Метод проекций. Проекция точки

1. Тема 1

Пермский государственный технический университет
Кафедра дизайна, графики и начертательной
геометрии
Е.С. Дударь, И.Д. Столбова
Тема 1
Метод проекций. Проекция точки
Цель: сформировать представление о
конструктивном способе отображения пространства

2.

Метод проекций
Пространство
расширенное евклидово
Способ
конструктивный (проецирование)
отображения
пространства
нелинейные:
Геометрические линейные (неопределяемые):
• точка;
образы:
• кривая линия;
• прямая;
• поверхность
• плоскость
• наглядность;
• простота;
Требования к
• точность;
• обратимость
чертежу
построить проекционный чертеж
Прямая задача
пространственного предмета
прочитать чертеж, т.е. реконструировать натуОбратная
ральные пространственные формы, размеры и
задача
положение изображаемого предмета
Основной метод начертательной геометрии. Используется для
построения изображения геометрических образов трехмерного
пространства на плоскости чертежа

3.

Метод проекций
Центральное проецирование
S
A
А
H – плоскость
проекций;
А – произвольная
точка пространства;
S
проекций;
SA– –центр
проецирующий
луч;
А – проекция точки А
на плоскость
А = SA
проекций
HП
При центральном проецировании проецирующие лучи проходят через
центр проекций – точку S . Проекция А точки А есть пересечение проецирующего луча SA с плоскостью проекций П . Центральные проекции
наиболее приближены к естественному зрительному восприятию

4.

Метод проекций
Параллельное проецирование
s
l
A
А
П – плоскость
проекций;
А – произвольная
точка пространства;
s – направление
lпроецирования;
– проецирующий луч;
А – проекция точки А
на плоскость проекций
П А = l П , l s
При параллельном проецировании центр проекций бесконечно удален,
тогда все проецирующие лучи будут параллельны некоторому заданному
направлению s. Проекция A точки А есть пересечение проецирующего
луча l с плоскостью проекций П

5.

Классификация проекций
Центральные
(конические)
S
Параллельные (цилиндрические)
косоугольные, s П
ортогональные, s П
B
A
B
A
B
s
C
C
А
С
С
C
А
В
В А
A
В
С
При центральном проецировании совокупность проецирующих лучей
образует коническую поверхность. При параллельном проецировании
совокупность проецирующих лучей образует цилиндрическую
поверхность.
s

6.

Общие свойства центрального и
параллельного проецирования
• Проекция точки есть точка
• Проекция прямой линии, в общем случае,
прямая
• Каждая точка и линия в пространстве имеют
свою единственную проекцию
• Если точка принадлежит прямой, то и
проекция точки принадлежит проекции
данной прямой
• Для построения проекции прямой
достаточно спроецировать две ее точки и
через полученные проекции этих точек
провести прямую линию

7.

Свойства параллельного
проецирования
• Отношение длин отрезков прямой равно
отношению длин их проекций
• Отрезок прямой, параллельный плоскости
проекций, проецируется на эту плоскость
без искажения
• Проекции параллельных прямых
параллельны
• Отношение длин отрезков параллельных
прямых равно отношению длин их проекций
• При параллельном переносе плоскости
проекций величина проекций не меняется

8.

Ортогональное проецирование
Прямая задача – построить чертеж
s
A
А1
При ортогональном
проецировании
проецирующие лучи s
перпендикулярны
плоскости проекций П1
и параллельны между
собой
Прямая задача – изобразить на чертеже положение точки. Произвольной
точке пространства А на плоскости проекций соответствует ее
единственное изображение – проекция А1 . Проецирование на одну
плоскость проекций дает решение прямой задачи

9.

Ортогональное проецирование
Обратная задача – прочитать чертеж
В"
В'
В
В1
Обратная задача – по чертежу представить положение точки в пространстве. Произвольной точке В1 , являющейся проекцией точки В, в пространстве будет соответствовать множество точек В, В', …, лежащих на
одном проецирующем луче. Задача не имеет единственного решения.

