Производная: определение и основные формулы

1. «Производная: определение и основные формулы »

2. Цели и задачи

Цель: познакомиться с одним из важных элементов
математического анализа – производной: ее
определением, физическим смыслом, а также
освоить аппарат нахождения производной различных
функций.
Задачи:
1.
2.
3.
Знать определение производной;
Знать и уметь применять правила
дифференцирования;
Знать и уметь применять формулы для
вычисления производных элементарных
функций.

3.

Определение производной
y
x = x - x0
x = x0 + x
y=f(x)
В
f(x)
приращение аргумента
f
f(x0)
А
f = f(x) – f(x0)
f(x) = f(x0) + f
приращение функции
x
O
x0
x
f f(x0 + x) – f(x0)
— = ———————
x
x
x
разностное
отношение

4.

Производной функции f в точке x0
называется число, к которому
стремится разностное отношение
при x 0.
f f(x0 + x) – f(x0)
f´(x0)= lim — = ———————
при x 0 x
x

5.

Физический смысл производной
x
Если тело движется по прямой и за время t
его координата изменяется на x, то
t t(x0 + x) – t(x0) - средняя скорость
Vср( t) = — = ——————— движения тела за t
x
x
Таким образом, физический смысл
производной – это мгновенная скорость

6.

Правила дифференцирования
Если функция y = f(x) имеет производную, то она называется
дифференцируемой; операция нахождения производной
функции называется дифференцированием.
Пусть f(x) , g(x) – дифференцируемые функции, С – постоянная.
(c f ( x)) c f ( x)
( f ( x) g ( x)) f ( x) g ( x)
( f ( x) g ( x)) f ( x) g ( x) f ( x) g ( x)
f ( x)
f ( x) g ( x) f ( x) g ( x)
2
g ( x)
g ( x)

7.

Основные формулы производных
x 1
c 0
n 1
x n x
n
x 2 x
1
kx b n kx b k
n
n 1

8.

Примеры взятия производной
8 0
0
5
x 6x
6
7 x 8
x
7
5 x 5
3, 4 x 3, 4
100 x99
x
x 100x
100
100
52 5 32 5 x3
x x x
2
2
1
5
3 4
3
3
4
4 3x 4 x 4 5
x
4 x
5
101

9.

Производные элементарных функций
1
ln x
x
log x
a
1
x ln a
sin
x
cos x
cos
x
sin x
tgx
1
2
cos x
1
ctgx 2
sin x
x
e
e
x
x
a
a
ln a
x

10.

Производная сложной функции
Пусть f(x) , g(x) – дифференцируемые функции. Тогда:
f g x f g x g x
Пример:
sin 4 x 3x sin 4 x5 3x 2 4 x5 3x 2
5
2
cos 4 x 3x 20 x 6 x
5
2
4

11.

Задания для закрепления материала
Найдите производные, используя образцы.
5
4
4
Образец:(2 x) 2; (5 x 1) 5; (3x ) 3 5 x 15 x
(4 x) ....
(6 x 2) .....
(3 2 x) .....
(2 x 4 ) ..........
(3x 6 ) ...........
Образец:y 3e x ; y 3e x
f ( x) e3 x 1; f ( x) e3 x 1 (3x 1) 3e3 x 1
y 5e x ; y ........
y e2 x ; y ..........
y 3e4 x ; y 3(e4 x ) ............... ............
y 0,5e6 x 2 ; y 0,5 (e6 x 2 ) 0,5 e............ (............) .................... ...................

12.

y 52 x 1 ln 5 (2 x 1) 2ln 5 52 x 1
Образец: y 52 x 1;
y 63 2 x ; y ......... ln... (...........) .......................
y 5 23 x ; y .............................................................
Образец:f ( x) x
2
2x ;
f ( x) ( x 2 ) (2 x ) 2 x 2 x ln 2
f ( x) 2 x4 4x ; f ( x) (......) (.....) ..................................................................
y 3x6 52 x 1; y .......................................................................
y 4 x5 2 63 2 x ; y .......................................................................

13. Для каждой из функций, графики которых изображены в верхнем ряду, найдите график ее производной.

14.

Задания для самоанализа
Задание 1. Найдите производные функций:
1. f x 3x 5
2. f x 4 x 5 x 9 x
2
3
3 x
3. f x
x 3
2 5 7
4. f x 2 3
x
x x
5. f x x 4
1
1
6. f x
2 4x
3x 2 x

15.

Задание 2. Найдите производные функций:
1. f x 3 x 5 x 3
2. f x x 5 x x x
2
3
3 x
3. f x 3
x
2
2 x 5
4. f x
x 1
5. f x
2
x 4 x 2
1 1 2
6. f x 4 x
2 x