Числовые характеристики выборок. Урок № 30

1. Числовые характеристики выборок

Урок № 30

2. Основные вопросы темы

Среднее арифметическое
Выборочная дисперсия
Стандартное отклонение

3. Среднее арифметическое генеральной совокупности

Определение . Генеральной средней
xГ
называют среднее арифметическое значений
генеральной совокупности.
[Изучение совокупности однородных объектов
происходит относительно некоторого качественного
или количественного признака].

4. Вычисление генеральной средней

Если все значения признака различны и
N – объем генеральной совокупности, то
х1 х2 х N
xГ
N

5. Вычисление генеральной средней

если значения признака x1, x2, x3, …, xk имеют
соответственно частоты N1, N2, … , Nk , причем
сумма частот равна объему генеральной совокупности, то
х1 N 1 х2 N 2 хk N k
xГ
N

6. Выборочная средняя

Определение. Выборочной средней x В
называют среднее арифметическое значение
признака выборочной совокупности.
Если все значения признака выборки объема n
различны, то
х1 х 2 x n
xВ
n

7. Среднее арифметическое выборки

Если все значения признака выборки объема n
имеют соответственно частоты, причем их сумма
равна объему выборки, то
m
1
x в xi ni ,
n i 1
где xi - варианты случайной величины,
ni - соответствующие частоты,
m - количество вариантов,
n - объем выборки.

8.

Для упрощения счета имеется следующая формула:
xi c
ni
k
i 1
x
k c,
n
m
где xi , ni, m и n имеют тот же смысл,
что и в предыдущей формуле;
k - шаг таблицы,
т. е. интервал между соседними вариантами;
c - произвольное число
(но для простоты следует выбрать вариант,
имеющий максимальную частоту).

9.

Эту формулу используют только в том случае,
когда вариационный ряд имеет постоянный шаг
таблицы k.
При переменном шаге нужно использовать
предыдущую формулу.

10. Замечание

Выборочная средняя, найденная по одной выборке,
есть число.
Для другой выборки того же объема той же
генеральной совокупности оно может измениться
и меняться от выборки к выборке.
То есть выборочная средняя – случайная величина,
имеющая свои числовые характеристики.

11. Дисперсия генеральной совокупности

Для характеристики рассеяния значений
количественного признака генеральной совокупности
вокруг своего среднего значения вводят генеральную
дисперсию.
Определение. Генеральной дисперсией называется
среднее арифметическое квадратов отклонений
значений признака генеральной совокупности от их
среднего значения
N
2
(
x
x
)
i Г
DГ
i 1
N

12. Дисперсия генеральной совокупности

Кроме дисперсии, для характеристики рассеяния
значений признака используют генеральное среднее
квадратическое отклонение
Определение. Выборочным средним
квадратическим отклонением называют квадратный
корень из дисперсии
Г DГ .

13. Дисперсия выборки

Определение. Выборочной дисперсией называется
среднее арифметическое квадратов отклонений
наблюдаемых значений признака от их среднего
значения
Если наблюдаемые значения различны, то
k
2
(
x
x
)
i В
DВ
i 1
n

14. Дисперсия выборки

Дисперсию выборки обозначают и через S2 .
Для вычисления выборочной дисперсии S2
приведем такие же формулы,
что и для нахождения среднего арифметического,
если наблюдаемые значения имеют соответствующие
частоты, сумма которых равна объему выборки, то
m
m
1
1
2
S ( xi x) ni xi2 ni x
n i 1
n i 1
2
2

15. Второй способ вычисления дисперсии

формула с постоянным шагом таблицы k:
m
S 2 i 1
xi c n
2
k2
n
i
k 2 ( x c) 2 .

16. Стандартное отклонение выборки

Стандартное,
или среднеквадратичное отклонение
определяется как квадратный корень из дисперсии:
S =
S2.

17. Мода выборки

Если вариационный ряд составлен по значениям
генеральной совокупности, то модой выборки
является значение, имеющее максимальную
частоту.

18. Медиана выборки

Медианой выборки является значение
серединного элемента вариационного ряда.
Если вариационный ряд составлен
по значениям генеральной совокупности,
то при нечетном объеме выборки n медиана –
это действительное значение серединного элемента,
при n четном - среднее арифметическое
двух серединных элементов.

19. Теорема

Дисперсия равна среднему квадратов
значений признака минус квадрат общей
средней
D х х
2
2

20. Задача. Найти дисперсию по данному распределению

xi
1
2
3
4
ni
20
15
10
5
20 1 15 2 10 3 5 4 100
х
2.
20 15 10 5
50
2
2
2
2
20
1
15
2
10
3
5
4
х2
5.
50
D х 2 х 5 2 2 1
2

21. Вопросы к теме

Дайте определение среднего арифметического
генеральной совокупности.
Что такое среднее арифметическое выборки?
Как связаны математическое ожидание и среднее
арифметическое наблюдаемых значений случайной
величины?
Дайте определение выборочной дисперсии.
Дайте определение выборочного среднего
квадратического отклонения.
В чем заключается свойство выборочной дисперсии?

22. Домашнее задание

Калинина В.Н. глава 8 § 8.1 – 8.8
Ответить на вопросы к теме урока.