Определённый интеграл

1.

Тема урока: Определённый
интеграл

2.

Совокупность всех первообразных данной
функции f(x) называется ее неопределенным
интегралом и обозначается f ( x)dx
Функция F(x) называется первообразной для
функции f(x) на данном промежутке, если для
любого x из этого промежутка F'(x) = f(x).
cf ( x)dx c f ( x)dx, c const
( f ( x) g ( x))dx f ( x)dx g ( x)dx
1
f (ax b)dx a F (ax b) C , a 0

3.

Тема урока: Определённый интеграл
Определённый интеграл имеет большое
практическое применение. С его помощью
можно вычислять объёмы и площади
поверхностей геометрических тел, длину
кривой линии, площади плоских фигур,
важные физические величины (работу, силу,
теплоту и др.).

4.

Задачи, приводящие к понятию
определенного интеграла
1.О вычислении площади криволинейной
трапеции
2.О вычислении массы стержня
3.О перемещении точки

5.

Определенный интеграл
lim S n
n
Называют определенным интегралом
от функции по отрезку [a;b]
b
lim S n f x dx
n
a
1. Интеграл равен пределу интегральных
сумм.
2. С помощью интегральных сумм можно
вычислить различные величины

6.

b
S f ( x)dx
a
b
m p ( x)dx
Геометрический смысл определенного
интеграла
Площадь криволинейной трапеции
Физический смысл определенного
интеграла
Масса неоднородного стержня
a
b
s v t dt
a
Перемещение точки

7.

Для вычисления определенного интеграла
используют формулу Ньютона-Лейбница

8.

Это интересно. Формула НьютонаЛейбница
Ньютон открыл новый метод раньше, но
опубликовал его позже Лейбница, написав ему:
«Надеюсь, что я при этом не написал ничего,
что было бы тебе неприятно, если же это
случилось, то прошу сообщить, потому что
друзья мне дороже математических открытий»
Лейбниц ответил в резкой форме. Распря двух
гениев дорого обошлась науке: английская
математическая школа увяла на целый век,
а европейская проигнорировала многие
выдающиеся идеи Ньютона.
Спор тянулся почти 40 лет, пока аббат Конти не
сообщил Ньютону: «Лейбниц умер – диспут окончен»

9.

Это интересно. Формула НьютонаЛейбница
b
f
(
x
)
dx
F
(
b
)
F
(
a
),
a
где F(x) – первообразная
для функции f(x)
Исаак Ньютон
1642-1727
b
Или
b
f
(
x
)
dx
F
(
x
)
a
a
Готфрид Лейбниц
1646-1716

10.

Формула Ньютона -Лейбница
Теорема:
Если y f ( x) непрерывна на а; b , то
b
f(x)dx F (b) F (a), где F(x) первообразная
a
b
f
(
x
)
dx
F
(
b
)
F
(
a
)
F
(
x
)
a
b
a

11.

Правила вычисления определенного
интеграла
b
b
b
a
a
a
f ( x) g ( x) dx f ( x)dx g ( x)dx
b
b
a
a
kf
(
x
)
dx
k
f
(
x
)
dx
Если a c b , тт
c
b
b
a
c
a
f ( x)dx f ( x)dx f ( x)dx

12.

Решение примеров
1. Пример. Вычислить