Перевод чисел в различные системы счисления

1.

Системы счисления.
Перевод чисел
из одной системы
счисления
в другую

2.

Представление чисел
Для записи информации о количестве
объектов используются числа. Числа
записываются с использование особых
знаковых систем, которые называют
системами счисления.
Система счисления – совокупность
приемов и правил записи чисел с
помощью определенного набора
символов.

3.

Единичная система
счёта
3
5
10

4.

Система нумерации
В языке некоторого туземского племени
было всего два числительных:
один – урапун, два – окоза
Как назвать числа 3, 4, 5?
– 3 – окоза-урапун
– 4 – окоза-окоза
– 5 –- окоза-окоза-урапун
Начиная с семи, числа имели одно
обозначение – много

5.

Система нумерации
Древнего Египта
= 359

6.

Позиционные и непозиционные
системы счисления
Все системы счисления делятся на две
большие группы:
ПОЗИЦИОННЫЕ
Количественное значение каждой
цифры числа зависит от того, в
каком месте (позиции или разряде)
записана та или иная цифра.
0,7
7
70
НЕПОЗИЦИОННЫЕ
Количественное значение цифры
числа не зависит от того, в каком
месте (позиции или разряде)
записана та или иная цифра.
XIX

7.

Римская система
нумерации
Алфавит системы
I – единица
V – пять
X – десять
L – пятьдесят
C – сто
D – пятьсот
M - тысяча
MMDCCCLXXVI
MCMXCIV
=
2876
= 1994

8.

Римская непозиционная
система счисления
В качестве цифр используются:
I
V
X
L
C
D
M
1
5
10
50 100 500
1000
Величина числа определяется как сумма или разность цифр в
числе.
MCMXCVIII = 1000+(1000-100)+(100-10)+5+1+1+1 = 1998

9.

Славянская система нумерации
(алфавитная)
=
341

10.

11.

Индийские цифры –
случайны ли они?

12.

Позиционные системы
счисления
Первая позиционная система счисления была
придумана еще в Древнем Вавилоне, причем
вавилонская
нумерация
была
шестидесятеричная,
т.е.
в
ней
использовалось шестьдесят цифр!
В XIX веке довольно широкое распространение
получила
двенадцатеричная
система
счисления.
В настоящее время наиболее распространены
десятичная, двоичная, восьмеричная и
шестнадцатеричная системы счисления.

13.

Основание системы
счисления
Количество различных символов, используемых для изображения
числа в позиционных системах счисления
Система счисления
Основание
Алфавит цифр
Десятичная
10
0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9
Двоичная
2
0, 1
Восьмеричная
8
0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7
Шестнадцатерич
ная
16
0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, A, B, C,
D, E, F

14.

Десятичная
позиционная система
счисления
012345678
9
Как называются
эти цифры?
Арабские?
ОСНОВАНИЕ
Да, но это исторически несправедливое
название, потому что появились они
в Индии – еще в V веке

15.

Анатомическое
происхождение системы

16.

Пятеричная система
счисления
Китай
Африка

17.

Двадцатеричная
система
20
Майя и Ацтеки
(Центральная Америка)
Кельты (Западная Европа)
1 франк = 20
су

18.

12-ричная система
счисления
12
1 шиллинг = 12 пенсам
1 фут = 12 дюймам

19.

60-ричная система
счисления (Вавилонская)
основание =
60
– 1
= 59
– 10
=
747
12 * 60
27
60 минут
60 секунд

20.

16-ричная система
Основание
р = 16
Алфавит: 0,1,2,3,4,5,6,7,8,9, A, B, C, D, E, F
10, 11, 12, 13, 14, 15
Что означают числа: 1016, 2016, 2516, 5A16,
10016, 100016?
11116 = 256+16+1
?
=
AB16 = 160+11
?273
= 171

21.

Восьмеричная система
Основание
Алфавит:
р=8
0,1,2,3,4,5,6,7
8
Что означают числа: 108, 208, 258,
528, 1008, 10008?
64+8+1 =
73
111
32+3
8 = ?= 35
438 = ?

