Законы и основные уравнения электромагнитного поля

1. МОСКОВСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ ТЕХНИЧЕСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ ГРАЖДАНСКОЙ АВИАЦИИ  ИРКУТСКИЙ ФИЛИАЛ  КАФЕДРА АВИАЦИОННЫХ ЭЛЕКТРОСИСТЕМ И

МОСКОВСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ ТЕХНИЧЕСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ
ГРАЖДАНСКОЙ АВИАЦИИ
ИРКУТСКИЙ ФИЛИАЛ
КАФЕДРА АВИАЦИОННЫХ ЭЛЕКТРОСИСТЕМ И ПИЛОТАЖНОНАВИГАЦИОННЫХ КОМПЛЕКСОВ
ЛЕКЦИЯ № 2.1
по дисциплине
Теория электромагнитного поля
ТЕМА № 2
Законы и основные уравнения электромагнитного
поля

2. Вопросы лекции

2.1. Электростатическое поле.
2.1.1. Электрический заряд, напряженность
электростатического поля, электрический потенциал.
2.1.2. Обобщенная теорема Гаусса.
2.1.3. Уравнения Пуассона и Лапласа.
2.1.4. Теорема единственности.

3. 2.1. Электростатическое поле.

18
Электростатическое поле - это частный вид электромагнитного поля. Оно
создается совокупностью электрических зарядов, неподвижных в пространстве
по отношению к наблюдателю и неизменных во времени.
Из курса физики известно, что любое вещество состоит из элементарных
заряженных частиц, окруженных электромагнитным полем.
Элементарные заряды (заряды электрона и протона) характеризуются
связью с собственным и взаимодействием с внешними электрическими полями.
В любом веществе всегда имеется микроскопическая неоднородность в
пространстве. Элементарные заряженные частицы, входящие в состав атомов и
молекул, находятся в непрерывном хаотическом движении. Следовательно,
кроме микроскопической неоднородности, в пространстве всегда имеется
неодинаковость расположения элементарных зарядов в смежные моменты
времени.
В теории поля осредняют микроскопические неоднородности вещества в
пространстве и во времени, т. е. рассматривают процессы в макроскопическом
смысле.

4.

18
В заряженном теле (если общий заряд его неизменен во времени)
элементарные заряды движутся хаотически. Поэтому даже в непосредственной
близости от поверхности этого тела создаваемое элементарными зарядами
магнитное поле практически отсутствует. Это и дает возможность
рассматривать в электростатическом поле лишь один электрический компонент
электромагнитного поля.
Под зарядом (зарядом тела) понимают скалярную величину, равную
алгебраической сумме элементарных электрических зарядов в этом теле.
В дальнейшем, как правило, будем иметь дело с полем, создаваемым в
однородной и изотропной средах, т. е. в таких, электрические свойства которых
одинаковы для всех точек поля и не зависят от направления. В ином случае
сделаны соответствующие оговорки.
Электростатическое поле обладает способностью воздействовать на
помещенный в него электрический заряд с механической силой, прямо
пропорциональной значению этого заряда.
В основу определения электрического поля положено механическое его
проявление. Оно описывается законом Кулона.

5.

2.1.1. Электрический заряд, напряженность электростатического поля,
электрический потенциал.
18
а). Электрический заряд
При изучении электрических явлений во многих практически важных
случаях можно не учитывать атомистического строения электричества. Хотя
заряженные тела содержат огромное количество движущихся элементарных
частиц, не будет ошибкой считать общий заряд тела неподвижным и
распределенным непрерывно. Такое суммарное или макроскопическое изучение
стационарных электрических явлений оправдывается тем, что результаты
расчетов вполне согласуются с опытом. Поэтому электрические заряды можно
считать бесконечно делимыми и пользоваться понятием плотности заряда.
Если заряд q распределен в пространстве, то объемная плотность заряда
dq .
dV
Соответственно заряд
q dV .
V

6.

