Логарифмы. Свойства логарифмов

1. ПОНЯТИЕ ЛОГАРИФМА

2. Определение логарифма

Логарифмом числа b по основанию а
называется показатель степени,
в которую нужно возвести а, чтобы
получить b.
log a b c ,
a 0,
a b,
a 1,
c
b 0

3.

Определение логарифма
Примеры:
b >0
a>0, a≠1
c
b=a
log216=4,
log42=1/2,
log 1 27 3
с = loga b
3
.
log0,254=
,

4. При каких значениях х существует логарифм

log x 3
Х>3
log 10 x
X< 10
log 3x
X<0
log 2 x
X R
1
4
5
5
5
2
0, 2
log x
4
1, 3
Не существует ни при
каком х

5. Виды логарифмов

Обыкновенные
Натуральные
Десятичные

6. Примеры

log 2 8
3 , т.к.
2 8
3
log 5 25 2 , т.к.
5 25
log 2 2
2 2
1 , т.к.
1
log 2 1, т.к.
2
1
log 3
9
2 , т.к.
2
1
2
3
1
2
1
2
1
9

7. Запишите в виде логарифмического равенства:

3 81
log 3 81 4
1
2
32
1
log 2
5
32
1
log 1
3
64
4
4
5
3
1
1
64
4
3
125 5
4
16 8
3
1
log125 5
3
3
log16 8
4
(по
определению);
(по
определению);

8. Найдите число x

log 5 x 2
2
25
x 5
log 3 x 1
1
xx 31
3
log 1 x 2
6
2
1 2
x
6
xx 36
6
log
5
x 0
51
x
x
0

9. Найдите число x

log x 81 4
x 3
4
3 81
1
log x
2
16
log 1 x 2
1
log x 2
4
6
2
1 2
x
6
xx 36
6
2
1
1
x
x
44
1
2x
2 4
2

10. Вычислите

1
log 2 0,25 log 2 2
4
log 1 3 3
3
1
1
2
log 1 3
3
log 1 3 3
3
3
2
1
2
1
log 1 3 log 1
3
3
3
3
2
3
2

11. Вычислите

1
3 log 7 3 1 2
7
2 log 5 0,04
4
2 log 5
100
1
2 log 5
2 2 4
25

12. Особые логарифмы

Десятичные
логарифмы
log 10 a lg a
(по основанию 10)
Натуральные
логарифмы
(по основанию е)
log e a ln a

13. Пример

lg 100 2, 10 100
2
lg 10 1, 10 10
1
lg 1 0, 10 1
0
lg 0,1 1, 10
lg 0,00001
1
0,1
5, 10
5
0,00001

14.

Свойства десятичных логарифмов:
lg 10 n
n
lg( 0.1) n
n
lg b 10 lg b n
n
b
lg n lg b n
10

15. Пример

ln e 1,
e e
1
ln e 2, e e
1
1
1
ln 1, e
e
e
2
2
2
log e e 1
ln e
1
2
ln e
3
1
3

16.

Вычислите устно значения логарифмов:
log 3 9
log 32 2
log 125 25
lg 0,01
1
log 2
8
1
log 3
3
log 27 9
lg 0,001
log 4 16
log 9 3
log 5 0,04
1
log 5
25
log 32 8
1
log 3
243
log 7 1
log 81 27
lg 100
log
3
9
log0 , 3 0 , 09
0,3
2
log
2
16

17.

Найдите число х.
log 3 x 1
log 1 x 3
log 4 x 3
log x 81 4
x 0
1
log x
2
16
log
5
6
log 5 x 2
log 1 x 1
7
log 7 x 2
log 1 x 3
2
1
log x 2
4
log x 27 3

18. Свойства логарифмов

19. ОСНОВНОЕ ЛОГАРИФМИЧЕСКОЕ ТОЖДЕСТВО

a
loga b
b
( где b>0,a>0 и a ≠1)

20.

21. Свойства логарифмов

a
loga b
b
log a 1
log a a
0
1
,
a 0,
a 1,
b 0

22.

Вычислите:
36
log3 6
Воспользуемся свойством логарифмов:
a
loga b
log3 6
3
b
6
Решение
, т. е.

23.

Вычислите:
0
log 1 1
3
Воспользуемся свойством логарифмов:
log a 1 0
log 1 1 0
3
Решение
, т. е.

24.

