Численные методы механики сплошных сред. Метод граничных интегральных уравнений для задач гидромеханики

1. «Численные методы механики сплошных сред. Метод граничных интегральных уравнений для задач гидромеханики»

Лекция 5

2. Решение задачи обтекания тела вращения с использованием МДВ

Краевая задача обтекания тела набегающим потоком для функции тока
в осевой плоскости течения, может быть сформулирована следующим образом:
xx yy y / y 0 в области
~ y1 /(1 ),
const,
Здесь
при
на контуре
(1)
x~
(2)
(3)
- граница обтекаемого тела, 0 - случай плоского обтекания, 1 - случай
осесимметричного обтекания, скорость набегающего потока направлена вдоль оси x и равна 1.

3.

Согласно методу ГИУ, решение задачи - функцию тока
будем искать в
виде суперпозиции функции тока невозмущенного набегающего потока 0 и
функции тока набора кольцевых вихрей непрерывно распределенных вдоль
обтекаемого тела :
( x, y ) o ( x, y )
где
1 2
( ) M d ,
4 L
1
y
o ( x, y )
1
(4)
,
M o 4 ln RR1 1 , M1 R1[( 2 m) K 2E ], m 4 y / R12
R 2 ( x ) 2 ( y ) 2 , R12 ( x ) 2 ( y ) 2
K, E – полные эллиптические интегралы первого и второго рода с модулем m, точка
( , ) L, ( x, y ) произвольная точка пространства.

4.

Рассмотрим осесимметричный случай 1 . Подставляя
осевой плоскости течения к полярным координатам
(4) в (3) , переходя в
( r , ) и полагая уравнение
обтекаемого тела в этой плоскости r g ( ) , имеем соотношение
1
g ( ) sin
( ) A[( 2 m) K 2E ]L[ g ( )]d 0
2 0
2
2
где
L2 [ g ( )] g 2 ( ) g , 2 ( ), A2 g 2 ( ) g 2 ( ) 2 g ( ) g ( ) cos( ),
m 4 g ( ) g ( ) sin sin / A2
(5)

5.

Ядро (5) имеет логарифмическую особенность. Для нахождения можно
использовать равносильное сингулярное ИУ:

6.

Полученное уравнение может быть решено численно, путём
замены её разностно-суммирующим аналогом с использованием МДВ.
Для отрезка (0, ) введем сетку
k hk , k 1, 2,......, n,
h
2
j j , j 1, 2,......, n 1,
Полученный аппроксимирующий аналог имеет вид :
Некоторые результаты численного решения полученной СЛАУ,
иллюстрирующие сходимость решения от сетки показаны в таблице.
n=10
n=20
n=40
ρ20-ρ10
ρ40-ρ20
0.6667
0.790981
0.838468
0.124281
0,047487

7. Краевые задачи теории фильтрации со свободной границей

Основным соотношением теории фильтрации является закон фильтрации,
Дарси который устанавливает связь между вектором скорости фильтрации и тем
полем давления, которое вызывает фильтрационное движение
k
p ,
где p – давление; μ – гидродинамическая вязкость; k – проницаемость
Закон фильтрации вязкопластической нефти через пористую среду
0, если p o ;
k o
1
p, если
p
p o
где o = * m / k условимся называть начальным градиентом сдвига или
начальным градиентом

8.

Альтернативная модель фильтрации :
0, если p o ;
k
p,
если
p o
Рассмотрим фильтрационный поток, образуемый диполем с моментом – M,
помещённым в начало координат. В силу малости градиентов давления
образуется застойная зона ABC с неизвестной границей, вдоль которой модуль
скорости равен минимальной скорости vo
k
G . Т.о. зона течения будет иметь
вид, изображённый на рис. , если ограничиться рассмотрением течения при
Im z 0 .

9.

Параметрическое решение задачи, полученное методами ТФКП
1 1 1 1 1 2 2
1 2 4
x( )
ln
1 2 1 (1 2 ) (1 2 )(1 2 2 )
y( )
1 1 1
( 1)
arctg
1 1
1 2 1 2 2 1 2
При этом численное значение параметра , используемое в системе, может
быть найдено из уравнения
avo
( 1) 2 ( 1) 2
2
ln
1
,
, 1 ,
4
Q
( 1) 2

10. Соответствующая краевая задача

p 0 в области
(1)
p
d j Q j , i 1, 2
j 0 j n
k
(2)
lim
p
0,
n
Здесь
на контуре
(3)
p
G, на контуре
s
(4)
- граница застойной области, j - контур, охватывающий j-тую скважину с дебитом
Q j , расположенную в точке ( x j , y j ); n, s – внутренняя нормаль и касательная к контуру ; к
- заданная постоянная проницаемости среды. Индексом плюс отмечено предельное значение
нормальной производной давления при приближении к границе
изнутри.

