Бесконечные произведения (БП)

1.

Бесконечные произведения (БП)
Пусть ak – произвольная посл-ть, тогда
a1a2 a3
ak
ak – бесконечное произведение, ak – члены произведения,
k 1
n
Pn ak – n -ое частичное произведение,
k 1
Qn ak – n -ое остаточное произведение
k n 1
БП – сходящится, если посл-ть lim Pn P , P 0 .
n
Замечания:
1 . При P 0 БП расходится (расходится к 0). Такая договоренность позволяет
провести аналогию между сходимостью рядов и сходимостью БП.
2 . На сходимость БП не влияет удаление или добавление конечного числа ненулевых членов этого произведения.
3 . Рассмотрение БП (так же как и рядов) – новая форма изучения числовых
последовательностей. Каждому БП однозначно соответствует посл-ть его частичных
произведений, а каждой числовой посл-ти Pn , Pn 0 , однозначно соответствует БП,
для которого эта посл-ть является посл-тью частичных произведений:
P
1
a1 P1 , ak k , k 2,3,... .
Pk 1

2.

Необходимое условие сходимости бесконечных произведений
Если ak сходится, то lim ak 1 , lim Qn lim ak 1 .
n
k
k 1
n
k n 1
Пусть P ak , P 0 . Тогда lim Pk 1 lim Pk P 0 , следовательно:
k
k 1
k
lim Pk
Pk
P
1) lim ak lim
k
1,
k
k P
lim Pk 1 P
k 1
k
a
2) lim Qn lim ak lim kn 1
n
n
k n 1
n
k
a
k 1
k
lim n
n
P
a
k 1
k
P
P
1 .
lim Pn P
n
Следствие. Если БП сходится, то, k0 k k0 ak 0 (т.к lim ak 1 ).
k
З а м е ч а н и е . Т.к. на сходимость БП не влияет удаление конечного количества сомножителей, в дальнейшем будем рассматривать лишь БП с положительными членами.
2

3.

Теорема 2.2.
k 1
k 1
«БП ak сходится» «сходится ряд ln ak ».
k 1
k 1
Причем, если ln ak S , то ak e S .
n
n
k 1
k 1
Пусть Sn ln ak , Pn ak .
Sn ln Pn Pn e Sn .
В силу непрерывности показательной и логарифмической
функций Pn сходится тогда и только тогда, когда сходится Sn ,
причем если lim Sn S , то lim Pn e S .
n
n
3

4.

При исследовании сходимости БП удобно представить БП в виде
1 a 1 a 1 a 1 a
k
k 1
1
2
,
3
где ak 1, k 1,2,3,... Тогда
k 1
k 1
«БП 1 ak сходится» «сходится ряд ln 1 ak ».
Определения:
«БП 1 ak , k ak 0 – сходится абсолютно (условно)»
k 1
«Ряд
ln 1 a – сходится абсолютно (условно)»
k
k 1
З а м е ч а н и е 1 . Теоремы Коши и Римана позволяют заключить, что
абсолютно сходящееся БП обладает переместительным свойством,
а условно сходящееся БП заведомо им не обладает.
З а м е ч а н и е 2 . «БП 1 ak расходится к 0»
k 1
ln 1 a
k 1
k
4

5.

Признаки сходимости бесконечного произведения.
I. Пусть ak – знакопостоянный. Тогда для сходимости ряда ln 1 ak и бесконечk 1
k 1
ного произведения 1 ak , необходимо и достаточно, чтобы сходился ряд ak .
k 1
k 1
II. Пусть ak – знакопеременный. Тогда:
k 1
1) если ряд ak сходится абсолютно, то абсолютно сходится и ln 1 ak , и 1 ak ;
k 1
k 1
k 1
k 1
k 1
k 1
k 1
2) если оба ряда ak , ak2 сходятся, то сходится и ln 1 ak , и 1 ak ;
k 1
k 1
3) если один из рядов ak , ak2 сходится, а другой расходится, то расходится и
ln 1 a , и 1 a ;
k 1
k
k 1
k
k 1
k 1
4) если оба ряда ak , a расходятся, то о сходимости ln 1 ak и 1 ak
k 1
ничего сказать нельзя.
k 1
2
k
5

