Тригонометрическая форма записи комплексного числа

1.

Тригонометрическая форма
записи комплексного числа

2.

Определение 1: Модулем комплексного числа z = a + bi
называют число
.
Обозначают:
Геометрически модуль комплексного числа z = a + bi –
это расстояние от точки координатной плоскости,
соответствующей числу z, до начала координат.

3.

Пример 1: Найдите модуль комплексного числа:
а) 21 – 20i
б)
в) i(i – 1)
г)
Если z = a + 0 · i = а – действительное число, то
То есть для действительных чисел введенное понятие
модуля совпадает с ранее изученным.
Совпадают и свойства модуля: они такие же, как и для
действительных чисел.

4.

Наиболее важное свойство:
Теорема 1. Модуль произведения двух комплексных
чисел равен произведению модулей этих чисел.
Приведем еще некоторые свойства модуля:

5.

6.

Модуль комплексного числа равен 1 тогда и только
тогда, когда соответствующая
ему точка
координатной плоскости лежит на числовой
окружности.
Действительно, и равенство
,и
принадлежность точки (x; y) числовой окружности
на координатной плоскости по определению
означают, что
Как же записывают точки числовой окружности в
виде комплексных чисел?

7.

Теорема 2. Если комплексное число z лежит на
числовой окружности, то
для
некоторого действительного числа α;
Если
, то z лежит на числовой
окружности.

8.

Теорема 3. Если комплексное число z лежит на
единичной окружности, то
Обратно, если
окружности.
.
, то z лежит на единичной

9.

Определение 2: Тригонометрической формой
записи отличного от нуля комплексного числа z
называют его запись в виде
где ρ – положительное действительное число.
Теорема 4. Всякое отличное от нуля комплексное
число z может быть записано в виде
, где α – некоторое действительное число.
Если
- другая
тригонометрическая запись числа z, то
и
,

10.

Итак, в тригонометрической форме записи
число ρ определено однозначно:
, а вот число
α (в силу периодичности косинуса и синуса) не
однозначно (обычно говорят «с точностью до 2πn»).
Наприме
р,

11.

Чтобы избежать неопределенности, математики
договорились выбирать число α , принадлежащее
какому-нибудь фиксированному промежутку
длины 2π, обычно это полуинтервал (– π; π].

12.

Модуль и аргумент
комплексного числа
Модуль
комплексного
числа
Аргумент
комплексного
числа
Arg z =ϕ +2πn,
n∈z,
ϕ = arctg b/a,
-π < ϕ ≤ π.

13.

14.

y
z2
4,5
r=4,5
Φ=180°
z3
-7
z
Φ =90°
r=7
0
r=3
z1 = 3 = 3 (cos 0°+i sin 0°)
3
1
x
Переход от алгебраической
формы
°
°
z
=
4,5
=
4,5
(cos
90
+i
sin
90
)
2
комплексных
чисел к тригонометрической и
°
показательной
алгоритма
z3 = -7 = 7 (cosбез
180использования
+i sin 180°)

15.

Z = 2 +2i,
a = 2, b = 2,
y
b
r
Переход от алгебраической формы φ
комплексных чисел к тригонометрической и
показательной с использованием алгоритма x
0
a

16.

17.

18.

19.

20.

Определение 3: Аргументом отличного от нуля
комплексного числа z называют действительное
число α такое, что:
Обозначение: arg z.
Геометрическ
и:

21.

22.

23.

Множество всех комплексных чисел с одним и тем
же модулем R – это окружность радиуса R с центром
в начале координат;
Множество
всех
комплексных
чисел
с
фиксированным аргументом α – это открытый луч,
выходящий из начала координат и наклоненный
под углом α к положительному направлению оси
абсцисс.
Любой такой луч пересекается с любой такой
окружностью в единственной точке. Поэтому, зная
модуль
и аргумент комплексного числа, мы
однозначно можем определить само число.
Два комплексных числа равны между собой
тогда и только тогда, когда равны их модули и
равны их аргументы.

24.

Есл
и
и
, то
а) При умножении комплексных чисел модули
перемножаются, а аргументы складываются.
б)
При делении комплексных чисел модули
делятся, а аргументы вычитаются.

25.

Перейдем к уравнениям с комплексными
коэффициентами. У квадратного уравнения
az2 + bz + с = 0, а ≠0,
с комплексными коэффициентами а, b, с, как
правило, комплексным (не действительным)
будет и дискриминант D = b2 - 4ас. Поэтому
нам следует прежде всего научиться извлекать
квадратные корни из комплексных чисел с
ненулевой мнимой частью.

26.

27.

Наконец, рассмотрим квадратное
2
уравнение az + bz + с = 0 , а ≠ 0, с
комплексными коэффициентами а, b,
с.
Здесь сохраняется привычная
формула корней квадратного
уравнения: