Представление чисел в различных системах счисления

1.

Тема занятия:
1Представление чисел в различных системах
счисления.

2.

Системы счисления:
• В какой СС написан текст и расшифровать представленные
значения:
Ей было 1100 лет,
Она в 101 класс ходила,
В портфеле по 100 книг носила,
Все это правда, а не бред
Когда, пыля десятком ног,
Она шагала по дороге,
За ней всегда бежал щенок,
С одним хвостом,
Зато 100- ногий

3.

Системы счисления:
• Система счисления – это знаковая система, в которой числа записываются по
определенным правилам с помощью символов некоторого алфавита,
называемых цифрами
• Все СС делятся на 2 основные группы
- позиционные
- непозиционные
• Непозиционными называются такие системы счисления, в которых каждый
знак (цифра) в записи любого числа имеет одно и то же значение и не
зависит от своего расположения в числе.
• Позиционными называют такие системы счисления, в которых значение
каждого знака (цифры) в записи любого числа зависит от расположения
(позиции) этого знака в числе.

4.

Системы счисления:
• Количество цифр, используемых для записи чисел в позиционной
системе счисления, называется ее основанием.

5.

6.

Системы счисления:
• В q-ичной системе счисления, q единиц какого-либо разряда образуют единицу
следующего разряда.
• Целое число А, в q-ичной системе счисления представляется в виде конечной
суммы степени числа q- суммы разрядных слагаемых (формула 1):
• Где
А-число;
q - основание системы счисления;
ai- цифры относящиеся к алфавиту данной системы счисления ;
qi - весовой коэффициент разряда

7.

Правила перевода чисел из одной системы счисления в другую
(целые числа)
• 1.Из 2-ой в 10-ю. Для перевода двоичного числа в десятичное
необходимо его записать в виде многочлена, состоящего из произведений
цифр числа и соответствующей степени числа 2, и вычислить по правилам
десятичной арифметики:
• Пример:
• 1100112=?10
• Для начала необходимо проставить позиции, для простоты
вычислений: 151403021100
• Не забываем, что расстановку начинаем с права на лево, первая позиция
равна нулю, позиция после запятой для дробных чисел равно -1 и далее по
убыванию
• Далее начинаем расчет:

8.

Переведите числа из двоичной системы в
десятичную:
1000111=
1111001=
1110011=

9.

Правила перевода чисел из одной системы счисления в другую (целые
числа)
• 2.Из 8-ой в 10-ю. Используя формулу 1 мы можем перевести число из
восьмеричной системы в десятичную.
Т.е. перевод аналогичен переводу из двоичной в десятичную систему.
• Пример:
2348=?10
• Расчет. Не забываем, что основание восьмеричной системы равно 8

10.

Переведите числа из восьмеричной
системы в десятичную:
5568=
20208=
6058=

11.

Правила перевода чисел из одной системы счисления в другую (целые
числа)
• 3. Из 16-й в 10-ю. Используя формулу 1 мы можем перевести число из
шестнадцатеричной системы в десятичную. Не забываем при расчете,
заменять символы шестнадцатеричного алфавита на десятеричный
• Пример решения

12.

Переведите числа из шестнадцатеричной
системы в десятичную:
AB2316=
CD5416=
FE9816=

13.

Правила перевода чисел из одной системы счисления в
другую (целые числа)
• Перевод десятичного числа в другие системы
• Для перевода десятичного числа в другую систему его необходимо последовательно делить на
основание системы, в которую мы хотим перевести изначальное число, делим до тех пор, пока
не останется остаток, меньший или равный 1. Число в двоичной системе записывается как
последовательность последнего результата деления и остатков от деления в обратном порядке.
• Примеры:
• 2210=101102
746710=1D2B2

14.

Переведите числа из десятичной системы в
двоичную и шестнадцатеричную:
2510= ?2
1910= ?2
3510= ?2
56910= ?16
15810= ?16
62710=?16

15.

Правила перевода чисел из одной системы счисления в
другую (целые числа):
Переводы из 2-ой в 8-ю и 16-ю, из 8-й в 16-ю
Чтобы перевести число из двоичной системы в восьмеричную или
шестнадцатеричную его нужно:
- разбить на триады (тройки цифр)в случае перевода в восьмеричную СС и на четверки, в
случае перевода в шестнадцатеричную СС, начиная с младшего разряда;
- в случае необходимости дополнить старшую тройку или четверку нулями;
- каждую тройку или четверку заменить соответствующей восьмеричной или
шестнадцатеричной цифрой соответственной .

16.

Правила перевода чисел из одной системы счисления в другую
(целые числа)
• Пример: 10010112=?8
• Решение:
• Разбиваем на триады с конца, в данном случае, нам необходимо добавить в
старшую стройку два нуля :
001 001 0112
• Заменяем алфавит двоичной системы на соответствующий восьмеричный и
получаем:
• 001 001 0112=1138

17.

Правила перевода чисел из одной системы
счисления в другую (целые числа)
• Пример: 10111000112=?16
• Решение:
0010 1110 00112=2E316
• Аналогично предыдущему примеру заменяем четверки на
соответствующие символы шестнадцатеричного алфавита

18.

Правила перевода чисел из одной системы счисления в другую (целые числа)
• 3 Для перевода восьмеричного числа в двоичное, необходимо каждую цифру заменить
эквивалентной ей двоичной триадой.
• Пример.
• Число 531 перевести в двоичную систему счисления.
• 5318=101 011 0012
• 4 Для перевода шестнадцатеричного числа в двоичное, необходимо каждую цифру заменить
эквивалентной ей двоичной тетрадой.
• Пример. Число EE816 перевести в двоичную систему счисления.
• EE816 = 1110 1110 100010
• 5. При переходе из восьмеричной системы счисления в шестнадцатеричную и обратно, необходим
промежуточный перевод чисел в двоичную систему.

