3.28M

Category: $mathematics$ mathematics

Определение комплексного числа. Формы записи комплексных чисел. Тема 1

1.

Государственное бюджетное профессиональное
образовательное учреждение города Москвы
«Московский колледж архитектуры и градостроительства»
Тема 1:
Определение комплексного числа.
Формы записи комплексных чисел.
Геометрическое изображение комплексных чисел.
Москва 2021 г.

2.

Историческая справка
Понятие комплексного числа возникло из практики и теории решения
алгебраических уравнений.
Вплоть до ХVI века математики всего мира комплексные корни,
возникавшие при решении квадратных уравнений, объявляли ложными и
не принимали их во внимание.
Смысл комплексных чисел
разъяснил
итальянский
математик
Рафаэль Бомбелли (1526-1572). В своей книге «Алгебра» (1572 г.) он
впервые изложил правила действий над комплексными числами в
современной форме.
Вместе с тем, вплоть до XVIII века, комплексные числа считались
«воображаемыми» и бесполезными.
Лишь в XVIII веке многие задачи математического анализа, геометрии,
механики требовали широкого применения операций над комплексными
числами, что создало условия для разработки их геометрического
истолкования.

3.

Большой вклад в исследование комплексных чисел
внесли немецкие математики: Леонард Эйлер (1707-1783),
который ввёл обозначение i для мнимой единицы ,
а также Карл Фридрих Гаусс (1777 -1855), который в
1831 году ввёл в науку термин «комплексное число».
Л. Эйлер
К. Гаусс

4.

5.

Геометрическая интерпретация
комплексного числа XVIII-XIX вв.
В начале XIX века К. Гаусс разработал геометрическую
интерпретацию, позволившую уяснить геометрический смысл
операций над комплексными числами.
Im z – (мнимая ось)
С
(комплексная плоскость)
М(a, b)
b
0
z = a + bi
a
Re z
(действительная ось)
К. Гаусс
(1777 -1855)

6.

Два комплексных числа: z1 = a1 + b1 i и z2 = a2 + b2 i
называются равными (z1 = z2 ) тогда и только тогда, когда
равны их действительные части и равны их мнимые части:
a1 = a2 и
b1 = b2 .
В частности, комплексное число z = a + b i = 0 равно нулю
тогда и только тогда, когда a = b = 0.
Понятие «больше» и «меньше» для комплексных чисел
не вводится!!!

7.

8.

Модуль комплексного числа
• Модулем комплексного числа z = a + bi
называется длина вектора | z |:
Im z (мнимая ось)
С
М (a, b)
zz
||
b
0
a
Re z
(действительная ось)
a 2 b2

9.

Пример-1: Найти модуль комплексного числа:
z
|z|
a 2 b2
z1 2 i
z1
2 2 1
z 2 2 6 5i
z2
2 6 5 24 25 49 7
z3 i
z3
0 2 12
z 4 4
z4
4 2 0 2
2
2
4 1
2
1 1
16 4
5

10.

Аргумент комплексного числа
• Аргументом комплексного числа называется угол ,
который образует вектор OM с положительным
направлением оси абсцисс: = arg z
Im z
М (a, b)
b
О
a
Re z

11.

Аргумент определяется неоднозначно:
z 1 i
у
у
1
1
1
0
1
1
4
х
у
1
2
0
1
2 2
4
3
х
0
9
4
3
1
4
х
2
7
4
Любые два аргумента комплексного числа отличаются друг
от друга слагаемым, кратным 2π.
Для нашего примера: 2 k , k Z
k
4

12.

Пример -2: Найти аргументы комплексного числа:
z2 1
z1 i
Im z
arg z1
3
2 k , k Z
2
arg z2 0 2 k , k Z
Im z
0
Re z
-1
z3 1
Im z
-1
0
tan
tg
0
Re z
3
1
Re z
3 i
3
1
3
3
arg z3
3
4
3
4
2 k , k Z
3

13.

Пример – 3: Найти модуль и аргумент комплексного числа:
3 i17
i18
z
Решение:
z
3 i17
i18
z
3 1 3 1 4 2
3 i
3 i
1
2
b
1
tan
tg
a
3
Im z
1
2
3
0
6
5
6
6
arg z
5
2 k , k Z
6
Re z

14.

Для комплексных чисел существует
несколько форм записи:
- алгебраическая форма записи;
- тригонометрическая форма записи;
- показательная форма записи

15.

1). Алгебраическая форма записи
комплексного числа
2). Тригонометрическая форма записи
комплексного числа

16.

17.

Пример - 4: Изобразить на комплексной плоскости
следующие числа:
Im z
z1 3 2 i
z 2 z1
2
z 3 z1
z 4 Re z1
-3
z5
z4
0
3
Re z
z 5 Im z1
-2
Два комплексных числа, отличающиеся только знаком мнимой части,
называются комплексно сопряженными:
z a i b, и z a i b,

18.

19.

Пример – 5: Записать в тригонометрической форме
число:
z 2 2 3 i
z a bi r (cos i sin )
Решение:
r z
Im z
2 3
-2
2 2 2 3
2
4 12
16 4
a
2
1
2
r
4
2
3
b
2 3
3
sin
r
4
2
5
2
Re z
63
63
cos
0
Ответ:
2
2
z 2 2 3 i 4 cos
i sin
3
3

20.