6.

k 1
k 1
1 ak и ln 1 ak сходятся и расходятся одновременно, поэтому
докажем все утверждения теоремы только для ряда.
Условие lim ak 0 является необходимым и для сходимости ряда ak и для
k
k 1
сходимости ряда ln 1 ak , а значит, невыполнение этого условия гарантирует
k 1
расходимость обоих рядов.
I. Если ak – знакопостоянный.
k 1
a – сходится lim a 0 ln 1 a a при k
k 1
k
k
k
k
k 1
k 1
k
теорема сравнения
ряды ak и ln 1 ak сходятся и расходятся одновременно.
6

7.

II. ak – знакопеременный.
k 1
ak2
ak – сходится lim ak 0 ln 1 ak ak o ak2
k
2
k 1
ряды a
k 1
2
k
одновременно (т.к. ak2
ak2
1 2
2
и o ak ak o ak2
2
2 k 1
k 1
теорема сравнения
сходятся и расходятся
ak2 o ak2 при k ).
k 1
k 1
Таким образом, если оба ряда ak и ak2 сходятся, то сходится и их сумма, если из
k 1
k 1
рядов ak и ak2 один сходится, а второй расходится, то их сумма – расходящийся ряд.
1) Если ak сходится абсолютно, то учитывая, что ak
ln 1 ak при k ,
k 1
в силу теоремы сравнения получаем сходимость ряда
ln 1 a ,
k 1
k
и, следовательно, абсолютную сходимость ряда ln 1 ak .
k 1
2), 3) Эти утверждения вытекают из основных свойств рядов.
7

8.

4) Следующие 2 ряда показывают справедливость этого утверждения.
1
1
a
a
,
тогда
ряды
и
расходятся.
k
1/ 6
1/ 3
k 1/ 6
k
k
k 1
k 1
k 1
k 1
1
1
1
ak2
Так как 1/ 6 1/ 3
, то ряд ak , а значит и ряд ln 1 ak , расходится.
1/ 6
k
2k
k
2
k 1
k 1
Пусть ak
1
1
, n 2k 1;
k
Пусть ak
. Тогда
1
1
1
, n 2k .
k k k k
2
k
1 1
1
Ряд ak расходится, т.к. ak a2 m 1 a2 m
k
k
k
k
k 1
m 1
k 1
k 1
k 1
1
Ряд ak2 расходятся, т.к. ak2
.
k
k 1
Ряд ln 1 ak сходится, т.к.
k 1
ln 1 a ln 1 a 1 a
k 1
k
2 m 1
m 1
2m
1
1
1
1
1
ln 1
1
ln
1
m 2 .
m
m
m
m m m 1
m 1
8

9.

З а м е ч а н и е : Для выяснения характера сходимости (абсолютная или
k 1
k 1
условная) знакопеременного ряда ln 1 ak (а значит и БП 1 ak )
необходимо исследовать характер сходимость ряда ak :
k 1
k 1
k 1
1) если ak сходится абсолютно, то и ln 1 ak сходится абсолютно,
k 1
k 1
2) если ak сходится условно, то ln 1 ak либо сходится условно
(если сходится a ), либо расходится (если расходится ak2 ).
k 1
2
k
k 1
9

10.

Примеры:
1 k
1
1
–
сходится
абсолютно,
т.к.
ряд
– сходится,
a
k
2
2
k
k 1
k 1
k 1 k
1 k
1
– расходится, т.к.
k
k 1
ряд ak
k 1
1
k
1
– расходится,
k 1 k
– сходится, а ряд a
k
k 1
k 1
2
k
1 k
1 2/3 – сходится условно, т.к
k
k 1
ряды ak
k 1
k 1
ряд ak
k 1
1
k 1
k
2/3
1
k
2/3
k
, a
k 1
2
k
k 1
1
k
4/3
– сходятся,
– расходится.
10