Применение метода асимптотического осреднения для нелинейной задачи пьезоупругости для слоистых композитов

1.

Министерство науки и высшего образования Российской Федерации
Федеральное государственное бюджетное образовательное учреждение высшего образования
«Московский государственный технический университет имени Н.Э. Баумана
(национальный исследовательский университет)»
(МГТУ им. Н.Э. Баумана)
ФАКУЛЬТЕТ «Фундаментальные науки»
КАФЕДРА «Вычислительная математика и математическая физика»
Направление подготовки «Математика и компьютерные науки» 02.03.01
Выпускная квалификационная работа бакалавра на тему:
Применение метода асимптотического осреднения для
нелинейной задачи пьезоупругости для слоистых композитов.
Выполнил: студент группы ФН11-81Б Крылов А.В.
Научный руководитель: ассистент кафедры ФН-11, Зубарев Е.А.

2.

Математическая постановка задачи
Постановка квазистатической
поляризующихся композитов :
j ij 0,
i di 0,
C ( I , x s ) v ( I , x s )e ,
ijkl
kl
kij
k
ij
1
ij ( j ui i u j ),
2
d k vkij ( I , x s ) ij эkj ( I , x s )e j ,
ei i ,
[ui ] 0, [ ij ]n j 0
0 di ni 0,
| n S
i
ij j
, d n d
e
i i Σ
e
Σ1
2
связанной
(1)
(2)
(3)
(4)
(5)
(6)
(7)
(8)
(9)
(10)
задачи
нелинейной
электро-механики
для
• В системе уравнений (1) - уравнение равновесия, (2) уравнение Гаусса, (3) - соотношения упругости с учетом
эффекта пьезоупругости, (4) - соотношения Коши, (5) электрические соотношения с учетом обратного
пьезоэффекта, (6) - выражение для электрического
потенциала, (7) - условия идеального механического
эффекта на границе разделов компонентов, (8) соотношения идеального электрического контакта на
границе раздела компонентов материала, (9) –
кинематические и статические условия на внешней
поверхности, (10) – электрические условия на границах.
Cijkl – компоненты тензора модуля упругости,
ij
vikl
ij
эik
di
ek
– компоненты тензоров малых деформаций,
– компоненты тензора пьезоэлектрических коэффициентов,
– компоненты тензоров напряжений,
– компоненты тензоров диэлектрических постоянных,
– компоненты векторов электрической индукции,
– электрический потенциал,
– компоненты векторов напряженностей электрического поля,
I ( , е) – инвариант относительно тензора и вектора.

3.

Метод асимптотического осреднения
Так как структура композита периодична,
у нее можно выделить ячейку периодичности V
и ввести малый параметр l 1
L
Безразмерные координаты:
x x /L
s
s
i
xi
Решение линеаризованной задачи ищем в виде
асимптотических разложений по малому параметру:
u
{ m}
k
{ m}
u
{m}(0)
k
x u
{ m} 0
s
n 1
n {m}( n )
k
x ,
s
s
x x ,
s
n
{ m} n
s
s
n 1
Дифференцирование осуществляем по следующему правилу:
i h h,i 1h|i
h 1 h
xi i

4.

Асимптотические разложения
{ m}
i
e
e
n {m}( n )
i
n 0
где
{ m}
ij
n 0
n {m}( n )
ij
d
{ m}
i
d
n
{ m}( n )
i
n 0
ei{m}( n ) ,{im} n |{i m} n 1
2 kl m ( n ) uk ,l m ( n ) ul ,k m ( n ) uk |l m ( n 1) ul|k m ( n 1)
ij
m ( n )
s
{m 1}( n n ')
{ m}( n n ') { m}( n ')
(Cijkl
kl m ( n ') vkij
ek
)
n ' 0
s
d
{m}( n )
k
{m}( n n ') {m}( n n ')
(vkij
ij
э{kjm}( n n ') e{jm} )
n ' 0
{ m}
ij
n ij{m}( n )
n 0

5.