Если заряд q распределен по поверхности S, то поверхностная плотность13
заряда
dq
,
dS
а заряд можно определить по формуле:
q dS .
S
Аналогично определяется и линейная плотность заряда
dq ,
dl
где dl элемент линии, вдоль которой распределен заряд, равный
q dl .
l
Если размеры заряженного тела малы по сравнению с расстоянием от него
до точек, в которых рассматривается поле, то заряд такого тела называют
точечным. Очевидно, что плотность точечного заряда можно считать равной
беконечности.

7.

Два точечных заряда одного знака отталкиваются друг от друга. Сила
отталкивания F в вакууме определяется законом Кулона:
Qq
F k 2 .
R
17
Здесь Q – первый точечный заряд; q – второй точечный заряд; R – расстояние
между ними; k – коэффициент пропорциональности, численное значение
которого зависит от выбора системы единиц измерения.
Надо помнить, что закон Кулона справедлив только для точечных
заряженных тел. Только в этом случае форма заряженных тел не влияет на
силу взаимодействия.
Если заряженные тела находятся не в вакууме, а в однородной, изотропной,
т. е. обладающей одинаковыми свойствами во всех направлениях, непроводящей
среде, то сила отталкивания, как показывает опыт, меньше в (эпсилон) раз
Qq
.
F k
2
R
Безразмерная величина называется диэлектрической проницаемостью
среды, в которой находятся заряженные тела.

8.

11
Направление силы взаимодействия F совпадает с прямой, соединяющей
точечные заряженные тела или, короче говоря, точечные заряды (рис. 1).
Рис.1. Два точечных заряда в однородном
диэлектрике
Если заряды Q и q имеют разные знаки,
сила взаимодействия между ними будет
силой притяжения.
Сила, действующая на заряд q, запишется в векторной форме следующим
образом:
Qq
F k 2 1R ,
R
где 1R - единичный вектор, направленный от точки с зарядом Q к точке с
зарядом q.
В системе СИ заряд измеряется в кулонах (К), сила в ньютонах (Н),
расстояние в метрах (м). Коэффициент k в той же системе единиц при
1 .
рационализированной форме записи формул равен:
k
4 0
Величина 0 называется электрической постоянной. Она равна:
10 7
12
0
8
,
856
10
Ф/м
2
4 c

9.

16
где с – численное значение скорости света в свободном пространстве,
выраженное в метрах в секунду.
Произведение диэлектрической проницаемости r , иногда называемой
относительной диэлектрической проницаемостью, и электрической
постоянной 0, обозначают буквой а называют абсолютной
диэлектрической
проницаемостью. Она, как и электрическая постоянная,
измеряется в фарадах на метр (Ф/м).
Окончательное выражение силы, действующей на заряд, примет вид:
Qq
(1)
F k
1
4 а R 2
R

10.

б). Напряженность электростатического поля
15
Электрический заряд всегда связан с электромагнитным полем. Если заряд
неподвижен, электрическое поле заряда называется электростатическим.
Для описания и измерения электростатического поля пользуются
выражением силы отталкивания или притяжения, которое испытывает пробное
заряженное тело, помещенное в это поле. Чем меньше величина пробного
заряда, внесенного в поле, тем меньшая действует на него сила, однако
отношение их представляет собой конечную величину.
Предел отношения силы F, действующей на пробный заряд, к величине
этого заряда q, когда он стремится к нулю, называют напряженностью
F
электрического поля:
E lim
q 0 q
.
Q
E
1
2 R
Напряженность электрического поля точечного заряда
(2)
4 а R
Напряженность электрического поля в системе СИ измеряется в вольтах на
метр (В/м).
Силу взаимодействия двух точечных зарядов Q и q можно выразить
следующим образом:
(3)
F Eq .
Следует отметить, что хотя напряженность электростатического поля
определяется силой взаимодействия двух зарядов, сама она не является силой.

