Методы численного решения интегральных уравнений

1.

МЕТОДЫ ЧИСЛЕННОГО РЕШЕНИЯ ИНТЕГРАЛЬНЫХ УРАВНЕНИЙ
Рассмотрим уравнение вида
(11.1)
где x, s, [a,b]. Функции f(x), K(x,s) заданы, а неизвестная функция y(х)
находится под знаком интеграла. K(x,s) – ядро интегрального оператора.
Выражение (11.1) носит название уравнения Фредгольма второго рода.
Уравнение вида
(11.2)
где x, s, [a,b] называется интегральным Фредгольма первого рода.
Уравнения Вольтерра - это интегральные уравнения с переменным верхним
пределом. Уравнение Вольтерра второго рода:
(11.3)
x, s, [a,b]. Уравнение Вольтерра первого рода имеет вид
(11.4)
1

2.

Методы решения интегральных уравнений. Метод наименьших квадратов
Разложим приближенное решение интегрального уравнения (11.1) по системе
линейно независимых функций
(11.5)
Обозначим невязку уравнения (11.1) через r(x)
(11.6)
Потребуем, чтобы норма невязки r(х) была минимальной. Подставим y(x) из
(11.5) в (11.5), r(x) будет зависеть от n варьируемых коэффициентов.
(11.7)
Необходимое условие минимума функции n переменных:
(11.8)
2

3.

(11.9)
Результат дифференцирования запишется в виде
В первом множителе можно заменить индекс суммирования i j.
Относительно неизвестных коэффициентов Сj получаем неоднородную систему
n линейных уравнений
(11.11)
Таким образом, имеем
матричное уравнение АС = f вида
(11.12)
3

4.

где ai,j симметрическая матрица, как следует из формул для коэффициентов.
(11.13)
(11.14)
2. Метод Петрова - Галёркина
Рассмотрим уравнение Фредгольма второго рода
(11.15)
x, s, [a,b]. Пусть имеются две системы линейно - независимых функций
(11.16)
Разложим приближенное решение интегрального уравнения Фредгольма
второго рода по первой системе функций
(11.17)
4

5.

Данное разложение подставим в уравнение (11.15)
(11.18)
Запишем невязку для последнего уравнения
(11.19)
Потребуем ортогональности невязки r(у) всем функциям второй координатной
системы
(в этом заключается идея методов Галеркина)
Все функции каждой системы построены так, что их норма убывает при
увеличении индекса функции. Ортогональность невязки r(у) каждой из функции
обеспечивает также малость ее нормы, поскольку невязка
разложима по системе данных функций.
(11.20)
(11.21)
5

6.

Поменяем порядок интегрирования и суммирования местами, получим
систему из n линейных уравнений
Запишем выражение (11.22) в матричном виде
(11.23)
(11.24)
Правило для запоминания (в формулах (23-24) первый индекс в матрице аi,j
соответствует индексу второй системы координатных функций, соответственно,
второй индекс - первой системе).
При практической реализации данного метода возможно использование
классических ортогональных полиномов Чебышева, Лежандра, Лагерра, Якоби и
других в качестве базисных функций.
Свойство ортогональности классических полиномов заключается в том, что для
каждого типа полиномов существует отрезок [x0, хn] на котором обращаются в
нуль скалярные произведения полиномов разного порядка с весовой функцией
6
(х).

7.

Задача 11.1.
Найти приближенное решение
интегрального уравнения
методом наименьших квадратов.
Искомую функцию y(x) представим в виде (11.5), (х) зададим в
степенного базиса.
виде
MathCad – документ решения задачи 11.1
Для аппроксимации искомой функции
y(x) выбран степенной базис
(функция (x,n)).
Индексированные функции, приведённые при теоретическом описании,
должны в MathCad – документе задаваться как функции двух (или более)
переменных, как функция (x,n) вместо n(x).
7

8.

Вектор коэффициентов С, выведенный на экран, наглядно покажет вклад
соответствующих функций.
8

9.

многоканальный регулируе-мый МП, как с временным, так и с
Масштабные преобразователи выполняются также в виде автоматически
Некоторые уровни также связаны с движением электронов. Разности энергий
Другие энергетические уровни молекулы обусловлены колебаниями
9