22.

В общем виде:
p-ричная система
счисления
p – основание
K = anpn+an-1pn-1+…+a1p1+a0 = anan-1…a1a0
В р-ричной системе счисления р цифр
Рассмотрим подробнее системы с основаниями
р = 2, 60, 8, 16

23.

Развернутая запись числа
654.3210 = 6*102 + 5*101 + 4*100 + 3*10-1 + 2*10-2
101,112 = 1*22 + 0*21 + 1*20 + 1*2-1 + 1*2-2
654,328 = 6*82 + 5*81 + 4*80 + 3*8-1 + 2*8-2
654,3216 = 6*162 + 5*161 + 4*160 + 3*16-1 + 2*16-2

24.

Перевод чисел из одной
позиционной системы в другую
1011012 = 1*25 + 0*24 +
1*23 +1*22 + 0*21 + 1*20 = 32
+ 8 + 4 + 1 = 4510
15FC16=1*163 + 5*162 +
15*161 + 12*160 = 4096 +
1280 + 240 + 12 = 562810

25.

Перевод чисел из одной
позиционной системы в другую
101.112 = 1*22 + 0*21 + 1*20
+ 1*2-1 + 1*2-2 =4+1 + ½ +
¼ = 5.7510
67.58 = 6*81 + 7*80 + 5*8-1 =
6*8 + 7*1 + 5*1/8 = 55.62510

26.

Перевод чисел из одной
позиционной системы в другую
10469= 1*93 + 0*92 + 4*91 +
6*90 =729 + 0 +36 + 6 =
77110
1023 = 1*32 + 0*31 +2*30 =
9+0+2=1110

27.

Двоичная система
счисления
Основание р=2
Алфавит системы: 0, 1
0–
0
1–
1
2 – 10
3 – 11
4 – 100
5 – 101
6 – 110
7 – 111
Как записать остальные числа?
8 – 1000
9 – 1001
10 – 1010
11 – 1011
12 – 1100
13 – 1101
14 – 1110
15 – 1111
16 – 10000
17 – 10001
18 – 10010
19 – 10011
20 – 10100
21 – 10101
22 – 10110
23 – 10111
24 – 11000
25 – 11001
26 – 11010
27 – 11011
28 – 11100
29 – 11101
30 – 11110
31 – 11111

28.

Перевод чисел из десятичной
системы счисления в двоичную
13510= 100001112
135 : 2 = 67(остаток 1)
67 : 2 = 33 (остаток 1)
33 : 2 = 16 (остаток 1)
16 : 2 = 8 (остаток 0)
8 : 2 = 4 (остаток 0)
4 : 2 = 2 (остаток 0)
2 : 2 = 1 (остаток 0)
1 : 2 = 0 (остаток 1)

29.

Перевод чисел из десятичной
системы счисления в двоичную
13510= 1020 5
135 : 5 = 27(остаток 0)
27 : 5 = 5 (остаток 2)
5 : 5 = 1 (остаток 0)
1 : 5 = 0 (остаток 1)

30.

Перевод нецелых чисел
из десятичной системы
счисления в N-ую
25,7610= 11001,1122
25 : 2 = 12(остаток 1)
12 : 2 = 6 (остаток 0)
6 : 2 = 3 (остаток 0)
3 : 2 = 1 (остаток 1)
1 : 2 = 0 (остаток 1)
0,76 * 2 = 1,52 ( целая часть 1)
0,52 * 2 = 1,04 ( целая часть 1)
0,04 * 2 = 0,08 ( целая часть 0)

31.

Упражнения
Перевести в десятичную систему счисления:
1203 = 0*30+2*31+1*32 = 1510
102F16 = F*160 + 2*161 + 0*162 + 1*163 = 414310
1110012 = 1*20+0*21+0*22+1*23+1*24+1*25=5710
Перевести в двоичную систему счисления:
7310 = 10010012
4910 = 1100012
Перевести в восьмеричную систему счисления
10310 = 1478
6710 = 1038