10.

Метод Монжа
V
В2
В""1
В"
В2
В1
В
Метод ортогонального
проецирования на две
и более взаимно
перпендикулярные
плоскости проекций
В1
H V
Рассматриваются две взаимно перпендикулярные плоскости проекций.
На второй плоскости проекций каждая из точек В, В ', В " имеет свое
изображение. По двум проекциям точки можно однозначно определить ее
положение в пространстве, т.е. обратная задача решена

11.

Метод Монжа
Метод ортогонального проецирования:
• плоскости проекций перпендикулярны
между собой;
• проецирующие лучи перпендикулярны
плоскости проекций.
Для однозначного определения положения точки
в пространстве необходимо задать на чертеже
минимум две ее ортогональные проекции
Комплексный чертеж – это изображение
геометрического образа, полученное при
совмещенных плоскостях проекций

12.

Точка в системе двух плоскостей проекций
Пространственная картина
Комплексный чертеж
V
x
O
H
x
V
H
H V
H – горизонтальная плоскость проекций; V – фронтальная плоскость
проекций. Плоскости проекций пересекаются по оси координат Оx. Вращением вокруг оси Ох плоскость H совмещают с плоскость V. Совмещенное положение плоскостей проекций образует комплексный чертеж

13.

Точка в системе двух плоскостей проекций
Пространственная картина
Комплексный чертеж
V
А
A
x
Аx
V
O
x
H
А
АA' H АА"
А' - ;горизонтальнаяVи А" - фронтальная проекции точки А.
Проецирующие лучи АА' и АА" перпендикулярны соответствующим
плоскостям проекций. Точка пересечения проецирующей плоскости с
осью Оx обозначена Ах

14.

Точка в системе двух плоскостей проекций
Пространственная картина
Комплексный чертеж
V
А2
А2
A
Аx
x
H
А1
O
А1
x
Аx
А1
На комплексном чертеже горизонтальная А' и фронтальная А" проекции
точки А соединяются вертикальной линией проекционной связи, которая
перпендикулярна оси Ох. Геометрический образ всегда находится между
наблюдателем и соответствующей плоскостью проекций.

15.

Точка в системе трех плоскостей проекций
Пространственная картина
z
V
x
O
H V W
y
Используются три основные взаимно перпендикулярные плоскости
проекций: H - горизонтальная; V - фронтальная; W - профильная.
Плоскостей проекций пересекаются по осям Оx, Оy, Оz декартовой
системы координат

16.

Точка в системе трех плоскостей проекций
Пространственная картина
z
V
W
y
H
z
V
O
x
Комплексный чертеж
y
y
O
xH
W
y
y
Для перехода к комплексному чертежу пространственную модель
разрезают по оси Оy и совмещают все три плоскости проекций в одну:
H поворачивают вокруг оси Оx, W поворачивают вокруг оси Оz до их
совпадения с V . Ось Оу распадается на две оси y.

17.

Точка в системе трех плоскостей проекций
Пространственная картина
z
Комплексный чертеж
z
V
А2
Аz
A
x
Аx
O
А1
А3
Аy
АА' H ;АА" V ;АА"' Wy
V
O
xH
W
y
y
Проецирующие лучи АА' , АА" , АА"' проводят перпендикулярно
соответст-вующим плоскостям проекций и получают проекции точки А:
горизон-тальную А' , фронтальную А" , профильную А"' . Точки
пересечения прое-цирующих плоскостей с соответствующими осями

18.