19.

Переведите числа из двоичной системы в
восьмеричную
1110002=?8
1001002=?8
0010012=?8

20.

Перевод дробных частей правильных и неправильных дробей
• 1.Перевод из десятичной системы счисления в двоичную, восьмеричную и
шестнадцатеричную:
• а) исходная дробь умножается на основание системы счисления, в которую переводится (2, 8
или 16);
• б) в полученном произведении целая часть преобразуется в соответствии с таблицей в цифру
нужной системы счисления и отбрасывается – она является старшей цифрой получаемой дроби;
• в) оставшаяся дробная часть (это правильная дробь) вновь умножается на нужное основание
системы счисления с последующей обработкой полученного произведения в соответствии с
шагами а) и б);
• г) процедура умножения продолжается до тех пор, пока не будет получен нулевой результат в
дробной части произведения или не будет достигнуто требуемое количество цифр в результате;
• д) формируется искомое число: последовательно отброшенные в шаге б) цифры составляют
дробную часть результата, причем в порядке уменьшения старшинства.

21.

Перевод дробных частей правильных и неправильных дробей
• Пример: Перевести число 0,847 в двоичную и шестнадцатеричную системы
счисления. Перевод выполнить до трех значащих цифр после запятой.
• 1. Из 10 в 2
2. Из 10 в 16

22.

Перевод дробных частей правильных и неправильных дробей
•Перевод из двоичной, восьмеричной и шестнадцатеричной систем счисления в
десятичную.
•В этом случае рассчитывается полное значение числа по формуле 1, представленной в начале
нашей лекции.
•Из 2 в 10
0,11012 = 1*2-1 + 1*2-2 + 0*2-3 +1*2-4 = 0,5 + 0,25 + 0 + 0,0625 = 0,812510 0,11012 = 0,812510
Расхождение полученного результата с исходным числом (см. пример 1) вызвано тем, что
процедура перевода в двоичную дробь была прервана.
•Из 8 в 10
0,6618 = 6*8-1 + 6*8-2 + 1*8-3 = 0,75 + 0,09375 + 0,00195 = 0,845710 0,6618 = 0,845710
•Из 16 в 10
0,D8D16 = 13*16-1 + 8*16-2 + 13*16-3 = 13*0,0625 + 8*0,003906 + 13* 0,000244 = 0,8469210

23.

Перевод дробных частей правильных и неправильных дробей
• Перевод из двоичной системы счисления в восьмеричную и
шестнадцатеричную:
• а) исходная дробь делится на триады (8) или тетрады (16), начиная с
позиции десятичной точки вправо. Если количество цифр дробной части
исходного двоичного числа не кратно 3 или 4, оно дополняется справа
незначащими нулями до достижения кратности 3 или 4;
• б) каждая тройка или четверка заменяется восьмеричной или
шестнадцатеричной цифрой в соответствии с таблицей перевода.

24.

Перевод дробных частей правильных и неправильных
дробей
• Пример: Выполнить перевод из двоичной системы счисления в восьмеричную и
шестнадцатеричную числа 0,00101012.
Из 2 в 8
Из 2 в 16

25.

Перевод дробных частей правильных и неправильных
дробей
Перевод из восьмеричной, шестнадцатеричной системы счисления в двоичную:
а) каждая цифра исходной дроби заменяется триадой (тетрадой) двоичных цифр в
соответствии с таблицей
б) незначащие нули отбрасываются.
• Из 8 в 2
0,1248 перевести в двоичную систему счисления.
По таблице перевода имеем 18 = 0012; 28 = 0102; 48 = 1002 .
Тогда 0,1248 = 0,0010101002. Отбросим незначащие нули и получим 0,1248 = 0,00101012
• Из 16 в 2
Выполнить перевод из шестнадцатеричной системы счисления в двоичную числа 0,2А16.
По таблице перевода имеем 216 = 00102 и А16 = 10102.
Тогда 0,2А16 = 0,001010102.
Отбросим незначащий ноль и получим
0,2А16 = 0,00101012

26.

Перевод дробных частей правильных и
неправильных дробей
• Правило перевода дробных чисел (неправильных дробей)
• Напомним, что неправильная дробь имеет ненулевую дробную часть,
т.е. у нее числитель больше знаменателя.
• Результат перевода неправильной дроби всегда неправильная дробь.
• При переводе отдельно переводится целая часть числа, отдельно
дробная. Результаты складываются.

27.

Перевод дробных частей правильных и неправильных дробей
• Пример :Выполнить перевод из десятичной системы счисления в
шестнадцатеричную число 19,847. Перевод выполнять до трех значащих цифр
после запятой.
• 19,847 = 19 + 0,847
• Переводим целую часть:
Переводим дробную часть:
И получаем 19,847 = 19 + 0,847 = 1316 + 0,D8D16 = 13,D8D16
19,84710 = 13,D8D16

28.

Перевод дробных частей правильных и неправильных дробей
• Перевод из двоичной в десятичную, восьмеричную и шестнадцатеричную
• Пример.
• Выполнить перевод из двоичной системы счисления в десятичную число 1001,1001
• 1. Необходимо проставить разряды: у целой части с 0 влево, у дробной части с -1 вправо
• 2. Затем, по формуле получаем
• 1001,10012 = 1*23 + 0*22 + 0*21 +1*20 +1*2-1 + 0*2-2 + 0*2-3 + 1*2-4 = 8 + 0 +
+0 + 1 + 0,5 + 0 + 0 + 0,0625 = 9,562510
• 1001,10012 = 9,562510
• Аналогично переводятся неправильные дроби из восьмеричной и шестнадцатеричной
системы в десятичную.