Угол между прямой и плоскостью

1. Угол между прямой и плоскостью

2. Угол между прямой и плоскостью

План урока:
1. Проекция точки, прямой.
2. Угол между прямой и плоскостью.
3. Задачи на нахождение угла между прямой и
плоскостью.

3.

Проекция точки на плоскость.
1. А ; АВ
А
В
С
Точка B – проекция точки
A на плоскость
2.
С
Точка С – проекция точки
С на плоскость

4.

Проекция фигуры
F
F1

5.

Проекция прямой на плоскость.
2. а
1. а
а
А
М
а
М1
а1 О
Н1 Н
Проекцией прямой (а )
на плоскость ( ),
не перпендикулярную к этой
плоскостью является –
прямая.
ДАНО:
а О, а .
ДОКАЗАТЬ: Проекцией прямой
а на плоскость
Точка А – проекция
прямой на плоскость
является прямая а1
ДОКАЗАТЕЛЬСТВО:
1. М , МН . Проведем через а и МН, а1.
2. Возьмем М 1 , М 1 Н1 МН , М 1 Н1 а1 Н1 .
М 1 Н1иМН а1 М 1 Н1 , то есть Н 1 проекция М 1 на ,
проекция произвольной точки прямой лежит на прямой а1
3. Так как МН
а
а
Верно и то, любая точка прямой 1 является проекцией некоторой точки прямой
значит а1 проекция прямой
на плоскость
а,
а
.

6.

Угол между прямой и плоскостью.
Углом между прямой и плоскостью, пересекающей
эту прямую и не перпендикулярную к ней, называется
угол между прямой и ее проекцией на плоскость.
а
а1 А
Если а , а а1– проекция прямой
а на плоскость а, то (а, ) (а1 , а)

7.

А что, если а или
а ?

8.

а
а
А
Если а , то проекция а
на
является точка А.
А а
(а, ) 90
а1
Если а , то прямая
а1 проекция прямой
на плоскость
а
а а1 , а1 (а, ) 0
Понятие угла не вводим

9.

Повторим!
А
4
В
1. tgA
2
2
2
ВС
АС
ВС
cos A
А
CB
AC
1
ВС
7
?
С
CB CB3
AC
sin
A
1 3cos3 A AC
tgA AB
AB
3
2
2
2
ВС
АС
ВС
A2 7 4 1 65 28 93
65
АС ВС 2 АС ВС cos 2.
A АВ=6см
16 49 2 4 7 cos120 cos
2
2
2
30
АС=
?
В
С
120
2
3 см
АВ2 СВ2 36 9 27 3 3

10. УГОЛ МЕЖДУ ПРЯМОЙ И ПЛОСКОСТЬЮ

Углом
между
наклонной
и
плоскостью называется угол между
этой наклонной и ее ортогональной
проекцией на данную плоскость.
Считают
также,
что
прямая,
перпендикулярная
плоскости,
образует с этой плоскостью прямой
угол.

11.

А т еперь задачи

12.

Задачи
1 уровень
2 уровень
3 уровень
тест
Построить угол между прямой и плоскостью
Задача 1
Задача 2
Задача 2

13.

Задачи
1 уровень
2 уровень
3 уровень
В кубе A…D1 найдите угол
между прямой и плоскостью
В кубе A…D1 найдите угол между
прямой и плоскостью
AA1 и BC1D.
AC1 и BCC1.
2
Ответ: tg .
2
Ответ: sin 3 .
3

14.

Задачи
1 уровень
2 уровень
3 уровень
тест
В правильной 6-й призме A…F1, В правильной 6-ой пирамиде SA…F,
ребра которой равны 1, найдите
боковые ребра которой равны 2, а
угол между прямой AC1 и
ребра основания – 1, найдите угол
плоскостью ABC.
между прямой SA и плоскостью ABC.
S
E
D
F
C
A
В прямоугольном треугольнике
ACC1 CC1 = 1, AC1 = 2.
Следовательно ,
= 30о.
Ответ: 30о.
B
Искомый угол равен углу SAD.
Треугольник SAD равносторонний.
Следовательно, = 60о.
Ответ: 60о.

15.

В кубе A…D1 найдите угол между
прямой и плоскостью
AA1 и AB1C1.
Ответ: 45o.

16.

В кубе A…D1 найдите угол между
прямой и плоскостью
AB1 и BCC1.
Ответ: 45o.

17.

В кубе A…D1 найдите угол между
прямой и плоскостью
AB1 и ABC1.
Ответ: 30o.

18.

В кубе A…D1 найдите угол между
прямой и плоскостью
AB1 и BC1D.
Ответ: 0o.

19.

В кубе A…D1 найдите угол между
прямой и плоскостью
AB1 и BB1D1.
Ответ: 30o.

20.

В кубе A…D1 найдите угол между
прямой и плоскостью
AC1 и BB1D1.
6
.
Ответ: sin
3

21.

В кубе A…D1 найдите угол между
прямой и плоскостью
AC1 и BA1D.
Ответ: 90o.

22.

А
А т еперь задачи
d
1. Задача № 165 из учебника
30
120
В
О 30 С