11.

8
Если в поле отсутствует пробный заряд q, механическая сила
взаимодействия равна нулю, но напряженность поля Е в каждой точке будет
Q
отлична от нуля
.
E
1
2 R
4 а R
Поэтому электростатическое поле можно
рассматривать как векторное поле напряженности Е.
Линия напряженности (силовая линия) – линия,
касательные к которым в каждой точке совпадают по
направлению с вектором напряженности в данной точке поля.
Напряженность Е зависит от свойств среды и обратно пропорциональна а .
Вектор напряженности, переходя через границу диэлектриков претерпевает
скачкообразное изменение, создавая неудобства при расчетах. Для этого был
введен еще один вектор –электрическое смещение.
Электрическим смещением или электрической индукцией называют
величину D, которая в однородных и изотропных средах пропорциональна
напряженности электрического поля. Коэффициент пропорциональности равен
абсолютной диэлектрической проницаемости
D = а Е = r 0 Е.
В системе единиц СИ электрическая индукция измеряется в кулонах на
квадратный метр (К/м2).
В вакууме электрическое смещение
D = 0 Е.

12.

Необходимо отметить, что в некоторых средах (например, в анизотропных 14
кристаллах) векторы Е и D могут не совпадать по направлению.
Диэлектрическая проницаемость выражается в таком случае как тензор.
Если поле создается несколькими точечными зарядами, то общая
напряженность Е электрического поля в любой точке равна геометрической
1 n Qm
сумме
(4)
E E E ... E
1
1
2
n
4 a m 1 R 2m
Rm
где E , E , ..., E - напряженности электрического поля в данной точке,
1
2
n
возбужденные зарядами Q1 , Q2 , ..., Qn . Это положение имеет важное значение.
Оно указывает на то, что для электрического поля применим принцип
наложения.
Уравнение (4) позволяет вычислить Е, если известно распределение зарядов
в пространстве. Вычисление сводится к определению проекций вектора Е в
такой системе координат, в которой расчеты получаются наиболее простыми.
Свойства электрического поля будут полностью определены, если для
каждой точки поля будет известна величина вектора Е.
Если в электрическое поле с напряженностью Е внести точечный заряд q, то
под действием силы поля F Eq (3) заряд начнет перемещаться. Работа,
совершенная силами поля при перемещении заряда q из точки 1 в точку 2,
1
1
A Fdl Edl .
1
1

13.

Для информации
Тензор -объект линейной алгебры, заданный на векторном
пространстве V конечной размерности n(линия, площадь, объем и т.д.)
Rot –это циркуляция по малому контуру, т.е. то, насколько в конкретной точке
поток поворачивается. ротор - это вектор, его смысл - завихренность
Div – это по-русски расхождение; смысл таков: это скорость втекания и
вытекания поля в точку (поток через сферу окружающую точку) или плотность
втекания-вытекания поля в точку
например,
если div поля скоростей газа положительна, то
из точки (через малую сферу с центром в этой
точке) газ в целом вытекает, если
отрицательна - то втекает, если ноль-то баланс
(в банке газ прибывает, убывает, или стоит на
месте
Grad –вектор, указывающий направление
наибольшего возрастания величины потока,
равный по величине изменению этого потока.

14.

Электростатическое поле обладает весьма важным свойством – работа сил 13
поля вдоль замкнутой кривой равна нулю. Чтобы доказать правильность
высказанного положения, достаточно показать, что циркуляция вектора Е
(линейный интеграл по замкнутой кривой) равна нулю:
Edl 0 .
L
Так как циркуляция вектора напряженности электрического поля равна
нулю, то и ротор его равен нулю:
rotE = 0.
(5)
Соотношение (5) выражает основное свойство электростатического поля
– оно безвихревое.

15.