Рекуррентная последовательность локальных задач
ij{m, j}( n ) ij{m| j}( n 1) 0
{m}( n )
di{|im}( n 1) 0,
k V
d i ,i
n
{m 1}( n n ')
{m 1}( n n ') {m}( n ')
m ( n )
(Cijkl
kl m ( n ') vkij
ek
)
ij
n ' 0
n
d {m}( n )
(vki{mj 1}( n n ') ij{m}( n n ') э{kjm 1}( n n ') e{jm} )
k
n ' 0
m ( n )
m ( n )
m ( n )
m ( n 1)
m ( n 1)
2
u
u
u
u
kl
k
,
l
l
.
k
k
|
l
l
|
k
e{m}( n ) {m} n {m} n 1
,i
|i
i
m ( n ) n 0, u m ( n 1) 0
s
Σ
ij
j
i
{m}( n 1)
0 di{m}( n ) ni 0,
s Σ
m ( n 1)
]] 0, [[ ij m ( n ) ]] 0, uk m ( n 1) 0
[[uk
{m} n 1
0, {m} n 1 0, n 0,1, 2,..., m 1, 2,...,
Локальная задача в нулевом приближении (n = 0):
ij{|mj }(0) 0
{m}(0)
0,
k V
di|i
m (0)
{m 1}(0)
{ m 1}(0) { m}(0)
Cijkl
kl m (0) vkij
ek
ij
{m}(0 ) {m 1}( 0 ) {m}(0) {m 1}(0) {m}(0)
vkij
ij
эkj
ej
d k
m (0)
uk ,l m (0) ul ,k m (0) uk |l m (1) ul|k m (1)
2 kl
e{m}(0 ) {m} 0 {m} 1
,i
|i
i
m (0) n 0, u m (1) 0
s Σ
ij
j
i
{m}(1) 0 d {m}(0) n 0,
s Σ
i
i
[[u m (1) ]] 0, [[ m (0) ]] 0, u m (1) 0,
ij
k
k
{m} 1
0, {m} 1 0 n 0,1, 2, ... , m 1,2, ...

6.

Рекуррентная последовательность локальных задач
Формальное решение задачи нулевого приближения:
uk
m (1)
N
{m 1} m (0)
kij
ij
M
{m 1} {m}(0)
ki
i
e
uk
где
N
M
{m 1}
ki
K
{m 1}
i
N kij ( kl
m 1
M ki ( lj
Ki ( kj
m 1
m 1
, )
{m 1}
j
, )
,e
,e
(N
{m 1}
j
s
, )
s
m (0)
( nn' )
kij1 ... jn ij1 ... jn
M
( nn' ) {m}(0)
ki1 ...in i1 ...in
e
)
) {m}(0)
{m} n (M ij( nn... j) ij ... j {m}(0) Ki( nn
)
...i ei ...i
n' 0
s
2 kl m (0) uk ,l m (0) ul ,k m (0)
ei{m}(0) ,{im} 0
n 1
n 0
n 1
{m 1}
i
,e
m ( n )
'
{m} 1 M ij{m 1} ij m (0) K i{m 1}ei{m}(0)
{m 1}
kij
Формальное решение задачи:
'
1
'
n
1
n
1
n
1
n
2 kl m ( n ) uk{m,l }( n ) ul{,mk }( n ) uk{m|l }( n 1) ul{|km}( n 1)
n 1
( N kij( nn1 ...) jn ,l Nlij( nn1 ...)jn ,k N kij( n1,...n jn1)|l Nlij( n1,...n j n1)|k ) ij 1m... j(0)
n
'
'
'
'
n' 0
n 1
)
( M ki( nn
M li(1nn...in) ,k M ki( n1 .,..nin |l1) M li(1n...,nin |k1) )ei1{..m.i}n(0)
1 ...in ,l
'
'
'
'
n' 0
{m}( n )
i
e
,i
{m} n
|i
{m} n 1
n 1
( M i(j1n...,njn |1)i M ij(1nn... j)n ,i ) ij 1m... j(0)
n
n' 0
n 1
)
{ m}(0)
( K i(1n...,inn | i 1) K i(1nn
...in ,i )ei1 ...in
n' 0
'
'
'
'

7.

