Скалярное произведение в координатах. Теорема

1.

2.

B
C
6
3
АВСD - прямоугольник
AD = 62 – 32 = 27 = 3 3
O
A
D
3 3
AВ АC =
AB
AB
AD
cos CAD
BAC =
AC
3
AC cos AB, AC = 3 6 6 = 9
AD cos AO, AD = 3 3 3
т.к. AD ^ DC
AО АD = AО
AD DC = 0
3 3 27
=
2
6

3.

Теорема
Скалярное произведение векторов
a {x1; y1} и b {x2; y2}
выражается формулой
a b = x1x2 + y1y2
Доказательство:
Случай, когда один из векторов нулевой
a {x1; y1}
0 {0; 0}
a 0 = x1 0 + y1 0

4.

Рассмотрим случай, когда векторы
a и b не нулевые
a и b не коллинеарны, то по теореме
Если векторы
косинусов:
AB2 = ОА2 + ОВ2 – 2 ОА ОВ cosa
b
В
b
a
a
О
a
А
*

5.

Равенство AB2 = ОА2 + ОВ2 – 2 ОА ОВ cosa
верно и для коллинеарных векторов.
Если
b
a = 00
b
сosa = 1
a
О
a
*
В
А
AB2 = (ОА – ОВ)2 =
= AО2 + ОВ2 – 2 ОА ОВ 1 =
= AО2 + ОВ2 – 2 ОА ОВ cosa

6.

Равенство AB2 = ОА2 + ОВ2 – 2 ОА ОВ cosa
верно и для коллинеарных векторов.
b
a
В
О
a
Если
a
*
b
a = 1800
А
сosa = –1
AB2 = (ОА + ОВ)2 =
1 = – сosa
= AО2 + ОВ2 + 2 ОА ОВ 1 =
= AО2 + ОВ2 – 2 ОА ОВ cosa

7.

AB2 = ОА2 + ОВ2 – 2 ОА ОВ cosa
AB = AO
b –+aOB
OA = a
OB = b
– b – a 2 = 1a(2 + b 2 – 2 a b
2
Из АВО
2
a {x1; y1}
a = x12 + y1В2
b {x2; y2}
*
) :2
b 2
b = x2 + y22
2
a
b – a {x2 – xО1; y2 – y1}А
a
2
b – a = (x2 – x1)2 + (y2 – y1)2

8.

Следствие 1
Ненулевые векторы
a и b перпендикулярны тогда и
только тогда, когда
x1 x2 + y1 y2 = 0
a ^ b x 1 x 2 + y1 y 2 = 0
Пример
b {-2;
-2 11}
d { 2;
2 44}
+ =0
b ^d

9.

Следствие 2
Косинус угла между ненулевыми векторами
aи b
выражается формулой
cos a =
x 1 x 2 + y1 y 2
x12 + y12 x22 + y22

10.

Следствие 2
a b = x1x2 + y1y2
Доказательство:
2+ y 2
a
=
x
1
1
a b = a b cosa
a
b
a
cos =
a b
=
2+ y 2
x
b
=
2
2

11.

Свойства скалярного произведения векторов
a b , c и любого числа k
Для любых векторов
,
справедливы равенства:
1
a 2 0 причем a 2 > 0 при a 0
2
a b = b a
3
(a + b) c = a c + b c
Переместительный закон
Распределительный закон
4
(ka) b = k(a b) Сочетательный закон

12.

Обоснуем
Свойство 1 следует из определения скалярного квадрата
вектора
a a = a2 = a 2
a 2 0 причем a 2 > 0 при a 0

13.

a b = b a
Переместительный закон
Свойство 2 следует из определения скалярного
произведения векторов
a b = x1x2 + y1y2
a b = x 1 x 2 + y1 y2
a b = b a

14.

(a + b) c = a c + b c
Распределительный закон
Докажем свойство 3
Рассмотрим векторы
a {x1; y1}
b {x2; y2}
c {x3; y3}
(a + b) c = (x1 + x2) x3 + (y1 + y2) y3 =
= ( x1 x3 + x2 x3)+( y1 y3+ y2 y3 )=
= a c + b c

15.

