Векторное и смешанное произведения векторов. Лекция 5

1. Математика

Лекция 5
Векторное и смешанное
произведения векторов

2.

Векторным произведением векторов a и b называется вектор c ,
удовлетворяющий условиям
1. вектор c ортогонален векторам a и b ;
2. векторы a , b , c образуют правую тройку;
3. c a b sin , (a , b ).
Обозначение: a b или [a, b ].
Заметим, что длина вектора c равна площади параллелограмма,
построенного на векторах a и b .
Пример 1. Показать, что i j k , i k j .

3.

Аналогично, j k i , k i j , k j i , j i k .
Свойства векторного произведения
1. a b 0 a b (a, b 0).
2. b a a b .
3. ( a b) c (a c) (b c).
Из свойства линейности (3) следует, что при векторном
умножении можно раскрывать скобки, выносить числовой
множитель, но нельзя менять порядок сомножителей.

4.

Вычисление векторного произведения
в ортонормированном базисе
Пусть в ОНБ: a a1i a2 j a3k , b b1i b2 j b3k .
Найдем векторное произведение векторов, используя свойство
линейности:

5.

i
j
Таким образом, в ОНБ: a b a1 a2
b1 b2
k
a3 .
b3
Применение векторного произведения
1. Вычисление площади параллелограмма S и площади
треугольника S∆, построенных на векторах a и b :
1
S a b , S a b .
2
2. Отыскание вектора c : c a, c b
c (a b ).
3. Вычисление момента m0 силы F , приложенной к точке М,
относительно точки О: m0 ОМ F .

6.

4. Вычисление линейной скорости v точки М, вращающейся с
постоянной угловой скоростью w : v w OM .

7.

Пример 2. Найти вектор c , перпендикулярный векторам a 2i j
и b 3 j k , если c 3 41 и вектор c образует тупой угол с
осью Oz.

8.

Пример 2. Найти вектор c , перпендикулярный векторам a 2i j
и b 3 j k , если c 3 41 и вектор c образует тупой угол с
осью Oz.

9.

§5. Смешанное произведение векторов
Пусть вектор a векторно умножается на вектор b , затем
получившийся вектор a b скалярно умножается на вектор c .
В результате получается число, которое называется векторноскалярным или смешанным произведением векторов a, b , c.
Обозначение: a b с или a, b , с .
Таким образом, a b с (a b ) c.
Свойства смешанного произведения
1. a b с 0 a , b , c компланарны.
2. abc (a b ) c a (b c ).
3. ( a b) c d (a c d ) (b c d ).

10.

Вычисление смешанного произведения
в ортонормированном базисе
Пусть в ОНБ i , j , k : a {a1 , a2 , a3}, b {b1 , b2 , b3}, c {c1 , c2 , c3}.
Вычислим смешанное произведение этих векторов,
воспользовавшись формулой: abc a (b c ).

11.

a1 a2
Таким образом, в ОНБ: a b c b1 b2
c1 c2
a3
b3 .
c3
Применение смешанного произведения
1. Проверка компланарности трех векторов
a, b , c компланарны abc 0.
2. Проверка принадлежности четырех точек A, B, C, D одной
плоскости П: ( A, B, C , D) П AB, AC , AD 0.
3. Вычисление объемов пирамиды и параллелепипеда,
построенных на векторах a , b , c , и их высоты, опущенной из
конца вектора c :
rrr
ab c
rrr
1 r rr
Vпар- да = a b c , Vпир = a b c , h c= r r .
6
aґ b

12.

Пример 1. Вычислить
пр с a b , если a {2,3, 1}, b 1, 9, 1 , с 1, 1, 0 .

13.

Пример 1. Вычислить
пр a b с, если a {2,3, 1}, b 1, 9, 1 , с 1, 1, 0 .

14.

Пример 2. Показать, что векторы a i 2 j , b 3i 5 j 4k ,
c 2i k некомпланарны. Найти объем параллелепипеда,
построенного на этих векторах, и высоту ha, опущенную из
конца вектора a .