Поступательное и вращательное движения твердого тела. Кинематика твердого тела

1.

Поступательное и вращательное
движения твердого тела
Тема № 1.2. Кинематика твердого тела
УЧЕБНЫЕ ВОПРОСЫ
1. Задание движения твердого тела
2. Поступательное движение твердого тела
3. Вращение твердого тела вокруг неподвижной оси
4. Скорости
и
ускорения
вращательном движении
точек
твердого
тела
при

2.

Основные задачи кинематики твердого тела
Абсолютно твердое тело (АТТ) — это тело, в котором расстояние
между двумя произвольными точками не изменяется:
xi x j yi y j zi z j dij2 const
2
2
2
Основные задачи кинематики твердого тела:
1. Нахождение способов задания его движения.
2. Выявление единых для всего тела кинематических параметров.
3. Определение траекторий, скоростей и ускорений любых точек
тела.

3.

Задание движения твердого тела
Под заданием движения тела понимается указание способа
определения положения каждой его точки в любой момент времени по
отношению к выбранной СК.
УТВЕРЖДЕНИЕ: положение твердого тела в общем случае полностью
определяется положением трех его точек , не лежащих на одной прямой
A xa , ya , za , B xb , yb , zb , C xc , yc , zc .
z
Д
B
d1
d3
2
A d C
2
x
xa xb ya yb za zb d12 ;
2
2
2
xb xc yb yc zb zc d 22 ;
2
2
2
2
x
x
y
y
z
z
d
.
a c a c a c 3
y
2
2
Количество независимых параметров, однозначно определяющих положение тела в
пространстве, называется числом степеней свободы тела – S

4.

Частные случаи движения твердого тела
Кинематические характеристики движения твердого тела – это такие
параметры его движения, которые едины для всех точек тела
1. Поступательное движение
2. Вращательное движение (вращение)
3. Плоское движение
4. Сферическое движение

5.

Поступательное движение твердого тела
z
В
Поступательным называется движение тела, при
котором любая прямая, проведенная в теле,
остается все время параллельной своему
начальному положению: const
rB
rA
x
rB rA
А
y
drB drA d drA
VB
VA
dt
dt
dt
dt
aB a A
Вывод: Скорости и ускорения всех точек твердого тела при
поступательном движении в любой момент времени равны между собой

6.

Уравнения поступательного движения
ВЫВОД: Для задания поступательном движении тела достаточно задать
движение его произвольной точки, которая принимается за полюс –
например (.) А.
Уравнения поступательного движения всего тела будут выглядеть как
уравнения движения его полюса:
xA xA t , y A y A t , z A z A t , s 3
ВЫВОД: Траектория полюса может быть прямой, плоской кривой, кривой
двоякой кривизны, но все остальные точки тела будут тоже повторять эту
кривую со сдвигом
(пример – «Колесо обозрения»; все точки кабинки движутся по
окружностям).

7.

Вращение твердого тела вокруг неподвижной оси
ОПРЕДЕЛЕНИЕ: 1. Вращательным движением тела, или вращением
тела вокруг неподвижной оси, называется движение тела, имеющего, по
крайней мере, две неподвижные точки.
2. Геометрическое место точек, остающихся
неподвижными при вращательном движении тела, представляет собой
прямую линию, называемую осью вращения тела.
z
x
A
d AC
B
d BC
2
2
2
2
x
x
y
y
z
z
;
A C A C A C d AC
2
2
2
2
xB xC yB yC zB zC d BC .
C
y
S=1

8.

9.

Вращение твердого тела вокруг неподвижной оси
ОПРЕДЕЛЕНИЕ: 1. Вращательным движением тела, или вращением
тела вокруг неподвижной оси, называется движение тела, имеющего, по
крайней мере, две неподвижные точки.
2. Геометрическое место точек, остающихся
неподвижными при вращательном движении тела, представляет собой
прямую линию, называемую осью вращения тела.
z
x
A
d AC
B
d BC
2
2
2
2
x
x
y
y
z
z
;
A C A C A C d AC
2
2
2
2
xB xC yB yC zB zC d BC .
C
y
S=1

10.

Уравнение вращательного движения тела
A
z
C
C
За положительное направление угла > 0 будем
принимать поворот тела против часовой стрелки,
если смотреть с конца оси вращения.
>0
= (t), [рад] – уравнение вращательного движения
B
Отношение приращения угла поворота к соответствующему промежутку
времени называется средней угловой скоростью тела за этот
промежуток
1
ср
, [c ]
t
2 n n 1
, [c ]
60 30
n 1,2,..., [об / мин]

11.

Мгновенная угловая скорость – векторная величина, равная первой
производной от угла поворота тела по времени.
d
t 0 t
dt
lim
Угловая скорость направлена вдоль оси, вокруг которой
вращается тело, в сторону, определяемую правилом правого
винта.

12.

Среднее угловое ускорение и мгновенное угловое ускорение тела
z
z
k
k
ср
,
t
[c 2 ]
d
lim
t 0 t
dt
Вращение тела с постоянной угловой скоростью
называется равномерным.
Если > 0, то вращение называется ускоренным,
если < 0, то – замедленным
Вектором угловой скорости вращения тела называется вектор, равный по
абсолютному значению модулю угловой скорости и направленный по
орту оси вращения, если с конца оси видно, что тело вращается против
часовой, либо направленный против орта оси, если тело вращается по
часовой стрелке
k k
k k k

13.

Скорости точек твердого тела при вращательном
движении
z
V
r xi yj zk
x const ; y const ; z const
М
r
dr
di
dj
V
x y
dt
dt
dt
y
x
О
di
j ;
dt
dj
i
dt
V x j y i
Скорость любой точки тела при вращательном
движении равна векторному произведению
i j k
вектора угловой скорости на радиус-вектор
этой точки
V r 0 0 x j y i
V r sin ^ r
x y z

14.

Ускорения точек твердого тела при вращательном
движении
z
a V
a
a oc
r
вр
dV d
dr
a
r
r V r r
dt
dt
dt
a вр r - вращательное ускорение
a оc r - осестремительное ускорение
^
a r sin , r
вр
a вр
tg oc 2
a
a a вр a оc
a оc V 2
a (a вр ) 2 (a oc ) 2 2 4