Формулы сокращенного умножения. Возведение в квадрат суммы и разности двух выражений

1. ФОРМУЛЫ СОКРАЩЕННОГО УМНОЖЕНИЯ

2. Возведение в квадрат суммы и разности двух выражений

Цели: вывести формулы сокращенного умножения и учить применять
их при возведении в квадрат суммы или разности выражений.
Объяснение нового материала:
1. При умножении многочлена на многочлен каждый член одного
многочлена умножают на каждый член другого.
Однако в некоторых случаях умножение многочленов можно
выполнить короче, воспользовавшись формулами сокращенного
умножения.
2. Возведем в квадрат сумму a + b.
Выполним умножение
(a b) 2 (a b)( a b) a 2 ab ab b 2 a 2 2ab b 2 .
Значит,
(a b) 2 a 2 2ab b 2 .
(1)
Тождество (1) называют формулой квадрата суммы.

3. Возведение в квадрат суммы и разности двух выражений

3. Формулировка формулы квадрата суммы: квадрат суммы равен
сумме квадратов каждого из слагаемых плюс удвоенное
произведение первого слагаемого на второе.
4. Возведем в квадрат разность a - b.
Выполним умножение
(a b) 2 (a b)(a b) a 2 ab ab b 2 a 2 2ab b 2 .
Значит,
(a b) 2 a 2 2ab b 2 .
(2)
Тождество (2) называют формулой квадрата разности.
5. Формулировка формулы квадрата разности: квадрат разности
равен сумме квадратов каждого из слагаемых минус удвоенное
произведение первого слагаемого на второе.

4. Возведение в квадрат суммы и разности двух выражений

Задание 1: решить устно примеры (а-е)
a) ( x y) 2 ; б ) ( p q) 2 ; в) (b 3) 2 ;
г ) (10 с) 2 ; д) ( y 9) 2 ; е) (9 y) 2 ;
Задание 2: решить примеры в тетрадях
a) (a 12) 2 ; б ) (15 x) 2 ; в ) (0,3 m) 2 ;
1
г ) (2 x 3) ; д) (5 y 4 x) ; е) m 2n
4
2
2
2
2
1
ж) ( x 5) ; з) ( m 10) ; и ) 5a b .
5
2
2

5. Разложение на множители с помощью формул квадрата суммы и квадрата разности

Цели: показать применение формул квадрата суммы и квадрата
разности двух выражений при разложении на множители выражений;
развивать логическое мышление учащихся.
Проверка изученного материала.
1. Двое учащихся решают на доске номера из домашнего задания.
2. С остальными учащимися проводится устная работа:
Представьте в виде многочлена :
1) (а 6) 2 ; 2) ( а 6) 2 ; 3) ( а 6) 2 ; 4) (а 6) 2
Сравните :
1) ( а 8) 2 и (а 8) 2 ; 2) (а 16) 2 и (16 а) 2

6. Разложение на множители с помощью формул квадрата суммы и квадрата разности

Работа по учебнику
Формулы квадрата суммы и квадрата разности находят применение
не только для возведения в квадрат суммы и разности, но и для
разложения на множители выражений вида:
2
2
2
2
a 2ab b и а 2ab b
Действительно, поменяв местами в этих формулах левую и правую
части, получим:
2
2
2
2
2
2
a 2ab b (a b) ;
a 2ab b (a b) ;
Например :
1) 9 x 2 30 x 25 (3 x) 2 2 3 x 5 52 (3 x 5) 2
2) a 2 20ab 2 100b 4 a 2 2 10 a b 2 (10b 2 ) 2 (a 10b 2 ) 2
Задание: Выполните упражнения из учебника

7. Самостоятельная работа

I вариант
1. Представьте в виде многочлена :
а ) ( x 7) 2 ; б ) (5a 1) 2 ; в ) (10 4c) 2 ;
г ) ( 3c a ) 2 ; д) (a 2 6) 2 ; е) ( 5a 8b) 2 .
2. Представьте многочлен в виде квадрата двучлена :
9 2
16 2
2
2
2
2
а ) 4a 4ab b ; б ) 9a 6ab b ; в ) a 2ab b ;
16
9
1 2
г ) a ab b 2 ; д) a 2b 2 2ab 1; е) b 2 2a 2b a 4 .
4