в). Электрический потенциал
12
Так как электрическое поле безвихревое (rot Е = 0), то можно найти такую
скалярную функцию , градиент которой, взятый со знаком плюс или минус,
равен вектору напряженности поля Е:
grad E .
(6)
В теории поля выбирают знак минус, который указывает на то, что
напряженность поля направлена в сторону убывания . Скалярная функция
называется потенциальной функцией или просто потенциалом.
Приращение потенциала между двумя бесконечно близкими точками поля
равно d Edl . Если точки находятся на линии вектора Е, то d Edn , где
dn – расстояние между выбранными точками.
Потенциал любой точки поля можно определить из выражения
Edl const .
(7)
Постоянная интегрирования определяется заданием точки с нулевым
потенциалом, Потенциал измеряется в вольтах (В).
Разность потенциалов между двумя точками поля а и b и напряженность
поля связаны соотношением
a b Edl .
(8)

16.

Легко показать, что разность потенциалов не зависит от формы пути
интегрирования, а зависит только от положения начальной и конечной точек.
Проведем в поле произвольную замкнутую кривую а – 1 – b – 2 – а (рис. 2).
Так как циркуляция вектора Е равна нулю, то
Edl 0 .
a1b 2 a
Разобьем этот интеграл на два интеграла; их сумма равна нулю:
a1bEdl b 2aEdl 0 ,
или
Edl Edl .
a1b
b 2a
Если изменить направление обхода b2а на обратное, то знак интеграла при
этом не изменится и
a1bEdl a 2bEdl
,
т. е. значение линейного интеграла не зависит от выбора
пути, а зависит только от положения точек а и b.
Рис.2. Перемещение из одной точки поля в другую по двум
путям
4

17.

Потенциал поля точечного заряда легко найти, подставив в формулу (7)
значение Е из формулы (2):
Q
1 dl const
2 R
.
4 a R
Так как 1R dl dR , то
Q
const .
4 a R
Если принять потенциал равным нулю при R= , то постоянная
интегрирования обратится в нуль и
Q
4 a R .
Зная потенциал, можно найти напряженность электрического поля по
формуле (6):
11
Е = - grad .
В поле объемных зарядов вектор Е везде конечен и непрерывен. В поле
поверхностных зарядов вектор Е конечен всюду, но претерпевает разрыв на
поверхности S, по которой распределен заряд. В поле линейных зарядов
вектор Е обращается в бесконечность на линии L, вдоль которой распределен
заряд.

18.

2.1.2. Обобщенная теорема Гаусса.
10
Поляризация диэлектрика и электрическая индукция
Как было указано выше, напряженность поля Е, возбужденного зарядом Q,
в вакууме и в непроводящем веществе неодинакова. В непроводящей среде
напряженность электрического поля в раз меньше, чем в пустоте. Изменение
напряженности вызывается поляризацией диэлектрика.
Поляризация может происходить различным образом в зависимости от
строения молекул диэлектрика. При отсутствии внешнего поля диэлектрик
в целом можно считать электрически нейтральным. При наличии внешнего
поля диэлектрик перестает быть нейтральным - он поляризуется. Заряды,
выявившиеся при поляризации, связаны с молекулами и могут лишь
незначительно перемещаться только внутри этих молекул. Такие заряды
называют связанными. В отличие от них заряды, которые можно перенести с
одного тела на другое, называют свободными.

19.

Связанные заряды при поляризации создадут свое поле, напряженность
которого будет направлена противоположно напряженности внешнего поля.
Поэтому напряженность результирующего поля в диэлектрике будет
меньше, чем напряженность внешнего поля.
9

20.