Вычислите:
log 12 2
Воспользуемся свойством логарифмов:
log a a 1
log
2
2 1
Решение
, т. е.

25.

Вычислите:
2 40
3 log2 5
Воспользуемся свойством логарифмов:
a
2
3 log2 5
loga b
2 2
3
b
log2 5
, т. е.
8 5 40
Решение

26.  

a)2
б)
log2 13
70
2
7
log2 5
log7 13
13
70
14
5
13 1
в)
0,25
52
52 4

27. Вычислите:

a)4
log4 7
2 log3 11
б )3
в )10
3 lg 40
г) 5 2
д)
5
log5 6
48
log2 7
а )7
б )99
в )25
г ) 35
д)0,125

28.  

3 log2 9
2 2
3 log4 32
4 :4
а)2
б )4
3
3
log2 9
log4 32
8 9 72
64 : 32 2

29. Свойства логарифмов

1
log
log 3 7
3 7

30.

1. Логарифм произведения равен
сумме логарифмов множителей

31. Свойства логарифмов

log a x log a y log a ( x y ),
а 0, х 0, y 0, а 1
т. е. логарифм произведения равен сумме
логарифмов сомножителей (взятых по тому
же основанию).
log6 2 + log6 3= log 6(2∙3) = log6 6=1

32.

Вычислите:
log 6 122 log 6 3
Воспользуемся свойством логарифмов:
log a bc log a b log a c
, т. е.
log 6 12 log 6 3 log 6 12 6 log 6 36 2
Решение

33. Вычислите:

1. log18 2 + log18 9
2. log4 8 + log4 32
3. log32 2 + log32 2
4. lg 40 + lg 25
1)
2)
3)
4)
1
4
0,2
3

34.

2. Логарифм частного равен
логарифмов делимого без
логарифма делителя

35. Свойства логарифмов

36.

Вычислите:
log 2 15– 1
log 2 30
Воспользуемся свойством логарифмов:
b
log a log a b log a c
c
, т. е.
15
1
log 2 15 log 2 30 log 2
log 2 1
30
2
Решение

37.

Вычислите:
log 1 28 log 1 7
2
–2
2
Воспользуемся свойством логарифмов:
log a
b
log a b log a c
c
, т. е.
28
log 1 28 log 1 7 log 1
log 1 4 2
2
2
2 7
2
Решение

38.

Вычислите:
log 2 4 6log 3 27
Воспользуемся свойством логарифмов:
log a a r r
, т. е.
log 2 4 log 3 27 log 2 2 log 3 3 2 3 6
2
Решение
3
выход

39.

3. Логарифм степени равен
произведению показателя степени
на логарифм ее основания

40.

4. Логарифм, у которого основание
в степени
log a к
1
x log а х
к

41.

Формула перехода к новому
основанию:
log b x
log a x
log b a
Из этой формулы следует равенство:
1
log a b
log b a

42.

Вычислите:
log 7 25
log 7 5
2
Воспользуемся свойством логарифмов:
log a b
log c b
log c a
log 7 25
log 5 25 2
log 7 5
Решение
, т. е.

43. Свойства логарифмов

log 113 log 3 11 1

44.  

а ) log 3 5 log 5 9 log 3 5 log 5 3
2
2 log 3 5 log 5 3 2 1 2
б )8
log2 5
в )5
4 log5 2
2
3log2 5
5
log5 2 4
2
2
log2 53
4
53 125
1
1
4
0,0625
2
16

45. Вычислите:

1. log 2 7 log 7 8
2. log 5 11 log 11 625
log3 2
3.81
4.5
2 log5 10
1)
2)
3)
4)
3
4
16
0,01

46. Примеры

ln 216
ln 63
3 ln 6
3
4
a)
3 12
1
4
1
1
1
ln 6
4
ln
6
ln 6
4
4
n
a a
1
n
log a x n n log a x
log 0,3 8 log 0,3 8
log 0,3 8
1
1
2
б)
1 : 1 2
1
1
log 0, 09 8 log 0,32 8
2
1
log 0,3 8
2
2
log a k
1
x
log a x
k

47. Вычислите:

lg 100
1. 6
lg 10
log 0, 2 125
2.
log 0, 2 5
log 5 81
3.
log 5 9
log 1 7
4.
2
log 1 49
2
1)
2)
3)
4)
12
3
2
0,5

48.

Преобразование логарифмических выражений

49.

Преобразование логарифмических
выражений

50.

51.

52. Справочная информация.