Вычисление площадей многоугольников с использованием формулы Пика

1.

МБОУ “Черноморская средняя школа” №3”
Из опыта учителя математики
Губановой Р.В.

2.

ГЕОРГ АЛЕКСАНДР ПИК
(10.09.1859-13.07.1942)

3.

ФОРМУЛА ПИКА
Основное условие для применения формулы
Пика:
У многоугольника, изображенного
на клетчатой бумаге (решетке),
должны быть только
целочисленные вершины, то есть
они обязательно должны
находиться в узлах решетки

4.

ТЕОРЕМА
Площадь многоугольника с целочисленными
вершинами равна:
Г
S В
1
2
S - площадь многоугольника;
В - количество целочисленных точек внутри
многоугольника (синие точки);
Г - количество узлов на границе многоугольника
(красные точки).

5.

Например, для
многоугольника,
изображенного на
рисунке
В=6 (кол-во узлов внутри
многоугольника),
Г = 11 (количество узлов
на границе
многоугольника),
Значит, площадь
многоугольника
11
S 6 1 10,5
2

6.

ПРИМЕРЫ применения формулы Пика для вычисления площадей
выпуклых (пример1) и невыпуклых (пример 2)
четырехугольников.
ПРИМЕР 1.
Найдите площадь
четырехугольника,
изоб- раженного на
клетчатой бумаге с
размером клетки 1см х
1см (см. рис.).
Ответ приведите в
квадратных
сантиметрах.

7.

РЕШЕНИЕ
Количество внутренних
узлов четырехугольника
(голубые) В=13.
Количество узлов на
границе
четырехугольника
(красные) Г=8.
По формуле Пика:
Г
8
S В 1 13 1 16
2
2
Ответ: 16 см2

8.

ПРИМЕР 2.
Найдите площадь
четырехугольника,
изоб- раженного на
клетчатой бумаге с
размером клетки 1см х
1см (см. рис.).
Ответ приведите в
квадратных
сантиметрах.

9.

РЕШЕНИЕ
Количество внутренних
узлов четырехугольника
(голубые) В=10.
Количество узлов на
границе
четырехугольника
(красные) Г=6.
По формуле Пика:
Г
6
S В 1 10 1 12
2
2
Ответ: 12 см2

10.

ЗАДАНИЯ ДЛЯ САМОСТОЯТЕЛЬНОГО
РЕШЕНИЯ
Найдите площадь
четырехугольника,
изображенного на
клетчатой бумаге с
размером клетки 1см х
1см (см. рис.).
Ответ приведите в
квадратных
сантиметрах.

11.

1.
2.

12.

3.
4.

13.

5.
6.

14.

7.
8.

15.

9.
10.

16.

11.
12.

17.

ОТВЕТЫ
№
задания
1
2
3
4
5
6
Ответ
9 см2
7 см2
5 см2
8 см2
4 см2
6 см2
№
задания
7
8
9
10
11
12
Ответ
10,5 см2
7,5 см2
7 см2
3 см2
8,5 см2
6 см2

18.

В презентации использованы
http://pomnipro.ru/memorypage14769/biography фотография Георга Пика;
http://hijos.ru/2011/12/30/georg-aleksandr-pik-1859-
1942/ - биография математика;
Научно-методический журнал «Математика в
школах Украины» №4 (376) за февраль 2013г. задания для самостоятельной работы, примеры.

19.

СПАСИБО ЗА ВНИМАНИЕ!