Элементарные преобразования строк матрицы

1.14M

Category: $mathematics$ mathematics

Высшая математика. § 5. Решение СЛУ по формулам Крамера

1. Высшая математика 1 семестр Лекция 2

ЗТЭ-221, ЗЭМ-221
Л.В. Бельгарт
1

2. § 5. Решение СЛУ по формулам Крамера

Рассмотрим систему n линейных уравнений
с n неизвестными
a11 x1 a12 x2
a x a x
21 1 22 2
an1 x1 an 2 x2
2
a1n xn b1
a2 n xn b2
an n xn bn
3

3. Теорема

Если определитель основной матрицы
системы (3) отличен от нуля, то система (3)
является определённой. Решение находится по
формулам Крамера
1
2
x1 , x2
,
3
n
, xn .
где k – получается из определителя основной
матрицы системы (3) заменой k-го столбца
столбцом свободных членов.

4. Пример 3

Решить СЛУ по формулам Крамера
2 x1 5 x2 3x3 4
3x1 4 x2 2 x3 0
4x
5 x3 3
1
4

5. Пример 3

2 x1 5 x2 3x3 4
3x1 4 x2 2 x3 0
4x
5 x3 3
1
2 5 3
3 4 2 40 40 0 48 75 0 43
4 0 5
5

6. Пример 3

2 x1 5 x2 3x3 4
3x1 4 x2 2 x3 0
4x
5 x3 3
1
2 5 3
3 4 2 40 40 0 48 75 0 43
4 0 5
4 5 3
1 0 4 2 80 30 0 36 0 0 86
3 0 5
6

7. Пример 3

2 x1 5 x2 3x3 4
3x1 4 x2 2 x3 0
4x
5 x3 3
1
2 5 3
3 4 2 40 40 0 48 75 0 43
4 0 5
2 4 3
2 3 0 2 0 32 27 0 12 60 43
4 3 5
7

8. Пример 3

2 x1 5 x2 3x3 4
3x1 4 x2 2 x3 0
4x
5 x3 3
1
2 5 3
3 4 2 40 40 0 48 75 0 43
4 0 5
2 5 4
3 3 4 0 24 0 0 64 45 43
4 0 3
8

9. Пример 3

1 86
x1
2
43
2 43
x2
1
43
3 43
x3
1
43
9
2 x1 5 x2 3x3 4
3x1 4 x2 2 x3 0
4x
5 x3 3
1

10. Пример 3

2 x1 5 x2 3x3 4
3x1 4 x2 2 x3 0
4x
5 x3 3
1
x1 2, x2 1, x3 1
Проверка: 1) 4 5 3 4
верное
2) 6 4 2 0
3) 8 5 3
Ответ: x1 2, x2 1, x3 1
10

11. § 6. Решение СЛУ методом Гаусса

12. Элементарные преобразования строк матрицы

перестановка местами строк;
умножение всех элементов строки на одно
и то же число, отличное от нуля;
прибавление элементов какой-либо строки
к соответствующим элементам другой
строки, умноженных на одно и то же число;
вычёркивание нулевой строки или одной
из двух пропорциональных или одной из
двух равных.

13. Определение

Две матрицы A и B называются
эквивалентными, если одна из них
получается из другой с помощью
элементарных преобразований.
Обозначения: A B.

14. Замечание 1

Элементарные
преобразования
меняют ранга матрицы
не

15. Пример из § 4

Найти ранг матрицы с помощью
элементарных преобразований
1 2 3
3) C 5 4 7
4 2 4

16. Пример из § 4

1 2 3
3) C 5 4 7
4 2 4

17. Пример из § 4

1 2 3 5
3) C 5 4 7
4 2 4
1
2
3

18. Пример из § 4

1 2 3 5
3) C 5 4 7
4 2 4
1 2 3
0 6 8

19. Пример из § 4

1 2 3 5 4 1 2 3
0 6 8
3) C 5 4 7
4 2 4

20. Пример из § 4

1 2 3 5 4
3) C 5 4 7
4 2 4
1 2 3
0 6 8
0 6 8

21. Пример из § 4

1 2 3 5 4
3) C 5 4 7
4 2 4
1 2 3
0 6 8
1 2 3
0 6 8
0 6 8

22. Пример из § 4

1 2 3 5 4
3) C 5 4 7
4 2 4
1 2 3
0 6 8
0 6 8
1 2 3
0 6 8 ; 2 6 0

23. Пример из § 4

1 2 3 5 4
3) C 5 4 7
4 2 4
1 2 3
0 6 8
0 6 8
1 2 3
0 6 8 ; 2 6 0; r C 2.

24. Пример

r D ?