8
Степень поляризации диэлектрика характеризуется вектором
поляризованности Р, который для однородных (состоящих из одного и того же
вещества) и изотропных (не зависящих от направления действия векторов Е и
В) диэлектриков в относительно слабых полях пропорционален
напряженности электрического поля
P 0k ЭE
(9)
где ε0 (эпсилон) - абсолютная диэлектрическая проницаемость. Из физики ε0
=8,85 Ф/м (Фарад на м)
Безразмерная величина k Э называется диэлектрической восприимчивостью.
Поляризованность среды Р показывает, насколько электрическая индукция
в данной среде отличается от электрической индукции в вакууме:
P D 0E 0 ( 1)E.
т.к. D = а Е = 0 Е, то
где ε (эпсилон) - относительная диэлектрическая проницаемость показывает
во сколько раз сила взаимодействия между двумя зарядами в данной среде
меньше, чем в вакууме.
k Э 1.
Следовательно,
Поляризованность Р, так же как и электрическое смещение D, измеряется в
кулонах на квадратный метр (Кл/м2).

21.

7
Теорема Гаусса
Теорема Гаусса является одной из фундаментальных теорем теории поля.
Она гласит: поток вектора электрической индукции D сквозь произвольную
замкнутую поверхность S равен алгебраической сумме свободных зарядов Q,
расположенных в объеме, ограниченном этой поверхностью
(10)
S DdS Q.
Докажем вначале эту теорему для случая, когда имеется один точечный
заряд. Поверхность S выбирается произвольно. Электрическая индукция в этом
Q
Q
1 dS , а её поток
случае D
2 R
4 R
S 4 R 2 1R dS.
1 dS dS
Величина
R
R
2
R
R
2
d
Рис.1. Поток вектора смещения сквозь
замкнутую поверхность
представляет собой телесный угол. Под
углом d виден элемент поверхности dS,
если вершина телесного угла совмещена
с точкой, в которой находится заряд Q
(рис. 1). Телесный угол, под которым
видна вся поверхность S, равен 4
стерадиан. (Стерадиан (символ: sr) или квадратный
радиан - это единица измерения телесного угла в
системе СИ. Он используется в трехмерной геометрии и
аналогичен радиану, который количественно определяет
плоские углы.)

22.

Подставив значение d , получим:
Так как D = аЕ, то
DdS
EdS Q.
S
Q
d Q.
4 S
a
S
Если абсолютная диэлектрическая проницаемость а = const, то
EdS
S
Q
.
a
Докажем теорему для случая произвольно распределенного заряда. Любая
система зарядов может быть разложена на элементарные заряды dQ, каждый из
которых можно считать точечным. Для каждого такого элементарного заряда
справедлива теорема Гаусса. Суммируя элементарные потоки и заряды в
объеме, ограниченном поверхностью S, получаем:
DdS Q.
S
где Q - алгебраическая сумма всех зарядов, находящихся внутри
объема, ограниченного поверхностью S.
Если заряд расположен вне объема, ограниченного замкнутой
поверхностью S, то поток вектора электрической индукции D сквозь такую
поверхность равен нулю. Теорема Гаусса широко используется при расчете
электрических полей.
6

23.

Теорема Гаусса в дифференциальной форме.
К.Ф. Гаусс (1777–1855) выдающийся немецкий математик, астроном и физик в 1839г. предложил теорему,
которая устанавливает связь потока вектора напряженности электрического поля через замкнутую поверхность со
значением заряда q, находящегося внутри этой поверхности. Эта теорема выведена математически для векторного
поля любой природы русским математиком М.В. Остроградским (1801-1862), а затем независимо от него
применительно к электростатическому полю – К.Гауссом. Теорема гласит:
поток вектора через любую замкнутую поверхность равен интегралу
от его дивергенции по объему, охватываемому этой поверхностью, т.е.
Дивергенцией вектора
(обозначается div
) в какой либо точке
поля называется предел отношения потока вектора
через замкнутую
поверхность S , охватывающую точку M , к объему ΔV части поля,
ограниченной поверхностью S, при неограниченном уменьшении ΔV :
Аналогично определяется дивергенция любого другого векторного поля. Из
этого определения следует, что дивергенция является скалярной функцией
координат. В декартовой системе координат
5

24.

