Закон Ома. Законы Кирхгофа. Баланс мощностей в электрической цепи

1.

Закон Ома. Законы Кирхгофа.
Баланс мощностей в
электрической цепи.

2.

Источники ЭДС или напряжения и тока.
Источником напряжения называется такой источник электроэнергии, у
которого внутреннее сопротивление R0 мало (С0 - велика), поэтому
напряжение на его зажимах практически не зависит от тока нагрузки;
у источника тока R0 велико (G0 — мала), поэтому ток нагрузки
практически не зависит от напряжения на его зажимах.
Важнейшей характеристикой источников напряжения и тока
являются внешние характеристики, под которыми понимают: для
источников ЭДС - зависимость напряжения от тока при постоянных ЭДС
и внутреннем сопротивлении, снятые с использованием схемы.
Установим соотношения, описывающие указанные характеристики, и
аппроксимируем (изобразим) их графически.

3.

1. Реальными источниками ЭДС могут быть синхронные генераторы на
электростанциях или аккумуляторные батареи, используемые во
многих радиоэлектронных устройствах, мобильной технике (самолеты,
автомобили, тракторы и др.). У них внутренние сопротивления малы.
Внешняя характеристика источника ЭДС описывается выражением
, из которого
ростом тока I напряжение U уменьшается линейно.
очевидно,
что
с
Зависимость тока нагрузки от сопротивления описывается формулой
, из которой очевидно, что с ростом
сопротивления R ток I уменьшается по кривой, т.е. при R = 0 (короткое
замыкание источника ЭДС) I = Е / R0 = Iкз, при R =∞(холостой ход источника
ЭДС) I = Е / ∞ = 0 = /хх.
2. Реальным источником тока можно моделировать коллекторную цепь
схемы замещения биполярного транзистора или истоковую —
полевого, а также схемы некоторых классов усилителей.

4.

Закон Ома
Закон Ома для участка цепи, не содержащего ЭДС, записывается так:
Закон Ома для участка цени с источником ЭДС, выступающим в качестве
источника электроэнергии, например во второй ветви, запишется так

5.

Законы (правила) Кирхгофа
Первое правило (закон) Кирхгофа гласит: алгебраическая сумма
токов в узле цепи равна нулю, т.е.
где k — число токов ветвей, сходящихся в узле. При этом знаки перед
токами берутся с учетом их произвольно выбранных положительных
направлений: всем
токам, направленным
к узлу,
например,
приписывается знак «+», от узла — «-» или наоборот.
Второе правило Кирхгофа гласит: алгебраическая сумма ЭДС в
любом замкнутом контуре цепи равна алгебраической сумме
напряжений вдоль того же контура, т.е.

6.

Первый закон Кирхгофа для узла а и второй — для последнего
контура, при обходе против часовой стрелки, запишутся
соответственно так:

7.

Баланс мощности в электрической цепи
в любой электрической системе (или цепи) должен соблюдаться закон
сохранения энергии. В приложении к электрическим цепям этот закон
интерпретируется балансом мощности, сущность которого заключается
в том, что сумма мощностей источников питания, участвующих в схеме,
равняется сумме мощностей приемников электроэнергии, т.е.

8.

Расчет цепей с одним источником питания
Цепь с последовательным соединением резисторов.
От идеализированного источника ЭДС Е (R0 = 0), на выходных зажимах которого
имеется напряжение U, т.е. когда Е = U, через последовательно соединенные
сопротивления R1, R2,..., Rn питается нагрузка (приемник) с сопротивлением RH
Задача. Чему равны сопротивление, напряжение и мощность цепи по рис. а, если I =
1 A, R1 = 1 Ом, R2 = 2 Ом, R3 = 3 Ом, Rн = 4 Ом?

9.

Цепь с параллельным соединением
резисторов.
От источника ЭДС Е, на выходных зажимах которого имеется напряжение
U, через параллельно соединенные сопротивления R1, R2, ..., Rn питается
нагрузка с сопротивлением Rн
Задача. В цепи на рис. а известны: U=110 В, R1=1 Ом, R2=2 Ом, R3=3 Ом, RH=4 Ом.
Определить Р , токи в ветвях

10.