(ka) b = k(a b) Сочетательный закон
Докажем свойство 4
Рассмотрим векторы
a {x1; y1}
ka {kx1; ky1}
b {x2; y2}
(k a ) b = (kx1) x2 + (ky1) y2 =
= k (x1 x2 + y1 y2) =
= k (a b)

16.

(a + b) c = a c + b c
Распределительный закон
имеет место для любого числа слагаемых.
Например,
( a + b + c ) d = a d + b d + c d

17.

a {3; -4}
b {-2; 1}
c {-2;-1,5}
Найдите
a b = 3 (-2) + (-4) 1 = - 10
тупой
b c = (-2) (-2) + 1 (- 1,5) = 2,5
острый
c a = 3 (-2) + (-4) (- 1,5) = 0
прямой
Перпендикулярны ли векторы
a и b, b и c, c и a
Каким (острым, тупым или прямым) является угол между
векторами
a и b, b и c, c и a

18.

Найдите абсциссу вектора
b {-2;
-2 11}
d , если известно, что
d { ?;
x 44}
b ^d
+ =0
x=2
*
b ^ d x 1 x 2 + y1 y 2 = 0

19.

a {4; -2}
i {1; 0}
c {-2;-1,5}
j {0; 1}
Найдите
a i = 4 1 + (-2) 0 = 4
острый
c j = (-2) 0 + (- 1,5) 1 = - 1,5
тупой
i j = 1 0 + 0 1 = 0
прямой
Перпендикулярны ли векторы
a и i , c и j, i и j
Каким (острым, тупым или прямым) является угол между
векторами
a и i, c и j, i и j

20.

Найдите скалярное произведение векторов:
a + b и a – b , если a { 3; -4} и b {-2; 0}
(a + b)(a – b) = a 2 – b 2 = a 2 – b 2 = 25 – 4
= 21
= 32 + (-4)2 = 25
a 2 = 25
b = (-2)2 + 02 = 4
b 2=4
a

21.

Найдите скалярное произведение векторов:
a + b и a – b , если a { 3; -4} и b {-2; 0}
1
3
2
(a + b)(a – b)
1
другой
aНайдите
+ b { 1;
-4 }способ решения
2
a – b { 5; -4 }
3
(a + b)(a – b) = 1 5 + (-4) (-4) = 21

22.

Найдите скалярное произведение векторов:
i – j и 2i + 3j, если i и j – координатные векторы.
0
0
(i – j)(2i + 3j) = 2i 2 +3i j – 2 i j – 3j 2 =
= 2 i 2 – 3 j 2 = 2 1 – 3 1 = –1
i =1
j =1

23.

Вычислить
CE AB + CB BA , если
А(-3; 3), В( 1; 1), С(-2; 4), Е(-1;2). Найдите 2 способа.
1
3
2
CE AB + CB BA
CE { 1; -2}
CВ { 3; -3}
2
CB BA = 3 (-4) + (-3) 2 = -18
1
3
AB { 4; -2}
CE AB = 1 4 +1(-2)
способ
(-2) = 8
BA {- 4; 2}
8 + (-18) = -10
CE AB + CB BA = CE AB + CB (–AB) = AB (CE – CB)
2 способ
= AB (CE + BC) = AB (ВC + CЕ) = AB ВЕ =
BЕ {- 2; 1}
= 4 (-2) + (-2) 1 = -10

24.

a+b
если a = 5,
№1050 Вычислить
0
a
b
=
60
b =8
,
Cкалярный квадрат вектора равен квадрату его длины.
2
2
2
2
=
a
a
(a + b) = a + b
= a 2 + 2a b + b 2=
= a 2 + 2 a b cos a b + b 2 =
= 52 + 2 5 8 cos600 + 82 =
= 52 + 2 5 8 12 + 82 = 129
= 129

25.

a–b
если a = 5,
№1050 Вычислить
0
a
b
=
60
b =8
,
Cкалярный квадрат вектора равен квадрату его длины.
2
2
2
2
=
a
a
(a – b) = a – b
= a 2 – 2a b + b 2 =
= a 2 – 2 a b cos a b + b 2 =
= 52 – 2 5 8 cos600 + 82 =
= 52 – 2 5 8 12 + 82 = 49
= 49