11.

Согласно методу ГИУ, решение задачи - функцию распределения
давления будем искать в виде суперпозиции потенциала внешнего поля po ( x, y)
и потенциала простого слоя с неизвестной плотностью , сосредоточенной на
контуре :
p ( x, y ) p o ( x, y )
( , ) ln
2
где
po ( x, y )
i 1
1
(x ) ( y )
2
2
d ,
Qi
ln ( x xi ) 2 ( y yi ) 2 ,
2 k
Здесь ( , ) – точка, принадлежащая контуру ; (x, y) – произвольная точка в пространстве
.
R2

12.

Пусть контур границы застойной области ∂Ω = {r =g (θ), где 0≤ θ ≤ 2π}
задан в полярных координатах. Подставляя выражение для функции давления
p(x,y) в граничные условия и учитывая, что нормальная производная потенциала
простого слоя терпит разрыв первого рода в точках контура ∂Ω со скачком 2πρ,
получим систему двух интегральных уравнений
po ( x, y)
1
( , ) ln
( x, y) 0
2
2
n
n
(x ) ( y )
po ( x, y)
1
( , ) ln
G
2
2
s
s
(x ) ( y )
(5)
(6)

13.

Переходя в полученных уравнениях к полярным координатам и используя затем
формулы для нахождения частных производных по направлению нормали и касательной,
будем иметь систему двух интегродифференциальных уравнений для отыскания двух
неизвестных функций: плотности ρ(θ), сосредоточенной на контуре ∂Ω и формы самого
контура g(θ), где 0≤ θ ≤ 2π
( )
( ) N , , g ( ), g ( )
Q
2
2
g
(
)
g
(
)
d
0 g 2 ( ) g 2 ( )
2 k
2
N 0, , a, g ( ) N , , a, g ( )
1
g 2 ( ) g 2 ( )
(7)
0
Q
1
( ) K , , g ( ), g ( )
K 0, , a, g ( ) K , , a, g ( )
2 k
g 2 ( ) g 2 ( ) 0
g 2 ( ) g 2 ( )
(8)
2
g 2 ( ) g 2 ( ) G
g 2 ( ) g ( ) g ( ) cos( ) g ( ) g ( ) sin( )
Здесь N , , g ( ), g ( )
g 2 ( ) 2 g ( ) g ( ) cos( ) g 2 ( )
и
K , , g ( ), g ( )
( g ( ) cos( ) g ( )) g ( ) g ( ) g ( ) sin( )
g 2 ( ) 2 g ( ) g ( ) cos( ) g 2 ( )

14.

Перейдем теперь в уравнениях (7) и (8) к безразмерным величинам,
полагая
( )
( )
G
, g ( )
G
aG
Q
g ( ) ,
, D
Da
D
В результате преобразований получим интегральные уравнения такого же вида
с заменой ρ(θ) на (θ), g(θ) на g ( ), a 2 на ε , G и aD, равными единице.
Одновременно введя замену для плотностей
~( ) ( ) g 2 ( ) g 2 ( ) ,
будем иметь систему уравнений (7) и (8) в окончательном виде:
2
1
~ ( ) ~ ( ) N , , g ( ), g ( ) d
N 0, , , g ( )
2
0
(9)
N , , , g ( ) 0
1
2
K (0, ,
2
, g ( )) K ( , , , g ( )) ~( ) K ( , , g ( ), g ( )) d
g 2 ( ) g 2 ( )
0
(10)

15.

