Определенный интеграл

1.

ОПРЕДЕЛЕННЫЙ
ИНТЕГРАЛ
Определение. Основные свойства. Формула
Ньютона-Лейбница. Геометрические приложения.

2.

ОПРЕДЕЛЕННЫЙ ИНТЕГРАЛ,
ЕГО СВОЙСТВА И ВЫЧИСЛЕНИЕ

3.

Понятие определенного интеграла
Рассмотрим функцию
y=f(x), непрерывную и
ограниченную на отрезке
[a,b]. Разобьем [a,b] на n
элементарных отрезков
∆xi произвольной длины,
возьмем на каждом
отрезке ∆xi произвольную
точку ci и вычислим
значение функции f(ci) в
этих точках.

4.

Определение интегральной суммы
Интегральной суммой для функции y=f(x) на
отрезке [a,b] называется сумма произведений
длин элементарных отрезков ∆xi на значения
функции f(ci) в произвольных точках этих
отрезков
n
S n f (сi ) x i
i 1

5.

Определение определенного
интеграла
Определенным интегралом от функции f(x) на
отрезке [a,b] называется предел (если он
существует) интегральной суммы для функции
f(x) на отрезке [a,b], не зависящий от способа
разбиения отрезка [a,b] и выбора точек ci,
найденный при условии, что длины
элементарных отрезков (включая и
максимальный ∆xmax) стремятся к нулю.
n
S n lim f (сi ) xi
a f ( x)dx max{lim
x i } 0
max{ x i } 0 i 1
b

6.

Геометрический смысл
определенного интеграла

7.

Основные свойства определенного
интеграла
10
Величина определенного интеграла не зависит от
обозначения
переменной
интегрирования
(инвариантность):
b
b
a
a
f ( x)dx f (t )dt
20
При
перестановке
пределов
определенный интеграл меняет
обратный (перестановочность):
b
a
a
b
f ( x )dx f ( x )dx
a
интегрирования
свой знак на
f ( x )dx 0
a

8.

Основные свойства определенного
интеграла
30 Если промежуток интегрирования [a,b] разбит на конечное
число частичных промежутков, то определенный
интеграл, взятый по промежутку [a,b], равен сумме
определенных интегралов, взятых по всем его частичным
промежуткам (аддитивность):
b
a, b a, c c, b
c
b
a
c
f ( x)dx f ( x)dx f ( x)dx
a

9.

Формула Ньютона-Лейбница.
Определенный интеграл равен разности
значений первообразной подынтегральной
функции для верхнего и нижнего пределов
интегрирования.

10.

.
Непосредственное
интегрирование
Этот способ основан на использовании свойств
определенного интеграла, приведении
подынтегрального выражения к табличной форме
путем тождественных преобразований и
применении формулы Ньютона-Лейбница.
2
Вычислить определенный интеграл:
1 x dx
0
0
2
( x 1) 2
( x 1) 2
1
1
x
dx
(
1
x
)
dx
(
x
1
)
dx
(
x
1
)
dx
(
x
1
)
dx
(1 1) 1
0
0
1
1
1
2 1
2 1 2
2
1
2
0
2

11.

Замена переменной
.
Вычислить
2
dx
4 x
0

12.

Интегрирование по частям
b
b
a
a
b
udv
(
uv
)
a vdu
.
2
Вычислить
ln xdx
1
2
2
1
1
dx
2
2
ln
xdx
x
ln
x
x
2
ln
2
ln
1
x
1
1
x
2 ln 2 (2 1) 2 ln 2 1

13.

Основные приложения
определенного интеграла.
Площадь плоской фигуры
b
c
b
S f
( x) f
( x) dx f ( x) f ( x) dx f ( x) f ( x) dx
ниж
1
2
2
1
верх
a
a
c