Точка в системе трех плоскостей проекций
Пространственная картина
z
Комплексный чертеж
V
А2
Аz
А3
A
Аx
x
А1
H
z
W
А3
O
y
Аy
А1
y
y
x
А2
Аz
А3
Аx
O
Аy
y
А1 Аy
y
На комплексном чертеже линии проекционной связи перпендикулярны
осям координат. Линия А' А" Ох расположена вертикально, а А"А"' Оz
-горизонтально. При построении линии связи от А1 к А3 необходимо
соблюсти равенство координатных отрезков по оси Оy : Ax A'= Az A"'

19.

Прямоугольные координаты точки
V
П2
x
z
A(xA ,yA ,zA )
А
А2
Аz
" A xA
y
А"'
3
O А
Аx A
zA
Аy
А'
А1
xA = AA3
yA = AA2
zA = AA1
y
Система трех взаимно перпендикулярных плоскостей проекций - аналог
декартовой системы координатных плоскостей. Координата точки есть
число, выражающее ее расстояние до плоскости проекций. Точка А в
пространстве имеет координаты: абсциссу XA , ординату YA , аппликату ZA

20.

Прямоугольные координаты точки
z
А2
y
А2
zA
A
zA
O
O
x
x
xA
y
A
А1
xA
y
A
А1
А3
zA
y3
y1
На комплексном чертеже численные значения координат откладываются
вдоль соответствующих координатных осей. Каждая проекция точки
определяется двумя координатами: горизонтальная – XA и YA ,
фронтальная - XA и ZA , профильная - YA и ZA .

21.

Конкурирующие точки
Конкурирующими называются точки, лежащие на
одном проецирующем луче.
V
В2
A2
B2
А2
В
z
A
В1 (A1)
zB > zA
z
x
В1 (A1)
Горизонтально конкурирующие точки А и В лежат на общем
горизонтально-проецирующем луче, поэтому их горизонтальные
проекции совпадают. Точка В выше точки А и расположена ближе к
наблюдателю, ее горизонтальная проекция В' будет видимой

22.

Конкурирующие точки
Видима та точка, у которой больше координата
V
В2 (A2)
A y
В
A1
В1
В2 (A2)
x
А1
B1
y
yB > yA
Фронтально конкурирующие точки А и В отличаются только
координатой y , лежат на одном фронтально-проецирующем луче,
поэтому их фронтальные проекции совпадают. Ближе к наблюдателю
расположена точка В, ее фронтальная проекция В" будет видимой

23.

Вопросы для самопроверки
1.
2.
3.
4.
5.
Какие проекции наиболее наглядны?
а) центральные
б) параллельные
Где расположен центр проекций при параллельном
проецировании?
а) на плоскости проекций
б) в бесконечности
Сколько плоскостей проекций нужно использовать для
обратимости чертежа?
а) одну
б) две
в) три
Какой способ проецирования используется в методе
Монжа?
а) центральный
б) ортогональный
в) косоугольный
Какое минимальное количество проекций точки достаточно
задать на комплексном чертеже?
а) одну
б) две
в) три

24.

Вопросы для самопроверки
6.
Какие координаты определяют горизонтальную
проекцию точки?
а) x и y
б) y и z
в) x и z
7. Какие координаты определяют фронтальную проекцию
точки?
а) x и y
б) y и z
в) x и z
8. Какие координаты определяют профильную проекцию
точки?
а) x и y
б) y и z
в) x и z
9. Сколько одинаковых координат имеют конкурирующие
точки?
а) все
б) одну
в) две

25.

Вопросы для самопроверки
А2
x
C2
D2
C1 В1 B2
D1
А1
10. По комплексному чертежу определить
положение точек (A, B, C, D ) в
пространстве:
а) ? H , V , W
б) ? H
с) ? V
д) ? Ox

26.

Вопросы для самопроверки
E2
F2
В2 (A2)
C2
D2
x
А1
B1
z
E3 (F3 )
O
y3
C1 (D1)
y1
11. По комплексному чертежу определить
название пары
конкурирующих точек:
а) ? – горизонтально конкурирующие
б) ? – фронтально конкурирующие
с) ? – профильно конкурирующие