Для информации
Rot –это циркуляция по малому контуру, т.е. то, насколько в конкретной точке
поток поворачивается. ротор - это вектор, его смысл - завихренность
Div – это по-русски расхождение; смысл таков: это скорость втекания и
вытекания поля в точку (поток через сферу окружающую точку) или плотность
втекания-вытекания поля в точку
например,
если div поля скоростей газа положительна, то
из точки (через малую сферу с центром в этой
точке) газ в целом вытекает, если
отрицательна - то втекает, если ноль-то баланс
(в банке газ прибывает, убывает, или стоит на
месте
Grad –вектор, указывающий направление
наибольшего возрастания величины потока,
равный по величине изменению этого потока.

25.

Преобразуем поток вектора электрической индукции по теореме
Остроградского:
DdS divDdV
В случае объемного распределения заряда Q dV
V
DdS Q. ,
Так как по теореме Гаусса
S
V
S
то
divDdV dV .
V
V
Объем V был выбран произвольно, и равенство справедливо для всех его
значений. При таком условии подынтегральные функции должны быть равны и
(11)
divD .
Полученное выражение представляет собой дифференциальную форму
теоремы Гаусса. Оно отмечает то обстоятельство, что источники
электрического поля находятся только в тех местах, в которых имеются
электрические заряды.
Для сред с постоянной диэлектрической проницаемостью можно записать:
(12)
.
divE
a
Формулы (11) и (12) справедливы и в случае переменного во времени
электромагнитного поля.
4

26.

3
2.1.3. Уравнения Пуассона и Лапласа. Теорема единственности
Уравнение Пуассона
Электростатическое поле можно рассчитать, пользуясь методом наложения и
выражениями напряженности и потенциала поля точечного заряда или
пользуясь интегральной теоремой Гаусса. Оба метода расчета применимы
только при расчете полей простой конфигурации.
В общем случае расчет поля состоит в решении уравнений Пуассона и
Лапласа.
divE
Чтобы получить эти уравнения, используем соотношения
a
и E grad .
Подставив Е, получим: divgrad
.
a
Дивергенцию градиента принято называть лапласианом и обозначать 2 .
- векторный оператор Набла
Следовательно,
2
.
(13)
a
В тех точках поля, в которых нет заряда,
2
0 .
(14)

27.

Формула (13) носит название уравнения Пуассона. Формула (14) - уравнения2
Лапласа. Решение может быть записано в виде интеграла:
dV
4 a R
V
.
(15)
Введение понятия потенциала облегчает расчет электростатических полей.
Он сводится к определению одной скалярной функции , зная которую, можно
легко определить напряженность поля из выражения
E grad .
Непосредственное определение напряженности поля из уравнения
divE
a
свелось бы к нахождению трех скалярных функций, соответствующих трем
проекциям вектора Е, что значительно сложнее.

28. 2.1.4. Теорема единственности.

Покажем, что если найдена напряженность электрического поля Е, которая
удовлетворяет уравнениям электростатического поля и заданным граничным
условиям, то это решение является единственным.
Пусть E1 такое решение. Тогда div ( a E1 ) и rotE 1 0 .
Найдем дивергенцию и ротор вектора разности Е1 - Е2:
div (E1 E 2 ) divE 1 divE 2 0 ;
rot (E1 E 2 ) rot (E1 ) rot (E 2 ) 0 .
Если у какого-либо вектора, в данном случае Е1— Е2, и дивергенция и
ротор во всех точках поля равны нулю, то такой вектор равен нулю: Е1-Е2 = 0.
Следовательно, Е1 = Е2, т. е. оба решения одинаковы.

29. заключение

Т. о., в результате рассмотрения материала вы получили знания :
- о характеристиках электростатического поля:
- электрическом заряде,
- напряженности электростатического поля,
- электрическом потенциале;
- Об обобщенной теореме Гаусса.
- Уравнениях Пуассона и Лапласа.