Численные методы решения обыкновенных дифференциальных уравнений

1. Численные методы решения обыкновенных дифференциальных уравнений

2. Постановка и решение задачи Коши

Решением дифференциального
уравнения (ДУ) I порядка
y’ = f (x,y) ,
разрешенного относительно
производной, называется функция
y = (x) ,
которая при подстановке в уравнение
обращает его в тождество

3. Постановка и решение задачи Коши

Решением дифференциального
уравнения (ДУ) I порядка
y’ = f (x,y) ,
разрешенного относительно
производной, называется функция
y = (x) ,
которая при подстановке в уравнение
обращает его в тождество
’(x) f (x, (x)) .

4. Постановка и решение задачи Коши

Задача Коши для одного
дифференциального уравнения
первого порядка разрешенного
относительно производной
y’= f(x,y)
y(x0)= y0
состоит в нахождении частного
решения ДУ, удовлетворяющего
начальному условию y(x0)= y0.

5. Постановка и решение задачи Коши

Геометрический смысл задачи Коши:
найти такую интегральную кривую
(график решения), которая
проходит через заданную начальную
точку M(x0, y0).

6. Постановка и решение задачи Коши

Геометрический смысл задачи Коши:
найти такую интегральную кривую
(график решения), которая
проходит через заданную начальную
точку M(x0, y0).

7. Постановка и решение задачи Коши

Возможны 2 пути решения задачи Коши:
1. Аналитический
2. Численный

8. Постановка и решение задачи Коши

Решить задачу Коши численно —
значит для заданной
последовательности значений
аргумента (узлов ) x0, x1, … xn , и
числа y0 (значение искомой функции в
начальном узле x0 ), не находя самогo
решения y = (x) , приближенно
вычислить значения
y1, y2, ….yn
этого решения в остальных узлах.

9. Постановка и решение задачи Коши

Численное решение задачи Коши
позволяет вместо отыскания точного
решения y = (x) в виде формулы
получить таблицу значений
xi
x0
x1
x2
(xi) (x0) y1
yn
…
xn
yn

10. Метод ломаных Эйлера

основан на кусочной замене искомой
функции полиномом первой степени,
т. е. на линейной интерполяции.

11. Метод ломаных Эйлера

Рассмотрим систему равноотстоящих
узлов
x 0 , x 1 , … x n,
где xk= x0 +kh, k=1, 2, 3,….

12. Метод ломаных Эйлера

Будем искать решение в виде
yk+1= yk +h f (xk ,yk) .

13. Метод ломаных Эйлера

14. Метод Эйлера : выводы

Метод Эйлера — представитель
одношаговых приближенных методов,
в которых решение в (k +1)-м узле
получается на основе решения только
в одном предыдущем k-м узле. Тем
самым информация о более ранних
уже вычисленных значениях
игнорируется

15. Метод Эйлера : выводы

Как и в любом одношаговом методе,
начиная со второго шага исходное
значение yk в формуле
yk+1= yk +h f (xk ,yk)
самo является приближенным, т. е.
погрешность на каждом последующем
шаге систематически возрастает.

16. Примеры

Решить задачу Коши
y’=-y
y(0)=1

17. Примеры

Точное решение
y=e-x

18. Примеры

Теперь применим приближенный
метод Эйлера
f (x, y) = -y, x0 =0 ; y0 =1
yk+1= yk +h f (xk ,yk), k=1, 2, 3, 4, 5
Пусть h=0.2
yk+1= 0.8yk

19. Метод Эйлера : выводы

Погрешность метода О(h)
Уменьшение h повышает точность
вычислений, но резко увеличивает их
объем.
В целом метод ломаных Эйлера
применим только для грубой прикидки

20. Модифицированный метод Эйлера

21. Модифицированный метод Эйлера

22. Модифицированный метод Эйлера – Коши

23. Модифицированные методы Эйлера

Точность методов O(h2)

24. Примеры

Теперь применим приближенный
метод Эйлера
f (x, y) = -y, x0 =0 ; y0 =1
yk+1= yk +h f (xk ,yk), k=1, 2, 3, 4, 5
Пусть h=0.2
yk+1= 0.8yk

25. Методы Рунге-Кутты

Идея, предложенная Рунге (1856–
1927) и Куттой (1867–1944),
заключается в том, чтобы при
численном решении задачи Коши
использовать значение функции
f(x,y), вычисляя ее на каждом
шаге ее значения в нескольких
точках

26. Методы Рунге-Кутты

Идея, предложенная Рунге (1856–
1927) и Куттой (1867–1944),
заключается в том, чтобы при
численном решении задачи Коши
использовать значение функции
f(x,y), вычисляя ее на каждом
шаге ее значения в нескольких
точках

27. Метод Рунге-Кутты IV порядка

28. Примеры

Решить задачу Коши
y’=y(1-x)
y(0)=1

29. Примеры

Точное решение

30. Примеры

Правая часть уравнения
f(x,y)=y(1-x)
x0=0, y0=1

31. Примеры

32. Примеры

Рассмотрим уравнение
y’+y=3e2x
на интервале x [0, 1]
Точное решение уравнения
y(x)=e2x

33. Примеры

34. Конечно-разностные методы

Рассмотренные выше методы требуют
многократного вычисления значений
правой части уравнения.
Можно воспользоваться функции
конечноразностной аппроксимацией.

35. Конечно-разностные методы

Пусть рассматривается задача
y’= f(x,y)
y(x0)= y0

36. Конечно-разностные методы

Решение:
1. Найдем решение уравнения в
первых p точках одним их
описанных методом
2. Для следующих точек решение
будем искать в виде

37. Конечно-разностные методы

3. Заменим подинтегральную функцию
интерполяционным многочленом
4. Вычислим значения функции в
оставшихся точках

38. Конечно-разностные методы

Возьмем в качестве
интерполяционного многочлена
формулу Ньютона
интерполирования вперед

39. Конечно-разностные методы

Получим экстраполяционную
формулу Адамса

40. Конечно-разностные методы

Экстраполяционная формула Адамса
при n=3:

41. Конечно-разностные методы

При использовании формулы
Ньютона интерполирования назад,
получаем интерполяционную
формулу Адамса (при p=3)

42. Разностные методы для краевых задач

При использовании формулы
Ньютона интерполирования назад,
получаем интерполяционную
формулу Адамса (при p=3)