Цепи со смешанным соединением резисторов.
Разветвленные схемы, где наряду с последовательными участками имеются
параллельные, относятся к схемам со смешанным соединением сопротивлений.
Они приводятся к схемам с одним эквивалентным сопротивлением путем
постепенного объединения сопротивлений цепи, начав с ее конца.
1. Применительно к схеме по рис., а такое объединение или свертка реализуется
в следующей последовательности.
А. Сначала объединяются ветви 3 и 2. Поскольку они
соединены параллельно, то
Б. Затем объединяются участки 3—2 и 1. Поскольку
они соединены последовательно, то
Полученное сопротивление R и будет общим для всей цепи по рис. 2.3, а. С учетом
этого определяют: токи

11.

Конденсаторы в цени постоянного тока
При установившемся режиме работы цени постоянного тока, когда по истечении
определенного времени после подключения ее к источнику питания в ней
устанавливаются неизменные токи, напряжения, ЭДС, конденсаторы, как
указывалось раньше, являются местами разрыва цепи, поэтому они не проводят
ток, т.е. I = 0. В такой ситуации конденсаторы находятся в заряженных состояниях и
являются
временными
накопителями
электроэнергии,
определяемой
выражением Э = 0,5CU2. Это свойство конденсаторов используется для
организации памяти в компьютерах, а также таймерах, часах, в электрических
фильтрах, искрогасителях в коммутационных аппаратах и др.
Между тем при использовании конденсаторов в цепях постоянного тока в
качестве электрических фильтров возникают чисто практические задачи.
Например,
когда
номинальные
значения
емкости
или
напряжения
конденсаторов, имеющихся в наличии, не совпадают с расчетными, их
соединяют в батареи, т.е. последовательно, параллельно, смешанно.
Рассмотрим их особенности.

12.

А. При последовательном соединении конденсаторов (рис. а), в соответствии со
вторым правилом Кирхгофа, общее напряжение на зажимах всей цепи равно сумме
напряжений на отдельных конденсаторах (элементах цепи), т.е.
Б. При параллельном соединении конденсаторов (рис. б) общий заряд q, накопленный
в конденсаторах, равен сумме зарядов на отдельных конденсаторах, т.е.
В. При смешанном соединении конденсаторов общая емкость
постепенным преобразованием схемы. Например, для цепи по рис. в:
С= ((С2+ С3)С1) /(C1+С2+С3).
находится

13.

Расчет цепей с несколькими источниками
ЭДС. Последовательная цепь.
Даны величины ЭДС и сопротивлений в схеме по рис. а. Требуется свернуть
схему в более простую, например по рис. б, которая эквивалентна исходной.

14.

Параллельная цепь.
Даны величины ЭДС и сопротивлений параллельной цепи по рис. а.
Требуется свернуть исходную схему в простейшую по рис. б.

15.

Задачи
Задача. В цепи по рис. а известны: Е1 = 12 В, Е2 = 8 В, R1 = 1 Ом, R2 = 2 0м, Rn =
Rн = 4 Ом. Определить токи в цепи.
Задача. В цепи но рис. б известны: Uu = 10 В, Gэ = 2 См, Gн = 10 См.
Определить Еэ и Рэ.

16.

Метод с непосредственным
применением законов Кирхгофа
Последовательность расчета этим методом:
1) произвольно задают направления токов в ветвях цепи;
2) произвольно задают направления обхода независимых контуров цепи;
3) по первому закону Кирхгофа составляется столько уравнений, сколько
узлов в схеме (n) без единицы, т.е. (n - 1);
4) по второму закону Кирхгофа составляется столько уравнений, сколько
искомых величин (t) за вычетом числа уравнений, составленных но первому
закону Кирхгофа, т.е. t -(n - 1);
5) совместное решение полученных уравнений дает ответ задачи. При этом
отрицательный ответ для какого-либо тока указывает на то, что его
направление обратно произвольно выбранному.

