Область определения и множество значений тригонометрической функции. Урок 1

1.

Область определения и множество
значений тригонометрических функций
Урок 1

2.

Повторение
Пусть есть два множества Х и У.
Если каждому элементу х из множества Х
по некоторому правилу сопоставлен
вполне определенный элемент у из
множества У, то говорят, что задана
функция
и пишут у=f(x), где
х – независимой переменной
(аргументом),
у – зависимой переменной (функцией).

3.

Повторение
Область определения и область значений
функции
Все значения независимой переменной образуют
область определения функции
Все значения, которые принимает зависимая переменная
образуют множество значений функции
y=f(x)
множество значений функции
f х
Область определения функции

4.

Повторение
Итак, если
M(t) = M(x;y)
тогда
x = cos t
y = sin t
Если точка M числовой окружности соответствует числу t, то
абсциссу точки M называют косинусом числа t и обозначают cos
t,
а ординату точки M называют синусом числа t и обозначают sin t.

5.

Новый материал
Функции синус, косинус,
тангенс и котангенс называют
основными
тригонометрическими
функциями.
y = sin x;
y = tg x;
y = cos x;
y = ctg x;

6.

Новый материал
Функция
Область
определения D(y)
y=sin x
R
y=cos x
R
Множество
значений E(y)
y=tg x
R
y=ctg x
R

7.

Решение упражнений
Устно:
1)
2)
3)
4)
5)
Найдите область определения функции:

8.

Решение упражнений
Устно:
1)
2)
3)
4)
Найдите множество значений функции:

9.

Нахождение области
значений

10.

Решение упражнений
Письменно: Найти множество значений функции:
1)
2)

11.

Решение упражнений
Найдите область определения функции:
1)
2)
π°
°
0
° 0

12.

Решение упражнений
Найдите область определения функции:
3)

13.

Решение упражнений
Найдите область определения функции:
4)

14.

Учебник
• № 692, 693 нечетные
• 695 (3), 696 (1,3,5)

15.

Домашнее задание
№692, 693 (чётные)
Доп. 695, 696 (чётные)

16.

Чётность и нечётность
тригонометрических
функций
11 класс Алгебра

17.

f(x)=f(-x)
да
f(x) - четная
нет
да
f(-x)= -f(x)
f(x) - нечетная
нет
f(x) –не является ни четной, ни
нечетной

18.

y=f(x), x 0
У
у=f(x) - четная
«Я не мог понять содержание вашей
статьи, так как она не оживлена
иксами и игреками»
О
у=f(x) - нечетная
Х

19.

Пример: определите, является ли данная
функция четной или нечетной
Решение:

20.

Какие из представленных функций являются
четными, а какие нечетными?

21.

Работа в тетрадях
Разбейте функции на три группы:
четные
нечетные
не являются ни четными, ни нечетными

22.

Тренировочные упражнения
№700, 701 (нечётные)
• № 704(1,3,5)

23.

Определение:
Функция f(x) называется
периодической, если существует такое
число Т≠0,что для любого х из области
определения этой функции значения
х+Т и х-Т также принадлежат области
определения и выполняются равенства
f(x-Т)=f(x)=f(x+Т).
Число Т называется периодом функции
f(x)

24.

Задача1
Доказать,что f(x)=sinx+1 является
периодической с периодом 2π
Решение:
Функция f(x)=sinx+1 определена
на R.
f(x+2π)=sin(x+2π)+1=sinx+1=f(x)
f(x-2π)=sin(x-2π)+1=sinx+1=f(x)

25.

Задача 2
Доказать ,что функция f(x)= cos x
2
является периодической с периодом 2π
x R
Решение:
cos( x 2 ) cos x
f ( x)
f(x+2π)=
2
2
cos( x 2 ) cos x
f(x-2π)=
f ( x)
2
2

26.

Задача 3
Доказать ,что функция f(x) =sin2x является
периодической с периодом Т=π
Решение:
x R
f(x+π)=sin2(x+π)=sin(2x+2π)=sin2x=f(x)
f (x-π)=sin2(x-π)=sin(2x-2π)=sin2x=f(x)

27.

Задача 4
Найти наименьший положительный период функции
f(x+Т)=f(x)
3
3
( x Т ) sin x
2
2
3
3
sin ( x Т ) sin x 0
2
2
3
3
3
3
3
3
x Т x
x Т x
2
2 cos 2
2
2 0
2 sin 2
2
2
3
f ( x) sin x
2
sin
4
3Т
3
n, n
Т n, n
sin Т 0
4
3
4
Наименьший положительный период при
n=1, значит Т 4
3

28.

Следствие:
Если f(x) имеет период Т, то т
функция f(kx) имеет период
к

29.

Тренировочные упражнения
№ 702
• №703
Нечётные
• №705

30.

Домашнее задание
Выучить определение периода,
выучить периоды тригонометрических
функций и теорему о периоде функции
y=f(kx)
• №№ 701, 702,703, 705 (чётные)