Синус, косинус и тангенс двойного угла (формулы двойного аргументы)

1. Синус, косинус и тангенс двойного угла (формулы двойного аргументы)

Автор – составитель: Гришина Н.И.
учитель математики высшей
квалификационной категории
АОУ гимназии №13 г.Долгопрудного
Московской области

2. Цель урока

Вывести формулы двойного
аргумента, показать их применение
Показать применение полученных
формул при преобразовании
тригонометрических выражений
Повторить формулы, связывающие
тригонометрические функции одного
и того же аргумента

3. Задачи урока

Повторить определение синуса,
косинуса, тангенса, котангенса числа
α;
Повторить основное
тригонометрическое тождество,
формулы сложения;
Повторить формулы, выражающие
связь между тангенсом и косинусом,
между котангенсом и синусом.
Научить применять полученные
знания при решении задач.

4. Ход урока

Блиц-опрос
Закрепление знаний и умений
Самостоятельная работа (тест)
Проверка самостоятельной
работы
5. Это интересно
6. Итог урока
7. Домашнее задание
1.
2.
3.
4.

5. Блиц-опрос

Синусом угла α называется _____
точки, полученной поворотом
точки______ вокруг начала
координат на угол α
tg α =
sin2 α +cos2 α=
1+ tg2 α=
sin(-α)=
tg (-α) =
cos (α+β)=
sin (α-β)=
sin 2α=
tg (α+β)=
sin(π- α)=
cos ( 2 + α)=
Косинусом угла α называется
_____ точки, полученной
поворотом точки______ вокруг
начала координат на угол α
ctg α=
tg α∙ ctg α=
1+ ctg2 α=
cos (-α)=
ctg (-α) =
cos (α-β)=
sin (α+β)=
cos 2α=
tg 2α=
cos(π- α)=
sin ( + α)=
2

6. Блиц-опрос

Синусом угла α называется
ордината точки, полученной
поворотом точки (1;0) вокруг
начала координат на угол α
tg α = sin
cos
α +cos2 α = 1
1
1+ tg2 α = cos α
sin2
2
sin(-α) = - sin α
tg (-α) = -tg α
cos (α+β) = cosα cosβ – sinα sinβ
sin (α-β) = sinα cosβ - cosα sinβ
sin 2α = 2sin αcos α
tg tg
tg (α+β) = 1 - tg tg
sin(π- α) =sin α
cos ( 2 + α) = -sinα
Косинусом угла α называется
абсцисса точки, полученной
поворотом точки (1;0) вокруг
начала координат на угол α
cos
ctg α= sin
tg α∙ ctg α = 1
1
1+ ctg2 α= sin
2
α
cos (-α) = cos α
ctg (-α) = -ctg α
cos (α-β)=cosα cosβ +sinα sinβ
sin (α+β)= sinα cosβ + cosα sinβ
cos 2α=cos2 α-sin2 α
2tg
tg 2α= 1 - tg 2
cos(π- α)= - cos α
sin ( + α)=-cos α
2

7. Запомним!!!

8. Оценка

«5» - 12
«4» - 10 – 11
«3» - 7 – 9
«2» - 0 – 6

9. Закрепление знаний и умений

№546
1) дано:
найти:
3
sin ;
3 2
cos
ОТВЕТ:
3) дано:
найти:
2
cos
3
tg 2 2 ;0
sin
ОТВЕТ: sin 2 2
3
2

10.

Упростить выражение
1. 2 sin( ) cos 2 cos( ) sin( )
2
2
Ответ: -2
2.
(1 tg( )) (1 tg( )) cos
Ответ:
2
cos 2

11.

№555
1) Доказать:
2
2 sin sin 4
tg
2 sin 2 sin 4
№557
Упростить выражение
cos
sin
sin
cos
ОТВЕТ:
1 cos 4
*
cos
4 sin 2
№ 564
1) Доказать:
sin
2
( ) sin
2
sin
2
2 sin sin cos ( )

12.

вариант 1
вариант 2
Найдите значение
1)
1)
3 sin 120 4 cos180 3tg135
2
а) -2,5;
2)
б) 5,5;
Дано:
в) -4,75;
а)
3)
31
20
2 cos 2 150 3 sin( 90 ) 5ctg135
г) 3,25.
3
sin ;
5 2
;б) 1 ;
в)
20
2)
cos tg
Найдите значение:
1;
20
г)
б) 9,5;
Дано:
4 3
cos ;
2
5 2
а)
1 (1 sin ) (1 sin )
tg cos
4)
а) -3,5;
;г) sin
.
Упростите выражение:
в)
sin sin
2
2
;г)
2 sin sin
;
2 sin sin
г) 6,5.
sin ctg
11
11
14
14
1
; б)
; в)
; г) 1
15
15
15
15
3)
Упростите выражение:
4)
Упростите выражение:
ctg sin
1 (sin cos ) 2
1
1
а) 2 cos ; б)
2 cos ;в) 2 sin ;г) 2 sin
sin( ) sin( )
cos( ) cos( )
а) 2 cos cos ;б)
в) -0,5;
Найдите значение:
31 .
20
Упростите выражение:
а) cos ;б) sin 2 ;в) cos
Найдите значение
а)
2 cos sin
в)
sin 2 ;
; б)
г)
2 cos
;
2 sin cos .

13. Проверка

1 вариант
1.
2.
3.
4.
г)
б)
г)
б)
2 вариант
1.
2.
3.
4.
б)
в)
г)
а)

14. Это интересно

Тригонометрия в ладони

15. Зарождение тригонометрии относится к глубокой древности. Само название «тригонометрия» греческого происхождения, обозначающее

«измерение треугольников».
Одним из основоположников
тригонометрии считается
древнегреческий астроном Гиппарх,
живший во 2 веке до нашей эры.
Гиппарх (Hípparchos) (около 180—190
до н. э., Никея, — 125 до н. э., Родос),
древнегреческий учёный.
Гиппарх является автором первых
тригонометрических таблиц и
одним
из
основоположников
астрономии.

16.

№0 Мизинец
№1 Безымянный
№2 Средний
№3 Указательный
№4 Большой
00
300
450
600
900
n
sin α =
2

17.

Значение синуса
№ пальца
Угол α
0
0
sin 0 0
0
0
2
1
30
sin 30 0
1
1
2
2
2
45
sin 450
3
60
4
90
sin 60 0
sin 90 0
2
2
3
2
4
1
2

18.

Значение косинуса
№ пальца
Угол α
4
0
3
30
2
45
1
60
0
90
cos 0 0
4
1
2
cos 30 0
3
2
cos 45
0
cos 60 0
cos 90 0
2
2
1
1
2
2
0
0
2

19. Домашнее задание

Проверь себя
стр. 166

20.

Спасибо, урок
окончен!!!
Спасибо, урок
окончен!!!