Приложение определённого интеграла. Тема 18

1.

2.

Тема 18.
Приложение
определенного
инетграла.

3.

Основными геометрическими
приложениями определенного
интеграла являются:
вычисление площади плоской
фигуры, вычисление объемов
тел вращения вокруг осей
координат и вычисление
длины дуги плоской кривой.

4.

Площадь всякой фигуры в
прямоугольной системе
координат может быть
составлена из площадей
криволинейных трапеций,
прилегающих к оси Ох
или к оси Оу.

5.

При вычислении площадей
плоских фигур с помощью
определённого интеграла мы
ограничимся рассмотрением
только тех фигур, которые
часто встречаются на
практике.

6.

Случай 1. Пусть
криволинейная трапеция
ограничена графиком
функции y = f(x) сверху,
осью Ox снизу и двумя
прямыми
x = a и x = b.

7.

8.

Тогда площадь такой фигуры
вычисляется по формуле
b
S f ( x)dx
a

9.

Случай 2. Пусть
криволинейная трапеция
ограничена графиком
функции y = f(x) снизу, осью
Ox сверху и двумя прямыми
x = a и x = b.

10.

11.

Тогда площадь такой фигуры
вычисляется по формуле
b
S f ( x) dx
a

12.

Также можно использовать
формулу
b
S f ( x)dx
a

13.

Случай 3. Пусть
криволинейная трапеция
ограничена осью Ox,
графиком функции y = f(x),
прямыми x = a и x = b,
расположена по обе стороны
оси Ox.

14.

15.

Тогда площадь такой фигуры
вычисляется по формуле
с
b
a
c
S f ( x)dx f ( x) dx

16.

Случай 4. Пусть
криволинейная фигура
ограничена двумя
пересекающимися кривыми
y = f(x), y = g(x),
прямыми x = a и x = b,
где
f(x) ≥ g(x).

17.

18.

Тогда площадь такой фигуры
вычисляется по формуле
b
S f ( x) g ( x) dx
a

19.

Так же используют формулу
b
S yв ун dx
верхняя
кривая,
в
нижняя
кривая.
где y
yн
a

20.

График функций строится
поточечно, но для параболы
можно составить алгоритм,
который значительно
упростит задачу построения
графика, а затем и
вычисления площади.

21.

Алгоритм построения и
вычисления площади искомой
фигуры.
1. Вычислим вершину
параболы O(x; y). Сначала
найдём абсциссу вершины из
условия x= b/2a,

22.

затем находим ординату y,
для этого подставляем
найденное x в исходное
уравнение параболы.
2. Построим параболу по
точкам относительно оси
симметрии, то есть
относительно абсциссы
вершины.

23.

Если кроме параболы задана
прямая
y=kx+b,
то её нужно построить по двум
точкам. Если кроме параболы
задана ещё одна парабола, то
её строят аналогично по
алгоритму.

24.

3. Найдём абсциссы точек
пересечения параболы и
прямой(параболы и
параболы), для этого решим
уравнение
y = y.

25.

4. Смотрим к какому случаю
относится искомая фигура.
Применяем данную формулу и
вычисляем интеграл.

26.

Примеры.
1. Вычислить площадь
фигуры, ограниченной
линиями
y x 2; y 0;
x 2; x 1.
2

27.

2. Вычислить площадь
фигуры, ограниченной
линиями
y x 1; y 0;
x 1; x 1.
2

28.

3. Вычислить площадь
фигуры, ограниченной
линиями
y x ; y 0;
x 1; x 2.
3

29.

4. Вычислить площадь
фигуры, ограниченной
линиями
y x 1;
y 2 x 2;
2