17.

Решенная задача. В цепи известны: Е1= 12 В, Еп = 8 В, R1 = 1 Ом, R2 = 2 Ом, Rn = 4 Ом.
Определить токи в цепи методом с непосредственным применением правил
Кирхгофа.
Решение
1. Произвольно выбираем направления токов (они указаны на рис.).
2. В цепи два независимых контура (они указаны на рис.). Произвольно
выбираем обход этих контуров (например, по ходу часовой стрелки).
3. В схеме два узла, поэтому по первому закону Кирхгофа составляем
одно уравнение, например, для верхнего узла

18.

4. В схеме три искомых тока, для которых уже составлено одно уравнение.
Поэтому по второму закону Кирхгофа составляем два уравнения для
независимых контуров:
5. Решим совместно полученные уравнения. Для этого перепишем их,
подставив в последних двух известные значения электрических величин:
Решив уравнения методом подстановки, получим:
Последнее означает, что 1п в схеме реально направлен вниз.
Правильность решения задачи проверяем по первому правилу Кирхгофа,
т.е. 6,3 - 2,9 - 3,4 = 0.
В общем случае, когда уравнений много, их решают совместно методами
определителей или матриц.

19.

Метод контурных токов
Метод основан на определении действительных (реальных) токов в цепи по так
называемым контурным токам, являющимся фиктивными (расчетными) и
считающимся замыкающимися по независимым контурам. Метод контурных токов,
по сравнению с предыдущим, позволяет сократить число совместно решаемых
уравнений до t-n, поскольку они составляются по второму правилу Кирхгофа лишь
для независимых контуров.
Последовательность расчета этим методом:
1) задают произвольно направления контурных токов в независимых контурах;
2) составляют уравнения по второму закону Кирхгофа для независимых контуров, по
которым замыкаются контурные токи;
3) совместным решением этих уравнений определяют контурные токи;
4) по контурным токам находят действительные токи. При этом:
а) контурные токи равны действительным в тех ветвях, где протекают лишь они
одни,
б) действительные токи равны алгебраическим суммам контурных токов в тех
ветвях, где протекают по несколько контурных токов.

20.

Решенная задача
В цени известны: Е1 = 12 В, Еп = 8 В, R1 = 1 Ом, R2 = 2 Ом, Rn = 4 Ом. Определить токи в
цепи методом контурных токов.
Решение
1. Задаемся произвольно направлениями контурных токов I1 и III в независимых
контурах I и II (они указаны в схеме, их направления — по ходу часовой стрелки).
2. Составляем уравнения по второму закону Кирхгофа для независимых контуров,
по которым замыкаются контурные токи I1 и III

21.

Решив совместно эти уравнения, получаем: II ~ 6,3 А и III ~ 3,4 А.
По контурным токам находим реальные токи:
Полученные значения токов совпадают с теми, что получены в предыдущей
задаче, т.е. она решена верно.

22.

Метод наложения
Этот метод основан на принципе наложения, который формулируется так: ток в
какой-либо ветви сколь угодно сложной схемы равен алгебраической сумме
токов, вызываемых в этой ветви каждым источником ЭДС в отдельности. Метод
наложения позволяет свести расчет разветвленной цепи с несколькими ЭДС к
расчетам нескольких цепей, в которых присутствуют по одной ЭДС.
Последовательность расчета этим методом такова:
1) исходную схему с несколькими ЭДС расчленяют на несколько частичных
схем, в которых присутствуют по одной ЭДС и все сопротивления, в том числе
внутренние удаленных ЭДС;
2) намечают направления частичных токов в полученных схемах так, как они
вызываются ЭДС, а не произвольно;
3) поочередно рассчитывают частичные токи в частичных схемах;
4) реальные токи находят путем алгебраического сложения (наложения)
частичных токов соответствующих ветвей.

23.

