Пирамида. Виды правильных пирамид (тема 20)

1.

2.

Тема 20.
Пирамида.

3.

План лекции
1. Понятие пирамиды.
2. Правильная пирамида.
3. Виды правильных пирамид.
4. Развёртка пирамиды.
5. Площадь и объем.

4.

1. Понятие пирамиды
Опр. Пирамидой называется
многогранник, в основании
которого лежит
многоугольник, а остальные
грани – треугольники,
имеющие общую вершину,
называемую вершиной
пирамиды.

5.

6.

7.

•Общая вершина боковых
граней называется вершиной
пирамиды.
•Отрезки, соединяющие
вершину пирамиды с
вершинами основания,
называются рёбрами
пирамиды.

8.

• Боковые треугольник
называются гранями
пирамиды.
•Перпендикуляр, проведенный
из вершины пирамиды к
плоскости основания,
называется высотой
пирамиды.

9.

2. Правильная пирамида
Опр. Пирамида, основанием
которой является правильный
многоугольник, а вершина
проектируется в центр
основания,
называется правильной
пирамидой.

10.

Боковые грани правильной
пирамиды — равные
равнобедренные
треугольники.
Высота боковой грани
правильной пирамиды
называется апофемой.

11.

12.

Свойства правильной
пирамиды
•боковые ребра равны;
•боковые грани равны (все
равнобедренные
треугольники);
•апофемы равны;

13.

• боковые ребра одинаково
наклонены к плоскости
основания;
•основание высоты пирамиды
является центром вписанной и
описанной около основания
окружностей;
•высота образует с апофемами
равные углы.

14.

3. Виды правильных
пирамид
Правильная треугольная
пирамида.

15.

Правильная четырёхугольная
пирамида

16.

4. Развёртка пирамиды
Опр. Развёрткой называется
плоская фигура, полученная
при совмещении поверхности
геометрического тела с одной
плоскостью (без наложения
граней или иных элементов
поверхности друг на друга).

17.

Если отсек поверхности может
быть совмещён с плоскостью
без разрывов и склеивания, то
такую поверхность называют
развёртывающейся, а
полученную плоскую фигуру —
её развёрткой.

18.

19.

20.

5. Площадь и объём
Теорема(Площадь боковой
поверхности)
Площадь боковой поверхности
пирамиды равна половине
произведения периметра
основания на апофему:

21.

1
S бок Pосн Lапоф
2

22.

Теорема(Площадь полной
поверхности)
Площадь полной поверхности
пирамиды равна сумме
площадей боковой
поверхности и основания:
S полн Sбок Sосн

23.

Теорема(Объём пирамиды)
Объём пирамиды равен одной
трети произведения площади
основания на высоту:
1
V S осн h
3

24.

5. Связка элементов пирамиды
Связка – это три элемента
пирамиды образующие
прямоугольный треугольник.
Связка 1. Содержит высоту,
радиус описанной окружности,
боковое ребро.

25.

Пусть боковое ребро –b,
высота – h, R – радиус
описанной окружности:
b h R
2
2
2

26.

Связка 2. Содержит высоту,
радиус вписанной окружности,
апофему:
Пусть апофема –L, высота – h,
r – радиус вписанной
окружности:
L h r
2
2
2

27.

Связка 3. Содержит апофему,
боковое ребро, половину
стороны.
Пусть боковое ребро –b, L –
апофема, a/2 – половина
стороны:
2
a
2
2
b
L
4

28.

Связка 4. Содержит радиус
вписанной окружности,
половину стороны, половину
диагонали основания.
Пусть r – радиус вписанной
окружности, a/2 – половина
стороны, d/2 – половина
диагонали:

29.

2
2
d
a
2
r
4
4