Разностная задача. Дирихле для уравнения. Пуассона в квадрате

1. Лекция 14:

Разностная задача Дирихле для
уравнения Пуассона в квадрате.

2. План лекции:

1)
2)
3)
Разностная схема задачи Дирихле для уравнения
Пуассона.
Явный Чебышевский метод.
Метод простой итерации.

3. Разностная схема задачи Дирихле для уравнения Пуассона.

0 xk l , k 1,2
Пусть задан квадрат
.
Рассмотрим задачу Дирихле для уравнения Пуассона:
2u 2u
(14.1)
Lu 2 2 f ( x), x
x1 x2
(14.2)
Здесь
u g (x)
x ( x1, x2 ),0 xk l , k 1,2
\
Введем в области сетку:
h {xij ( x1i , x2 j ) x1i ih, x2 j jh, h
h {xij , i, j 1,..., N 1}
y - сеточная функция на h
l
, i, j 0,..., N }
N
h h \ h

4.

Для решения задачи (14.1), (14.2) построим разностную схему, которая
будет иметь следующий вид:
2
(14.3)
Lh y y xk xk f h ( x),
k 1
(14.4)
y g ( x), x h ,
Здесь
yi 1 j 2 yij yi 1 j
yx1x1
h2
x h ,
h
yx2 x2
.
yij 1 2 yij yij 1
h2
Эти разностные отношения аппроксимируют вторые производные со
вторым порядком по шагу сетки. Следовательно разностная схема (14.3)
имеет второй порядок погрешности аппроксимации. Она устойчива,
следовательно ее приближенное решение будет сходиться к точному
решению задачи (14.1), (14.2)со скоростью O (h 2 ) .

5. Явный чебышевский метод.

yk 1 yk
(14.5)
Lh yk f h , x h ,
k 1
yk g ( x), x h , k 0,1,..., n
Задав произвольно начальное приближение y 0 (единственным
ограничением при его задании будет требование выполнения граничных
условий, т.е. y0 g ( x), x
), найдем из равенства (14.5) y1 , затем y 2и т.д.
(14.6)
Здесь
k
0
1 0 k
, k cos
(2k 1)
, k 1,2,..., n
2n
n n0 ( )
n - число итераций,
- заданная точность.
n0 - минимальное число итераций,

6.

В случае, когда область квадрат, остальные параметры определяются
следующим образом:
h2
h
0 , 0 cos
4
l
l
2
n0 ( ) ln 0,32 N ln 2
h
N 1 - количество узлов по одному направлению.
Перепишем разностную схему в виде:
yk 1 yk k 1 ( Lh yk f h ),
.
x h ,
yk g , k 1,...
h
В это равенство подставляем разностные отношения, получаем
расчетные формулы:
y (i 1, j ) yk (i 1, j ) yk (i, j 1) yk (i, j 1)
yk 1 (i, j ) (1 k 1 ) yk (i, j ) k 1 k
f
(
i
,
j
)
0
h2
y (i, j ) y ( x1i , x2 j ),1 i, j N 1

7. Метод простой итерации.

Этот метод отличается от итерационного метода с чебышевскими
параметрами, тем, что все параметры k 0. Когда область - квадрат,
то
.
2
n0 ( ) 0,2 N ln 1
т.е. число итераций для метода простой итерации пропорционально
квадрату числа узлов N по одному направлению (или пропорционально
числу неизвестных в уравнении).
Расчетная формула метода простой итерации имеет вид:
1
h2
yk 1 (i, j ) [ yk (i 1, j ) yk (i 1, j ) yk (i, j 1) yk (i, j 1)]
f (i, j )
4
4
Сравнение этих итерационных методов при заданном числе узлов по
одному направлению и заданной точности:
N=32
N=64
N=128
n=101
n=202
n=404
(чебыш.м.)
n=1909
n=7642
n=30577
(м.прост. итерации)