Пусть точки t1 0, t 2 , , t n , t n 1 2 разбивают отрезок [0, 2π] на n
равных частей длины h=2π/n, а точка t oj является серединой отрезка [ t oj , t oj 1 ] ,
j=1,…, n. Будем говорить, что точки множеств Eo t oj , j 1, 2, , n образуют
каноническое разбиение отрезка [0, 2π] с шагом h. Тогда вместо системы (9)(10) будем исследовать следующий аппроксимирующий аналог
n
1
~
j h ~ k N g k , g j
N , j , , g j
2
k 1
N 0, j , , g j
1
2
K 0, ,
, g j K , , , g j h ~ k K g k , g j
n
k 1
g 2 j g 2 j ,
где точки
(11)
j и j принадлежат множеству E0 , n – нечётное число.
(12)

16.

Пользуясь симметрией контура и плотностей, сосредоточенных на этом
контуре,
систему
нелинейных
уравнений,
справедливую
для
отрезка
интегрирования [0, 2π], можно переписать для отрезка [0, π]. Действительно,
т.к. ρ(α)=ρ(-α) и g(α)=g(-α), 0≤ α ≤π, то система (11) - (12) на отрезке [0, π]
примет следующий вид
m
~ j h ~ k N k , j , g k , g j N k , j , g k , g j
k 1
1
2
1
2
N , ,
K 0,
j
j
, g j N 0, j , , g j ,
где
j 1, 2, , m ,
m
, , g j K , j , , g j h ~ k K k , j , g k , g j
K k , j , g k , g j g 2 j g 2 j ,
m n 2 , n-нечётное число.
(13)
k 1
j 1, 2, , m
(14)

17. Полученные численные решения

18.

В таблицe показана зависимость функции g
G
g , описывающей
Da
форму контура застойной области от полярного угла θ, полученная для
0.1 на 20, 60, 100 узлах разностной сетки для 0 .
В качестве начального приближения использовано аналитическое
решение, соответствующее 0.11 .
Угол
0.157
0.471
0.785
1.099
1.414
1.728
2.042
2.356
2.67
2.985
n = 20
0.921735
1.10434
1.2158
1.28207
1.31305
1.31305
1.28207
1.2158
1.10434
0.921735
n = 60
0.921707
1.10432
1.21579
1.28206
1.31304
1.31304
1.28206
1.21579
1.10432
0.921707
n = 100
0.921707
1.10432
1.21579
1.28206
1.31304
1.31304
1.28206
1.21579
1.10432
0.921707
аналитич.
0.921707
1.10432
1.21579
1.28206
1.31304
1.31304
1.28206
1.21579
1.10432
0.921707

19.

20. Случай кусочно-однородного пласта

Рассмотрим плоскую задачу изотермического вытеснения вязкопластической жидкости водой в
кусочно-однородном недеформируемом пористом пласте. Пусть в области фильтрации
2
имеется две скважины интенсивности Q j , ( j 1 , 2) , отстоящие друг от друга на расстоянии
2a и неоднородное включение 1 с проницаемостью k1 (см. рис.).

21.

p 0 в области 2
(15)
p
d j Q j ,
j 0 j n j
k
lim
p
0,
n2
p
G
s
j 1, 2
(16)
на контуре 2
(17)
p ( x, y )
p ( x, y )
p p , k1
k 2
на контуре 1
n
n
1
1
Здесь
(18)
1 - замкнутый контур скачка проницаемости, j - контур, охватывающий j-тую
скважину с дебитом Q j , расположенную в точке x j , y j
j 1, 2 , n (n
i
j
), s i
внутренняя нормаль и касательная к контуру i ( j ), k1 , k 2 заданные постоянные
проницаемости областей
2 \ 1 и 2 соответственно.

22.

2
2 1 N g1 , g 2
0
g 22 g 22
g g 2
2
2
2
g12 g1 2
g 22 g 22
2
d 2 N g 2 , g 2
0
Q
N 0, , a, g 2 ( ) N , , a, g 2 ( ) 2 1 2 0
2 k
g 2 ( ) g 2 ( )
d
2
Q
K 0, , a, g 2 ( ) K , , a, g 2 ( ) 2 1 2 1 K g1 , g 2
2 ki
g 2 g 2 0
g12 g1 2
g 22 g 2 2
2
d 2 K g 2 , g 2
2 ki
2
1 N g1 , g 2
0
g 22 g 2 2
0
k1 k 2 1 ( ) k 2 k1 Q
g 22 g 22
g 22 g 22
0
d
2
2
g1 g1
1
g12 ( ) g1 2 ( )
g12 g12
g12 g1 2
d G
N 0, , a, g1 ( ) N , , a, g1 ( )
2
d 2 N g 2 , g 2
0