25. Пример

r D ?
2 1
4 3
D
2 1
6 2
5
6
4
10
3
5
6
11
4
9
9
18

26. Пример

r D ?
2 1
4 3
D
2 1
6 2
5
6
4
10
3
5
6
11
4 2 1 3
9
9
18

27. Пример

r D ?
2 1
4 3
D
2 1
6 2
5
6
4
10
3
5
6
11
4
9
9
18
2 1 5 3
0 1 4 1
0 2 1 3
0 1 5 2
4
1
5
6

28. Пример

2 1 5 3
0 1 4 1
0 2 1 3
0 1 5 2
4
1
5
6
2 1 5 3
0 1 4 1
0 0 9 1
0 0 9 1
4
1
7
7

29. Пример

2 1 5 3
0 1 4 1
0 0 9 1
0 0 9 1
4
1
7
7
2 1 5 3
0 1 4 1
0 0 9 1
0 0 0 0
4
1
7
0

30. Пример

2 1 5 3
0 1 4 1
0 0 9 1
0 0 0 0
4
1
7
0
r D 3

31.

2
Метод Гаусса наиболее универсальный
метод
решения
СЛУ,
состоит
в
последовательном исключении переменных
и происходит в два этапа.
Пусть дана система (2) § 4.

32. § 4. Системы линейных уравнений (СЛУ)

Рассмотрим систему, содержащую m
линейных уравнений с n неизвестными
a11 x1 a12 x2
a x a x
21 1 22 2
am1 x1 am 2 x2
a1n xn b1
a2 n xn b2
am n xn bn
2

33.

2
Пусть дана система (2) § 4.
На первом этапе (прямой ход) система
приводится к ступенчатому виду
(треугольному или к виду трапеции)

34.

2
a11 x1 a12 x2 a1r xr
a22 x2 a2 r xr
arr xr
r n, aii 0, i 1, 2,
a1n xn b1
a2 n xn b2
arn xn br
, r.

35.

2
Переменные
x1 , x2 ,
, xr
базисными,
остальные переменные xr 1 ,
называются свободными.
называются
, xn

36.

2
На втором этапе (обратный ход) идёт
последовательное определение
переменных из ступенчатой системы.

37. Замечание 2

На практике удобно работать не с
системой (2) § 4, а с расширенной матрицей
системы, выполняя над её строками
элементарные преобразования.

38. Замечание 3

Возможны три случая. Рассмотрим их на
схемах системы 3-х уравнений с тремя
неизвестными.

39. Замечание 3

Возможны три случая. Рассмотрим их на
схемах системы 3-х уравнений с тремя
неизвестными.
После элементарных преобразований:

40. Замечание 3

0
0 0
Треугольная
r A r A 3
Совместная
n r 3
Определённая
Система имеет
ед-ое решение
0
0 0 0 0
Вид трапеции
r A r A 2
0
0 0 0
Вид трапеции
r A 2,
Совместная
r A 3
n 3 r Неопр. Несовместная
Беск. много реш. Система
n r 3 2 1
не имеет
Одна своб. перем решений

41. Пример

Решить методом Гаусса СЛУ
2 x1 x2 3x3 5 x4 1
x x 5x 2
1 2
3
3x1 2 x2 2 x3 5 x4 3
4 x1 3x2 7 x3 5 x4 5

42. Пример

Решить методом Гаусса СЛУ
2 x1 x2 3x3 5 x4 1
x x 5x 2
1 2
3
3x1 2 x2 2 x3 5 x4 3
4 x1 3x2 7 x3 5 x4 5
2
1
3
4
1 3 5
1 5 0
2 2 5
3 7 5
1
2
3
5

43. Прямой ход метода Гаусса

2
1
3
4
1 3 5
1 5 0
2 2 5
3 7 5
1
2
3
5
1
2
3
4
1 5 0
1 3 5
2 2 5
3 7 5
1
2
3
5

44. Прямой ход метода Гаусса

1
2
3
4
1 5 0
1 3 5
2 2 5
3 7 5
2
1
3
5
1 1 5 0
0 1 13 5
0 1 13 5
0 1 13 5
2
3
3
3

45. Прямой ход метода Гаусса

1 1 5 0
0 1 13 5
0 1 13 5
0 1 13 5
2
3
3
3
1 1 5 0
0 1 13 5
0 0 0 0
0 0 0 0
2
3
0
0

46. Пример

1 1 5 0
0 1 13 5
0 0 0 0
0 0 0 0
2
r A r A 2
3
Система совместна
0
n 4, n r
0
Система неопределённая
n r 4 2 2 (две свободные переменные)

47. Обратный ход метода Гаусса

1 1 5 0
0 1 13 5
0 0 0 0
0 0 0 0
2
3
0
0
x3 R, x4 R
x2 13x3 5 x4 3 x2 3 13x3 5 x4

48. Обратный ход метода Гаусса

2
1 1 5 0
0 1 13 5 3
0
0 0 0 0
0
0
0
0
0
x3 R, x4 R
x2 13x3 5 x4 3 x2 3 13x3 5 x4
x1 x2 5 x3 2 x1 2 x2 5 x3

49. Обратный ход метода Гаусса

2
1 1 5 0
0 1 13 5 3
0
0 0 0 0
0
0
0
0
0
x3 R, x4 R
x2 13x3 5 x4 3 x2 3 13x3 5 x4
x1 x2 5 x3 2 x1 2 x2 5 x3
x1 2 3 13x3 5 x4 5 x3 1 8 x3 5 x4

50. Проверка

x1 1 8 x3 5 x4
x2 3 13x3 5 x4
x3 R, x4 R
Для проверки найдём одно частное решение.
Пусть x3 1, x4 1 , тогда x1 2, x2 5.