8. Самостоятельная работа

II вариант
1. Представьте в виде многочлена :
а) ( x 6) 2 ; б ) (4a 1) 2 ; в ) (5a 8) 2 ;
2
2
2
2
г ) ( 3b a ) ; д) (a 7) ; е) ( 2m 9n) .
2. Представьте многочлен в виде квадрата двучлена :
4 2
9 2
2
2
2
2
а) a 6ab 9b ; б )16a 8ab b ; в ) a 2ab b ;
9
4
1 2
г ) a ab b 2 ; д)1 2ab a 2b 2 ; е) a 4 2a 2b b 2 .
4

9. РАЗНОСТЬ КВАДРАТОВ

Умножение разности двух выражений
на их сумму
Разложение разности квадратов на
множители
Самостоятельная работа
I вариант
II вариант

10. Умножение разности двух выражений на их сумму

Цели: вывести еще одну формулу сокращенного умножения и
научить применять ее при умножении многочленов; развивать
логическое мышление учащихся.
Объяснение нового материала.
1. Рассмотрим еще одну формулу сокращенного умножения. Умножим
разность a - b на сумму a + b:
(a b)( a b) a 2 ab ab b 2 a 2 b 2 .
Значит, (a b)(a b) a 2 b 2 . (1)
2. Тождество (1) позволяет выполнять сокращенно умножение
разности любых двух выражений на их сумму.
3. Произведение разности двух выражений и их суммы равно
разности квадратов этих выражений.

11. Разложение разности квадратов на множители

Цели: вывести формулу разности квадратов и научить применять
ее при разложении на множители многочлена; рассмотреть
применение этой формулы для рационального нахождения
значения выражения, повторить основное свойство дроби при
сокращении дробей.
Проверка изученного материала (устная работа).
1. Сформулировать правила квадрата суммы, квадрата разности двух
выражений и правило умножения разности двух выражений на их
сумму.
2. Выполните умножение:
а) (b 8)(8 b); б ) (5x 2 1)(1 5 x 2 );
в) ( 3c 3 2d )( 2d 3c 3 ).

12. Самостоятельная работа

I вариант
1. Разложите на множители :
а ) 4 x 2 1; б )1 9a 2 ; в ) m 2 a 2 ;
г ) n 2 b 2 ; д) a 2 16 y 2 ; е) 81x 2 y 2 .
2. Представьте в виде произведения :
а ) 25 36 p 2 c 2 ; б ) (3 y ) 2 4; в ) (3 x 1) 2 (4 x 3) 2 ;
3 * . Разложите на множители :
а ) x 2 n 9; б ) b 2 a 4 n ; в ) x 2 n y 2 n ; г ) 81a 8 n 16.

13. Самостоятельная работа

II вариант
1. Разложите на множители :
а ) 9 p 2 4; б )1 25 x 2 ; в ) n 2 c 2 ;
г ) x 2 y 2 ; д) 4 x 2 y 2 ; е)16a 2 b 2 .
2. Представьте в виде произведения :
а )100 49 x 2 y 2 ; б ) (5 x) 2 9; в ) (2a 7) 2 (3a 5) 2 ;
3 * . Разложите на множители :
а ) a 2 n 1; б ) x 2 y 4 n ; в ) a 4 n b 4 n ; г ) 49 x 6 n 25.

14. МАТЕМАТИЧЕСКИЙ ДИКТАНТ

ДИКТАНТ 2.
1. Разложите на множители многочлен 4 х
2. Разложите на множители многочлен
2
9
1 49с 2
3. Разложите на множители многочлен 4 х 2 9 y 6
4. Найдите значение выражения
5. Представьте многочлен
119 2 109 2
a 2 10ab 25b 2
в виде квадрата двучлена
6. Представьте многочлен
в виде квадрата двучлена
9 х 2 30 хy 25 y 2

15.

16. Источники материалов:

Ю.Н.Макарычев и др. «Алгебра - 7», М.:
Просвещение, 2000.
Т.М.Ерина УМК «Поурочное
планирование по алгебре. К учебнику
Ю.Н.Макарычева и др. «Алгебра. 7
класс», М.: «Экзамен», 2006.