Понятие движения. 9 кл. Геометрия

1.

Понятие
ДВИЖЕНИЯ

2.

Отображение плоскости на себя
Поставим в соответствие каждой
точке плоскости какую-либо точку
этой же плоскости.
х1
х
Говорят, что дано отображение
плоскости на себя.
Х → Х1 по какому-либо правилу
Каждое правило определяет
какое-то отображение

3.

Осевая симметрия
Пусть дана какая-то прямая m, которую назовем осью симметрии. Осевой
симметрией называется отображение плоскости на себя, при котором каждой
точке Х ставится в соответствие точка Х1 по следующему правилу:
ХХ 1 m
Прямая m делит отрезок ХХ 1 пополам
m
М1
X1
Как для точки М построить точку М1?
Из точки М опустим перпендикуляр
МР на прямую m.
X
Отложим на прямой МР отрезок РМ1,
равный отрезку МР.
Р
К
М
Точка, лежащая на прямой m,
симметрична сама себе

4.

Построение отрезка, симметричного
данному относительно прямой m
A1
m
A
B
B1

5.

Построение треугольника, симметричного
данному относительно прямой m
m
А1
А
В1
С1
В
С

6.

Построение окружности, симметричной
данной относительно прямой m
m
О1
R
O
R

7.

Фигуры, имеющие ось симметрии

8.

Центральная симметрия
Пусть дана какая-то точка О, которую назовем центром симметрии.
Центральной симметрией называется отображение плоскости на себя, при
котором каждой точке Х ставится в соответствие точка Х1 по следующему
правилу:
О – середина отрезка ХХ1
М
Х1
О
Как для точки М построить точку М1?
Проведем луч МО
Х
М1
Отложим на луче МО отрезок ОМ1,
равный отрезку ОМ.
Точка О (центр симметрии) симметрична
сама себе.

9.

Построение отрезка,
симметричного данному
относительно точки О
B
A1
О
B1
A

10.

Построение треугольника,
симметричного данному
относительно точки О
A1
B
О
С1
С
A
B1

11.

Фигуры, имеющие центр симметрии

12.

Параллельный перенос
Пусть а данный вектор.
Параллельным переносом на вектор а называется отображение
плоскости на себя, при котором каждой точке Х ставится в
соответствие точка Х 1 по правилу : ХХ 1 а
Х
а
а
Как для точки М построить точку М1?
Х1
М
От точки М отложим вектор ММ1,
равный данному вектору а
ММ 1 а
а
М1

13.

Параллельный перенос отрезка
на данный вектор
а
А1
а
А
В
а
В1
АА1 а
ВВ1 а

14.

Параллельный перенос
треугольника на данный вектор
А1
а
В1
С1

15.

Поворот
Пусть даны точка О (центр поворота) и угол α (угол
поворота). Поворотом плоскости вокруг точки О на угол α
называется отображение плоскости на себя, при котором
каждой точке Х ставится в соответствие точка Х1 по
следующему правилу:
ХОХ 1
ОХ ОХ 1
Как для точки М построить точку М1?
Х
Проведем отрезок ОМ
II
О
̶
М1
II
Х1
̶
М
Отложим от отрезка ОМ угол, равный
α (направление поворота задается
условием задачи).
На второй стороне угла α отложим
отрезок ОМ1, равный отрезку ОМ.

16.

Поворот отрезка на угол α
А1
В1
А
В
О

17.

Поворот треугольника на угол α
А1
В
В1
С1
А
С
О

18.

Движение плоскости
Отображения плоскости на себя, которое сохраняет
расстояние между точками, называется движением
В1
плоскости.
В
f - движение
А
А → А1
А1
В
А → А1
В → В1
АВ = А1В1
А
С
А1
С1
В1
В → В1
С → С1
АВ = А1В1
ВС = В1С1
АС = А1С1

19.

Движение
F1
X1
Y1
XY = X1Y1

20.

Теорема. Осевая симметрия - движение
Дано: f – осевая симметрия,
прямая m - ось симметрии
Х → Х1
У → У1
Доказать: ХУ = Х1У1
m
X1
У1
К
Z1
Р
X
Z
У
Проведем УУ1 и 1 1 УУ1
XZ X 1Z1
ХYZ Х 1Y1Z1
YZ Y1Z1
Из равенства ХYZ Х 1Y1Z1 ХY Х 1Y1

21.

Теорема. Центральная симметрия - движение
Дано: f – центральная симметрия,
О - центр симметрии
Х → Х1
У → У1
У
Х1
Доказать: ХУ = Х1У1
О
Х
У1
ХУО Х 1У1О Почему ?
ХУ Х 1У1

22.

Поворот - движение
Дано: f – поворот вокруг точки О на угол α
Х → Х1 , У → У1
Доказать: ХУ = Х1У1
Х
ХОУ Х 1ОУ1
ХУ Х 1У1
О
Х1
У1
У
почему ?

23.

Свойства движения
1. При движении отрезок отображается на отрезок
Р
А
А1
В
Р1
В1
f движение
A A1 B B1
P AB P P1
Доказать : P1 A1 B1 ( A1 P1 P1 B1 A1 B1 )
f движение
A A1 B B1
AB A1 B1
P P1
AP A1 P1
PB P1 B1
P AB AP PB AB
A1 P1 P1 B1 AP PB AB A1 B1
Получили : A1 P1 P1 B1 A1 B1 P1 A1 B1

24.

НАЛОЖЕНИЯ И ДВИЖЕНИЯ
Фигура F равна фигуре F1, если фигуру
F можно совместить с фигурой F1
наложением.
X
FF
X1
F1
Y1
Y
XY = X1Y1
Наложение – это отображение плоскости на себя.
При наложении отрезок отображается в равный себе отрезок.
Значит наложение – это движение.

25.

Теорема. Любое движение является наложением
g – произвольное движение
М2
g
АВС
А1 В1С1
А1
В1
f
М1
АВС А1 В1С1
По определению равных треугольников существует
наложение f , при котором точки А, В, С
отображаются соответственно в точки А1, В1, С1 .
Докажем, что движение g совпадает с наложением f.
С1
g
А
В
М
С
Предположим противное. Тогда на плоскости найдется точка М,
которая при движении g отображается в точку М1, а при
наложении f – в точку М2.
Так как при движении g и наложении f сохраняются расстояния,
то АМ = А1М1 и АМ = А1М2, поэтому А1М1 = А1М2
Вывод: Точка А1 равноудалена от точек М1 и М2 → А1 ͼ …
Аналогично: Точка В1 равноудалена от точек М1 и М2 → В1 ͼ …
Точка С1 равноудалена от точек М1 и М2 → С1 ͼ …
Получили, что точки А1, В1, С1 лежат на серединном перпендикуляре к отрезку М1М2, что
невозможно, так как вершины треугольника не лежат на одной прямой.
Вывод: наше предположение неверно. Следовательно, движение g совпадает с наложением f.