Осредненные задачи
Осредняем уравнения электромеханики:
d
{m}
i
,i k d
n
n 0
{m}( n )
i
,i k n di{m}( n ) ,i di{,im} 0
n 0
{m 1}(0)
{m 1}
{m 1}
{m}
ij m (0) Cijkl
( N kij
/ l N lij / k ik jl ) ij
{m 1}(0)
Cijkl
( M ki{m|l 1} M li{|mk 1} ) ei{m}
{m}(0)
{m}(0)
vkij
( ik Ki{|km 1} ) ei{m} vkij
M ij{|mk 1} ij{m}
ij{m} , j k n ij{m}( n ) , j ij{m, j} 0
n 0
ij
m (0)
m (0)
{m 1}(0)
ijkl
kl
C
v
{m}(0) {m}(0)
kij
k
e
{m}(0) {m}(0)
di{m}(0) vkij
ij
э{kjm}(0)e{jm}(0)
2 kl m (0) uk ,l m (0) ul .k m (0) uk|l m (1) ul|k m (1)
{m 1} m
kl m N kij
M ki{m|l 1}ei{m}
/ l ij
m
{m 1}
( ik jl N kij
M ki{m|l 1}ei{m}
/ l ) ij
ek{m}( 0) ,{km}( 0) |{km} 1
ek{m} M ij{|mk 1} ij{m} Ki{|km 1}ei{m}
( ik K i{|km 1} )ei{m} M ij{|mk 1} ij m
{m 1} {m}
ij m (0) Cijkl
ij vkij{m 1}ei{m}
{m}(0)
{m 1}
{m 1}
{m}
d k{m}(0) vkij
( N kij
/ l N lij / k ik jl ) ij
{m}(0)
vkij
( M ki{m|l 1} M li{|mk 1} ) ei{m}
э{kjm}(0) ( ik Ki{|km 1} ) ei{m} э{kjm}(0) M ij{|mk 1} i{j m}
dk{m}(0) vkij{m 1} ij{m} эkj{m 1}ei{m}

8.

Осредненные задачи
Получим следующую осредненную задачу:
ij{m, j} 0
{ m}
di ,i 0
m (0)
{m 1} {m}
{ m 1} { m}
С
v
ei
ij
ijpq
ij
ijp
{m}(0)
d {m 1} { m}
{ m 1} { m}
d
v
+
э
ei
k
kpq
ij
ki
{ m}
{ m}
{ m}(0)
{ m}(0)
2
2
u
u
kl
k ,l
l ,k
kl
e {m} e{m} {m}(0)
i
,i
i
i{jm} | n j Si
{m} e , di{m}ni d e
Σ1
Σ2
Эффективные характеристики:
Сijpq Cijkl ( N kpq /l kp lq ) vkij M pq|k ,
vijp Cijkl M kpu |l vkij ( kp K p|k ) ,
d
vkpq
vkpq vkij N ipq / j эkj M pq| j ,
эki vkqj M qiu / j эki эkj Ki| j

9.

Модель нелинейных электро-механических свойств фаз
композита с кубической группой симметрии.
Линейная тензорная структура функций:
3
Cijkl ( I , x s ) 1 ( u , x s ) ij kl 3 ( u , x s )( ik jl il jk ) 2 ( u , x s ) i j k l
1
эkj ( I , xs ) э( ei , xs ) kj
3
vkij ( I , x s ) v( x s ) k ( i j i j )
1
В качестве конкретных функций примем
следующие зависимости:
E (1 ( u ))
1 ( u )
(1 2 )(1 )
x s V
0,
если
( u ) 0
S b
(1
) ,
u
э( ei , x s ) э ( ei ),
v( x s ) ,
x s V
E
2G (1 ( u ))
(1 )
3 ( u ) 2G (1 ( u ))
Функции ниже полагаем кусочно-гладкими:
( u , x s ) ( u ),
2 ( u )
x s V
u S
если u S
э0 ,
0 ei e s
э ( ei )
э A 1 exp B ( ei e s ) , ei e s
0

10.

Решение для слоистого композита
Рассмотрим частный случай, когда композит имеет слоистую структуру, а ЯП композита состоит из N слоев,
ортогональных к направлению 3 . Обозначим далее эту координату ,
в рамках ЯП она изменяется в интервале 0.5 0.5
Свяжем между собой функции N, M, K:
{m}(0)
i 3|3 0
{m}(0)
d3|3 0
m (0)
{m}(0) {m}(0)
Ci{jklm 1}(0) kl m (0) vkij
ek
ij
{m}(0) {m}( 0) {m}(0) {m}(0) {m}(0)
vkij ij
эkj e j
d k
m (0)
uk ,l m (0) ul ,k m (0) l 3uk |3 m (1) k 3ul|3 m (1)
2 kl
e{m}(0 ) {m} 0 {m} 1
,i
i 3 |i
i
m ( 0) 0, u m (1) 0
3
i3
{
m
}(1)
{
m
}(0)
0 d3
0
[[u m (1) ]] 0, [[ m (0) ]] 0, u m (1) 0,
ij
k
k
{m} 1 0, {m} 1 0
u
(0)
(0)
(0)
ij (0) Cijkl ( Nkpq /l kp lq )u (0)
p ,q Cijkl M kp|l , p vkij ( kp K p|k ) , p vkij M pq|k u p ,q
u
(0)
(0)
(0)
dk(0) vkij ( Nipq/l ip jq )u (0)
p ,q vkij M ip / j , p эkj ( ji Ki| j ) , p эkj M pq| j u p ,q
(0)
ij (0) Cijpq u (0)
p , q pij , p
где Cijpq Cijkl ( N kpq / l kp lq ) vkij M pq|k
pij Cijkl M kpu |l vkij ( kp K p|k )
d
(0)
d k(0) kpq
u (0)
p ,q эki , p
где
kpd q vkpq vkij Nipq / j эkj M pq| j
эki vkqj M qiu / j эki эkj Ki| j

11.

Решение для слоистого композита
v
v
v
v
v
3
i
3
3
p
q
(
1
)
(
2
)
3
i
3
3
k
3
3
i
3
С
С
N
C
C
i
p
q
/
3
i
3
k
3
i
3
p
q
i
p
q
p
q
э
э
э
3
3
3
3
3
3
Продифференцируем и подставим в первые два
уравнения системы в нулевом приближении:
ij / j
(0)
Cijkl ( N kpq / l kp lq ) vkij M pq|k 0
/j
0
u
Cijkl M kp|l vkij ( kp K p|k ) / j 0
vkpq vkij N ipq / j эkj M pq| j 0
/k
{m}(0)
d k |k 0
u
vkqj M qi / j эki эki K i| j / k 0
Получим систему из 4 уравнений:
u
Cijkl ( N kpq / l kp lq ) vkij M pq|k 0
/j
/j
C Mu
ijkl kp|l / j vkij ( kp K p|k ) / j 0
vkpq vkij N ipq / j эkj M pq| j 0
/k
vkqj M qiu / j эki эki Ki| j 0
/k
(0)
p ,q
u
( 0)
,p
(0)
p ,q
(0)
,p
Рассмотрим 1 и 3 уравнение
(1)
Ci 3k 3 Nkpq /3 Ci 3 pq v3i 3 M pq /3 Сipq
(2)
v3 pq v3i 3 Nipq /3 э33M pq|3 C pq
(2)
1
M pq|3 C pq
v3 pq v3i 3 N ipq /3 э33
(2)
1
(1)
Ci 3k 3 N kpq /3 Ci 3 pq v3i 3 C pq
v3 pq v3i 3 N ipq /3 э33
Сipq
v3i 3v3 pq
v3i 3v3k 3
v3i 3 (2)
(1)
Nipq /3 Ci 3k 3
Сipq
С pq
Ci 3 pq
э33
э33
э33
Аналогично рассматриваем 2 и 4:
э33 э3 p
э э
C
K i /3 v3i 3
v pi 3 33 3i С pi(3) i 3k 3 Сi(4)
v3q 3
v3q 3
v3q 3

12.

Решение для слоистого композита
Осредняя полученные выражения, можем найти константы:
(1)
Clpq
Fkl ( Dkpq Bk C 1 E pq )
(2)
(1)
С pq
C 1 ( E pq Bl Clpq
)
C pi(3) Fpq Dqi C 1 Bq Ei
Ci(4) ( Ei Bp C pi(3) ) C 1
где
Aik Ci 3k 3 3i 3 3k 3
э33
Bk
3i 3
э33
1
Aik
Dkpq (Ci 3 pq
C (1 3i 3 Bi )
3i 3 3 pq
э33
) Aik
1
E pq э33
( Dipq 3i 3 3 pq )
Fkl Akl Bk C 1 Bl
э
Dqi pi 3 3i 3 p 3 Apq
э33
1
Ei э33
( Dqi 3q3 э3i )
1

13.

Решение для слоистого композита
Получим следующие эффективные характеристики для слоистого композита:
Сijpq Cijkl ( N kpq /l kp lq ) vkij M pq|k
(1)
(2)
Cijk 3 Akl 3ij Bl Clpq
Cijk 3 Bk 3ij C C pq
Cijpq Cijk 3 Dkpq 3ij E pq ,
d
vkpq
vkpq vkij Nipq / j эkj M pq| j
(1)
(2)
ki 3 Ali - эk 3 Bl Clpq
ki 3 Bi эk 3C C pq
kpq ki 3 Dipq + эk 3 E pq ,
v pij
Cijkl M kpu |l vkij ( kp K p|k )
Cijk 3 Akl 3ij Bl Clp(3) Cijk 3 Bk 3ij C C p(4)
pij Cijk 3 Dkp 3ij E p ,
эki vkqj M qiu / j эki эkj Ki| j
kq 3 Apq эk 3 B p C pi(3) kq 3 Bq эk 3C Ci(4)
эki kq 3 Dqi эk 3 Ei