Стереометрия. Аксиомы стереометрии. Следствия из аксиом

1. 03.09.2024 10 класс Тема урока: Стереометрия. Аксиомы стереометрии. Следствия из аксиом

2.

«Планиметрия» – наименование
смешанного происхождения: от
греч. metreo – измерять
и лат. planum – плоская
поверхность (плоскость)
ПЛАНИМЕТРИЯ
ГЕОМЕТРИЯ на плоскости
ГЕОМЕТРИЯ
СТЕРЕОМЕТРИЯ
ГЕОМЕТРИЯ в пространстве
«стереометрия» – от греч.
stereos – пространственный
(stereon – объем).

3. Изучая СТЕРЕОМЕТРИЮ

Мы проведем систематическое рассмотрение
свойств геометрических тел в пространстве.
Освоим различные способы вычисления
практически важных геометрических величин.
При этом мы будем развивать
пространственное воображение и логическое
мышление

4. Мы знаем, что

ГЕОМЕТРИЯ возникла из
практических задач людей;
ГЕОМЕТРИЯ лежит в основе всей
техники и большинства изобретений
технику,
человечества;
инженеру,
ГЕОМЕТРИЯ нужна
рабочему,
архитектору,
модельеру …

5.

«Мой карандаш, бывает еще
остроумней моей головы»
Леонард Эйлер (1707—1783).
ВЫВОД:
Интуитивное, живое пространственное воображение в сочетании со
строгой логикой мышления — это ключ к изучению стереометрии

6.

Что будем изучать
Аксиомы стереометрии
Параллельность прямых и плоскостей
Учебный материал
Перпендикулярность прямых и плоскостей
Многогранники

7. Основные понятия стереометрии

точка,
А
прямая,
плоскость,

8.

Прочти чертеж
С
A
A
C

9.

Прочти чертеж
c
b
B
a
a
b B
c

10.

Прочти чертеж
c
c

11. Аксиомы стереометрии

Слово «аксиома» греческого происхождения и в переводе означает
истинное, исходное положение теории.
Система аксиом стереометрии дает описание
свойств пространства и основных его элементов
Понятия «точка», «прямая», «плоскость», «расстояние»
принимаются без определений: их описание и свойства содержатся в
аксиомах

12.

Аксиомы стереометрии
Какова бы ни была плоскость, существуют точки в
пространстве, принадлежащие этой плоскости, и
точки, не принадлежащие ей.
А-1
Р
С
К
А
В

13. Аксиомы стереометрии

А-2
Если две точки прямой лежат в плоскости, то все точки
прямой лежат в этой плоскости.
Если
М, C
М, C m,
то
m

14. Аксиомы стереометрии

Если две плоскости имеют общую точку, то они имеют
общую прямую, на которой лежат все общие точки
этих плоскостей.
А-3
М , М , М m
М
m , m
=m

15. СЛЕДСТВИЯ ИЗ АКСИОМ

Через любую прямую и не принадлежащую ей точку
можно провести плоскость, и притом только одну.
Т-1
Дано: М m
В
А
м
Доказательство
Пусть точки A, B m.
Так как М m, то точки А, В и M не принадлежат одной прямой.
По А-1 через точки А, В и M проходит только одна плоскость — плоскость (ABM),
Обозначим её . Прямая m имеет с ней две общие точки — точки A и B, следовательно,
по аксиоме А-2 эта прямая лежит в плоскости ..
Таким образом, плоскость проходит через прямую m и точку M и является искомой.
Докажем, что другой плоскости, проходящей через прямую m и точку M, не существует.
Предположим, что есть другая плоскость — , проходящая через прямую m и точку M.
Тогда плоскости и проходят через точки А, В и M, не принадлежащие одной прямой, а
значит, совпадают. Следовательно, плоскость единственна.
Теорема доказана

16. СЛЕДСТВИЯ ИЗ АКСИОМ

Через любые две пересекающиеся прямые можно
провести плоскость, и притом только одну.
Т-2
n
м
N
Дано: m n = M
Доказательство
Отметим на прямой m произвольную точку N,
отличную от М.
Рассмотрим плоскость =(n, N). Так как M и N , то по А-2 m . Значит
обе прямые m, n лежат в плоскости и следовательно , является искомой
Докажем единственность плоскости . Допустим, что есть другая, отличная от
плоскости и проходящая через прямые m и n, плоскость .
Так как плоскость проходит через прямую n и не принадлежащую ей точку N, то по T1 она совпадает с плоскостью . Единственность плоскости доказана.
Теорема доказана

17. ВЫВОД

Как в пространстве можно однозначно задать плоскость?
По трем точкам, не лежащим на одной прямой
По прямой и точке, не лежащей на этой прямой
По двум пересекающимся прямым

18. Определите: верно, ли суждение?

В стереометрии мы будем рассматривать ситуации, задающие различные
расположения в пространстве основных фигур относительно друг друга
Определите: верно, ли суждение?
1.
2.
3.
4.
5.
6.
7.
8.
ДА
Любые три точки лежат в одной плоскости.
НЕТ
Любые четыре точки лежат в одной плоскости.
Любые четыре точки не лежат в одной плоскости.
НЕТ
Через любые три точки проходит плоскость и при том
НЕТ
только одна.
Если прямая пересекает 2 стороны треугольника, то
ДА
она лежит в плоскости треугольника.
Если прямая проходит через вершину треугольника, то НЕТ
она лежит в плоскости треугольника.
НЕТ
Если прямые не пересекаются, то они параллельны.
Если плоскости не пересекаются, то они параллельны. ДА

19.

« СЧИТАЙ НЕСЧАСТНЫМ ТОТ ДЕНЬ
ИЛИ ЧАС, В КОТОРЫЙ ТЫ НЕ
УСВОИЛ НИЧЕГО НОВОГО И
НИЧЕГО НЕ ПРИБАВИЛ К СВОЕМУ
ОБРАЗОВАНИЮ.»
Я. А. КОМЕНСКИЙ.