Решенная задача
В цепи даны: Е1 =12 В, Еп = 8 В, R1 = 1 Ом, R2 = 2 Ом, Rn = 4 Ом. Определить токи в
цепях методом наложения.

24.

Решение
1. Расчленяем схему по рис. а на две частичные схемы б и в, в которых
оставлены по ЭДС и все сопротивления исходной схемы, в том числе
внутренние сопротивления удаленных ЭДС.
2. Намечаем в частичных схемах направления частичных токов так, как они
вызываются ЭДС (указаны на рис. б и в).
3. Рассчитываем частичные токи схемы б: I′ I = Е1/ [R1 + R2Rn/(R2 +Rn )] = 12 / [1 + 2
•4 /(2 + 4)] =5,14 A; I′2 = I′ I Rn/(R2 + Rn) = 5,14 • 4/(2 + 4) ~ 3,4 A; I′ n=I′ I -I′ 2 = 5 - 3,4 =
1,6 А. Рассчитываем частичные токи схемы в: I″n = E2/[Rn + R1R2/(R1+R2)] = 8/[4+1•2
/(1+2)] = 1,7А; I″2 = I″ n R1/(R1+R2) = 1,7 •1/(2+1) = 0,6А; I″ 1=I″ n -I″2=1,7-0,6=1,1 А
4. Находим реальные токи путем наложения частичных токов схем: II = I′ I + I″ 1=
= 5,14+1,1 =6,14 А, I2 = I′2 - I″2 =3,4 -0,6 = 2,8А, I n = I′ n +I″ n = 1,6 + 1,7 =3,3 А. На рис.
а показаны пунктиром направления реальных токов.
Полученные значения токов I1,I2, In отличаются от аналогичных предыдущих: I1 на
0,06 А, что составляет 2,5%, I2 на 0,1 А (3,4%) In на 0,1 А (3%). При инженерных
расчетах ошибка может составлять до 10%. Поэтому будем считать, что задача
решена правильно.

25.

Метод узлового напряжения (метод двух узлов)
В цепи, имеющей два узла (или легко сводящейся к ней), токи в ветвях рационально
определять методом узлового напряжения или двух узлов, сущность которого заключается в
нахождении узлового напряжения и последующем определении искомых токов по закону
Ома. Метод узлового напряжения является частным случаем более универсального метода
— метода узловых потенциалов, который будет рассмотрен ниже.
Последовательность расчета токов методом двух узлов такова:
1) произвольно выбирают направление узлового напряжения. При этом целесо-образно его
выбирать противоположным большинству направлений ЭДС в ветвях;
2) намечают на схеме направления токов в ветвях по правилу: в пассивных ветвях — по
направлению узлового напряжения, в активных — произвольно;
3) определяют узловое напряжение
- алгебраическая сумма произведений ЭДС на проводимости k ветвей, где
включены источники ЭДС;
- арифметическая сумма проводимостей всех
параллельных ветвей m; Gн — проводимость нагрузки, параллельной остальным ветвям.
Узловое напряжение равно отношению алгебраической суммы произведений ЭДС
каждой ветви на их проводимости к общей проводимости всех ветвей схемы, найденной
путем арифметического сложения последних. При этом произведения ЭДС и
проводимостей берутся со знаком «+», если направления ЭДС и узлового напряжения не
совпадают, и со знаком «-» — если совпадают.
4) используя узловое напряжение Uy3, определяют искомые токи но закону Ома.

26.

Решенная задача
В цепи даны: Е1 =12 В, Еп = 8 В, R1 = 1 Ом, R2 = 2 Ом, Rn = 4 Ом. Определить токи в цени
методом наложения.
Решение
1. Выбираем направление узлового напряжения Uy3 = UH относительно схемы сверху
вниз.
2. Определяем узловое напряжение:
Если считать, что нагрузка отсутствует, тогда расчет сведется к предшествующим
настоящей задачам. В самом деле:
Из этого очевидно, что узловое напряжение Uy3 оказалось равным эквивалентной
ЭДС Еэ, о чем говорилось выше.