Численные методы решения обыкновенных дифференциальных уравнений

1. Численные методы решения обыкновенных дифференциальных уравнений

2. Уравнение

F ( x, y, y , y , , y ( n ) ) 0,
(1)
связывающее неизвестную функцию y(x), независимую
переменную x и производные неизвестной функции,
называется обыкновенным дифференциальным
уравнением.
n – порядок дифференциального уравнения.
В задаче Коши для дифференциального уравнения n-го
порядка искомая функция , кроме самого
дифференциального уравнения должна удовлетворять
начальным условиям
y ( x0 ) 0 , y ( x0 ) 1 , y ( x0 ) 2 , , y ( n 1) ( x0 ) n 1
(2)

3. Рассмотрим задачу Коши для ОДУ первого порядка

Метод Эйлера
Рассмотрим задачу Коши для ОДУ первого порядка
y f x, y
(3)
y x0 y0
(4)
Требуется найти функцию, которая удовлетворяет
уравнению (3) на интервале (x0, X) и начальному условию
(4).
Разобьем отрезок [x0, X] на n частей
____
xi x0 i h, i 1, n
X x0
h
n

4.

Найдем приближенные значения решение
y(x) в точках
___
xi , i 1, n
Рассмотрим уравнение (3) в точках
________
xi , i 0, n 1
Заменим производную y xi разностной формулой
y xi 1 y xi
y xi
h
Получим рекуррентную формулу
________
yi 1 yi h f xi , yi , i 0, n 1
(5)

5. Найдем приближенное решение по методу Эйлера

Метод Эйлера с уточнением
Найдем приближенное решение по методу Эйлера
~
yi 1 yi h f xi , yi
(6)
уточним решение по формуле
f xi , yi f xi 1 , ~
yi 1
yi 1 yi h
2
(7)

6. Вычисление приближенного значения в следующей точке производится по формулам

Метод Рунге-Кутты
Рассмотрим задачу Коши
y x0 f x, y , y x0 y0
Вычисление приближенного значения yi 1 в следующей
точке xi 1 xi h производится по формулам
yi 1 yi yi
1 (i )
yi K1 2 K 2( i ) 2 K3( i ) K 4( i ) ,
6
(8)

7.

K1( i ) h f xi , yi ,
K
K
(i )
2
(i )
3
K 4( i )
h
K1( i )
,
h f xi , yi
2
2
(9)
h
K 2( i )
,
h f xi , yi
2
2
h f xi h, yi K 3( i ) .
Для оценки правильности выбора шага h используют дробь
K2( i ) K3( i )
(i )
K1 K2( i )
Оценку погрешности можно получить с помощью
двойного просчета
y ( x , h ) y ( x ,2 h )
*
y ( x ) y ( x, h )
p
2 1
(10)
(11)

8.

yi 1 yi yi
h2
h3
h 4 ( IV )
yi y x h y x h y x
y x y x
y x
2
6
24
(12)
Производные определяются последовательным
дифференцированием уравнения y f x, y

9. Пусть дано уравнение

Метод Пикара
(метод последовательных приближений)
Пусть дано уравнение
y f x, y
правая часть которого в прямоугольнике R x x0 a, y y0 b
непрерывна и имеет непрерывную частную производную по y.
Требуется найти решение уравнения (3), удовлетворяющее
начальному условию (4).
Интегрируя обе части уравнения от x0 до x получим
y
x
y0
x0
dy f x, y dx

10.

x
y ( x ) y0 f x, y dx
(13)
x0
Уравнение (3) заменили интегральным уравнением (13), которое
удовлетворяет начальному условию (4)
Заменим в равенстве (13) функцию у значением y0. Получим
первое приближение
x
y1 ( x ) y0 f x, y0 dx
x0
Затем в уравнении (13) заменяем у найденным значением
значением y1 и получаем второе приближение
x
y2 ( x ) y0 f x, y1 dx
x0

11.

Решение у(х) получают как предел последовательности функций
уn(х), которые находят по рекуррентной формуле
x
yn ( x ) y0 f x, yn 1 ( x ) dx
(14)
x0
Если функция f(x,y) непрерывна в прямоугольнике R, то оценка
приближенного решения yn(x) на отрезке [x0, x0+h] определяется
неравенством
n 1
h
y ( x ) yn ( x ) N n M
,
(n 1)!
где
b
M max f ( x, y ) , h min a,
( x , y ) R
M
N max f y ( x, y )
( x , y ) R

12. Интегрирование дифференциальных уравнений с помощью степенных рядов

Представим решение y(x) уравнения (3) в окрестности точки x0 в
виде ряда Тейлора:
x x0
y y 0 y x0 x x0 y x0
2
4
x
x
0
y ( IV ) x0
2!
x x0
y x0
3
3!
(15)
4!
Представление искомого решения в виде ряда Тейлора особенно
удобно для небольшого промежутка интегрирования вблизи
начальных значений.
Для нахождения коэффициентов ряда (15) уравнение (3)
дифференцируют по х нужное число раз, используя условие (4).