51. Проверка

2 x1 x2 3x3 5 x4 1
x x 5x 2
1 2
3
Проверка 3x1 2 x2 2 x3 5 x4 3
4 x1 3x2 7 x3 5 x4 5
Для проверки найдём одно частное решение.
Пусть x3 1, x4 1 , тогда x1 2, x2 5.
верное
1) 4 5 3 5 1
2) 2 5 5 2
3) 6 10 2 5 3
4) 8 15 7 5 5

52. Ответ

x1 1 8 x3 5 x4
x 3 13x 5 x
2
3
4
x3 R
x4 R

53. § 7. Линейные операции над матрицами

1
A B. Складывать можно матрицы только
одинакового размера.
Опр. Суммой двух матриц Am n ai j и Bm n bi j
называется матрица Cm n ci j такая,
что c a b
i 1, m, j 1, n .
ij
53
ij
ij

54. Пример

1
Пример
2 3 2 4 2 1
4 5 1 3 2 0
54

55. Пример

1
Пример
2 3 2 4 2 1 6
4 5 1 3 2 0
55
.

56. Пример

1
Пример
2 3 2 4 2 1 6 5
4 5 1 3 2 0
56
.

57. Пример

1
Пример
2 3 2 4 2 1 6 5 1
4 5 1 3 2 0
.
57

58. Пример

1
Пример
2 3 2 4 2 1 6 5 1
4 5 1 3 2 0 1
.
58

59. Пример

1
Пример
2 3 2 4 2 1 6 5 1
4 5 1 3 2 0 1 7
.
59

60. Пример

1
Пример
2 3 2 4 2 1 6 5 1
4 5 1 3 2 0 1 7 1 .
60

61. § 7. Линейные операции над матрицами

2 k A.
Опр.
61
Произведением матрицы Am n ai j
на число k называется матрица Bm n bi j
такая, что bi j k ai j i 1, m, j 1, n .

62. Пример

2
62
3
5
2 A 2 2 1
7 4

63. Пример

2
63
3 10
5
2 A 2 2 1
7 4

64. Пример

2
64
3 10
5
2 A 2 2 1
7 4
6

65. Пример

2
65
3 10
5
2 A 2 2 1 4
7 4
6

66. Пример

2
66
3 10
5
2 A 2 2 1 4
7 4
6
2

67. Пример

2
67
3 10
5
2 A 2 2 1 4
7 4 14
6
2

68. Пример

2
68
3 10 6
5
2 A 2 2 1 4 2
7 4 14 8

69. § 7. Линейные операции над матрицами

3
69
Опр.
Матрица A называется
противоположной матрице A.

70. Свойства линейных операций

3
Свойства линейных операций
1 . A B B A
70

71. Свойства линейных операций

3
Свойства линейных операций
1 . A B B A коммутативность,
71

72. Свойства линейных операций

3
Свойства линейных операций
1 . A B B A коммутативность,
2 . A B C A B C ассоциативность,
72

73. Свойства линейных операций

3
Свойства линейных операций
1 . A B B A коммутативность,
2 . A B C A B C ассоциативность,
3 . A O A
73

74. Свойства линейных операций

3
Свойства линейных операций
1 . A B B A коммутативность,
2 . A B C A B C ассоциативность,
3 . A O A
4 . A A O
74

75. Свойства линейных операций

3
Свойства линейных операций
1 . A B B A коммутативность,
2 . A B C A B C ассоциативность,
3 . A O A
4 . A A O
5 . k A B k A k B дистрибутивность
относительно суммы матриц,
75

76. Свойства линейных операций

3
Свойства линейных операций
1 . A B B A коммутативность,
2 . A B C A B C ассоциативность,
3 . A O A
4 . A A O
5 . k A B k A k B дистрибутивность
относительно суммы матриц,
6 . k1 k2 A k1 A k2 A дистрибутивность
относительно суммы чисел
76

77. Свойства линейных операций

3
Свойства линейных операций
7 . k1 k2 A k1k2 A ассоциативность
относительно умножения чисел
T
T
T
8 . A B A B
77

78. § 8. Произведение матриц

79. § 8. Произведение матриц

Операция умножения двух матриц вводится
только для случая,

80. § 8. Произведение матриц

Операция умножения двух матриц вводится
только для случая, когда число столбцов
первой матрицы совпадает с числом строк
второй матрицы.

81. Определение

Произведением матрицы Am p ai k на
матрицу B p n bk j называется матрица
Cm n ci j такая, что
p
ci j ai k bk j i 1, m, j 1, n
k 1
т.е. элемент i -ой строки и j -го столбца
матрицы C равен сумме произведений
элементов i -ой строки первой матрицы A и
соответствующих элементов j -го столбца
второй матрицы B .

82. Пример

Найти произведение матриц AB и BA,
где
2 5
1 3 2
1
A
,
B
2
2
5
3
1 4

105. Спасибо за внимание

10
5

English Русский Rules