Натуральный логарифм. Алгебра. 10 класс

1.

Алгебра 10 класс:
Натуральный логарифм.

2.

:
Свойства логарифмов.
(а>0,a 1,b>0,c>0, n 0 )
log a (bc)
log a
b
c
b
log a b log a c
log a b n
0
log an b
n log a b
a loga b
log an b
log a 1
log a a
log a b
n
1
log a b log a c
1
log a b
n

3.

Найдите значение выражений
log 2 16
1
log 25
5
log 4
1
2
log
4
7
2
log7 3
5 2 log5 3
4
3 log 6 9
8
4
log
8
5
log 12 6 log 12 2
1
log 6 2 log 6
3
log
log
1
15
5
3 log
1
15
65 log
75
5
13

4.

Проблема
Обратите внимание - действия с
логарифмами возможны только при
одинаковых основаниях! А если
основания разные!?
log 5 16 log 2 25

5.

• Десятичным логарифмом
называется логарифм по основанию 10. Он
обозначается lg , т.е. log 10 m = lg т
• Натуральным логарифмом
называется логарифм по основанию е. Он
обозначается ln , т.е. log e m = ln m. Число е
является иррациональным, его
приближённое значение 2.718281828.

6.

Переход к другому основанию
Теорема
• Пусть дан логарифм loga b. Тогда
для любого числа c такого, что c > 0 и c ≠ 1,
верно равенство: log b log c b
a
log c a
• В частности, если положить c = b, получим:
1
log a b
log c a

7.

1) log 5 16 log 2 25
Воспользуемся сначала свойством
log a b n n log a b
log 5 2 4 log 2 52 4 log 5 2 2 log 2 5
Теперь перейдем к основанию 2
1
8
log 2 5 8
log 2 5
log a b
1
log c a

8.

2) Найдите значение выражения
2
3
log5 7
log5 3
9 4
1
log3 4
log c b
log a b
log c a
2 log3 7
3
9 4
log4 3
1
log a b
log c a
3 3
9 4
9 7 9 3 9 (7 3) 9 4 36
2
log3 7
log4 3

9.

3)Найдите значение выражения
, если
Решение:
log a (a b ) log a a log a b
5
2
5
2
1
7
5 2
5 2 12
log b a
2
Ответ: 12
1
log a b
log c a

10.

• Первое упоминание натурального
логарифма сделал Николас Меркатор в
работе Logarithmotechnia, опубликованной
в 1668 году, хотя учитель математики Джон
Спайделл ещё в 1619 году составил таблицу
натуральных логарифмов. Ранее его
называли гиперболическим логарифмом,
поскольку он соответствует площади под
гиперболой

11.

Происхождение термина натуральный
логарифм
• Сначала может показаться, что поскольку наша система
счисления имеет основание 10, то это основание является
более «натуральным», чем основание e. Но математически
число 10 не является особо значимым. Его использование
скорее связано с культурой, оно является общим для
многих систем счисления, и связано это, вероятно, с
числом пальцев у людей.
• Некоторые культуры основывали свои системы счисления
на других основаниях: 5, 8, 12, 20 и 60.
–
loge является «натуральным» логарифмом,
поскольку он возникает автоматически и появляется в
математике очень часто.
• .

12.

е=2,718281828459045235360….
Саму константу впервые вычислил
швейцарский математик Бернулли в ходе
решения задачи о предельной величине
процентного дохода. Бернулли показал,
что процентный доход в случае сложного
процента имеет предел:
и
этот предел равен 2,71828…
Экспоненту помнить способ есть простой:
два и семь десятых, дважды Лев Толстой(1828)
2,7 1828 1828

13.

Генеалогическое древо семейства Бернулли.

14.

• Букву e начал использовать Эйлер в 1727
году, а первой публикацией с этой буквой
была его работа «Механика, или Наука о
движении, изложенная аналитически» 1736
год
• Почему была выбрана именно буква e,
точно неизвестно. Возможно, это связано с
тем, что с неё начинается слово exponential
(«показательный», «экспоненциальный»).
Другое предположение заключается в том,
что буквы a, b, c и d уже довольно широко
использовались в иных целях, и e была
первой «свободной» буквой.

15.

Задания для самостоятельной работы
;
1 группа
1) 6 log 3 2 log 4 3 log 5 4 log 8 5
2) e
1
log5 e
4
2
lg16
1
3) Найдите lg a lg 2 ,
a
если log 100 a 4
2 группа
1) log 9 100 lg 3
log7 3 log3 7
2) (5
)
3) Найдите log 8 a,
если log 2 a 6

16.

Домашнее задание
a 2b
log c 3 , если lg
c
1. Найдите
2. Вычислите:
6
27
7
1
log4 3
a 3, lg b 5, lg c 2.
;
log10081 log3 10
;
1
log 7 2
lg 7 ;
log 5 7
3
1
2 log7 3
log32 8
3
7 8
log3 8
3
log3 25

17.

Спасибо за урок.