 8

30.

Теперь перемножим матрицы в обратном
порядке:
1 2 0 1 1 3 0 0 1 0 0 4 2 3 0
B A 1 2 4 1 1 3 4 0 1 0 4 4 6 3 16
3 2 2 3
0 2 2 1 0 3 4 0 0 0 2 4 2 0 8
Умножение
матриц
некоммутативно:
1
в
A B B A
общем
случае

31. Свойства сложения и умножения.

2
Свойства сложения и
умножения.

32.

Перечисленные операции над матрицами
обладают следующими свойствами:
2
А+В=В+А
3
(А+В)+С=А+(В+С)

33.

4
λ(А+В)= λА+λВ
5
А(В+С)=АВ+АС
6
А(ВС)=(АВ)С

34.

7
A B B A
8
9

35. Транспонирование матриц.

3
Транспонирование матриц.

36.

Матрица АТ называется
транспонированной к матрице А, если
в ней поменяли местами строки
и столбцы.
a11 a12
a21 a22
A
m n
...
...
a
m1 am 2
... a1n
... a2 n
... ...
... amn
a11 a21
a12 a22
T
A
... ...
n m
a1n a2 n
... am1
... am 2
... ...
... amn

37.

1
(АТ)Т=А
2
(А+В)Т=АТ+ВТ

38.

3
(λА)Т= λАТ
4
(АВ)Т=ВТАТ

39.

Транспонировать матрицу:
1 2 3
A 4 5 6
7 8 9

40.

1 4 7
T
A 2 5 8
3 6 9

41.

1. Даны:
1 2
;
A
3
4
5 2
.
B
4
7
Найти: a ) C 5A 7B ; б) D 3A 2B т ;
в) F 9 A 2 E .
2. Даны:
4 7 1
;
A
3
2
4
4 5 6
B
1
2
2
Найти: a ) C 3A 4B ; б) D 7A Т 3B т ;
в) F A 3E .
3. Даны:
1 2 3
A 4 2 5 ;
1 5
0
3 1 0
B 1 5 2
8 5 1
Найти: a ) C 4A 4B ; б) D 3A Т 5B ;
в) F 2A 5E .

42.

Практикум 1м
Найти произведение матриц АВ и ВА (если это возможно):
2
1 2
5
.
a) A
B
3 4
;
4
7
1.
б) A 1
2
3
4
в) A
3
7
2
1
;
4
2
B 1 .
3
5
г) A
2
2
3
1
;
4
2
B 3
4
1
д) A 4
1
2
2
5
Дана:
5
A
4
2
.
7
2.
0 ;
7
2
B
.
3
1
3
5 ;
0
3
0 .
1
3
B 1
8
1
5
5
0
2 .
1
Найти значение матричного многочлена f(A):
a ) f(x) 5x 2 7 x 5 ; б) f(x) 2x 3 3x 2 4x 3 .
3.
Дана:
1
A 3
1
2
0
2
0
5 .
4
a ) f(x) 7 x 2 5x 3 ;
Найти значение матричного многочлена f(A):
б) f(x) 5x 3 7 x 2 2x 2 .