21.

22.

23.

Пример-6: Записать в алгебраической форме число :
z 2
cos
i
sin
6
6
Решение:
z 2
cos
i
sin
2
cos
i
sin
6
6
6
6
3
1
2
i
3 i
2
2
Ответ:
z=

24.

Пример- 7: Записать в алгебраической форме число:
25
25
z 2 cos
i sin
3
3
Решение:
25
24
8
2 4
3
3
3
3
3
z 2
cos
2
4
i
sin
2
4
2
cos
i
sin
3
3
3
3
1
3
1 i 3
2
i
2
2
Ответ:
z=

25.

Действия над комплексными числами,
изображённых векторами
Сложение и вычитание комплексных
чисел, изображённых векторами
производится по правилу сложения или
вычитания векторов:
Im z
С
z1
z2
0
Re z

26.

Действия над
комплексными числами
в алгебраической форме

27.

28.

29.

30.

31.

32.

Действия над
комплексными числами
в тригонометрической форме

33.

Действия над комплексными числами
в тригонометрической форме
1. Умножение комплексных чисел:
• Пусть
z1 r1 cos 1 i sin 1
z2 r2 cos 2 i sin 2
z1z 2 r1r2 cos 1 i sin 1 cos 2 i sin 2
r1r2 cos 1 cos 2 i sin 1 cos 2 i sin 2 cos 1 i 2 sin 1 sin 2
r1r2 cos 1 cos 2 sin 1 sin 2 i sin 1 cos 2 cos 1 sin 2
r1r2 cos 1 2 i sin 1 2
z1z2 r1r2 cos 1 2 i sin 1 2

34.

Пример-8: Найти произведение комплексных чисел:
z1
7
cos 950 i sin 950
2
u
z 2 2 cos 650 i sin 650
Решение:
7
2 cos 950 650 i sin 950 650
2
7 cos 950 650 i sin 950 650 7 cos 300 i sin 300
z1 z 2
3 1 7 3 7
7
2 2 i 2 2 i
Ответ:
z=

35.

2. Деление комплексных чисел:
z1
r cos 1 i sin 1
r cos 1 i sin 1 cos 2 i sin 2
1
1
z2
r2 cos 2 i sin 2
r2 cos 2 i sin 2 cos 2 i sin 2
r1 cos 1 cos 2 i sin 1 cos 2 i sin 2 cos 1 i 2 sin 1 sin 2
r2
cos 2 2 i sin 2 2
r1 cos 1 cos 2 sin 1 sin 2 i sin 1 cos 2 cos 1 sin 2
r2
cos 2 2 sin 2 2
r1
cos 1 2 i sin 1 2
r2
z1
r
1 cos 1 2 i sin 1 2
z2
r2

36.

Пример-9:
z1
Найти частное двух комплексных чисел:
2
cos 150 0 i sin 150 0
3
u
z 2 2 cos 90 0 i sin 90 0
Решение:
z1
2 1 cos 1500 i sin 1500 1
cos 1500 900 i sin 1500 900
0
0
z2
3 2 cos 90 i sin 90
3
1
1 1
3 1
3
cos 600 i sin 600
i
i
6
3
3
2
2
6
Ответ:
z=

37.

3. Возведение в степень:
• Пусть
z r cos i sin
z n r n cos n i sin n
- формула Муавра
Пример-10: Возвести в четвёртую степень комплексное
число:
z 2 cos i sin
3
3
Решение:
4
4
z 4 2 4 cos 4 i sin
4 16 cos
i sin
3
3
3
3
Ответ:
z=

38.

Пример-11:
Возвести в степень комплексное число
записать результат в алгебраической форме:
z
2 i
2 i
18
2
Решение:
1). Пусть: z1 2i
z2 2 i
2
2). Запишем каждое из чисел в тригонометрической форме:
и

39.

z1 2i
r z
Im z
2
02 22 2
2
z 2i 2 cos i sin
2
2
Re z
0
z2 2 i
r z
2
Im z
2
2
0
Re z
2 2 2 2 2
2
2
3
4
z 2 i
3
3
2 2 cos
i sin
4
4

40.

3). Разделим одно число на другое в тригонометрической форме:
2 cos i sin
z1
2i
3
3
2
2
cos
i sin
3
3
z2
2
4
2
4
2 i 2
2 cos
i sin
4
4
cos i sin
4
4
z
4). А теперь возведём в степень:
cos
i
sin
4
4
9
9
cos
i sin
2
2
18
2 i
2 i
18
2
cos 18 i sin 18
4
4

41.

5). Теперь можно результат записать в алгебраической форме:
9
9
9
9
z cos
i
sin
cos
i
sin
2
2
2
2
9
8
4
2 2
2
2
2
2
2
cos 2 2 i sin 2 2 cos i sin
2
2
2
2
0 i

42.

4. Извлечение корня:
• Пусть
z r cos i sin
Корнем n-ой степени из числа z (n∈ N, n≥2) называется
такое комплексное число u, для которого справедливо
равенство: u n z
Корень n-ой степени из комплексного числа z имеет
ровно n значений, которые находятся по формуле:
n
2 k
2 k
z n r (cos i sin ) n r cos
i sin
, k 0,1,2,..., n 1
n
n

43.

Пример-12: Найти все значения корня шестой степени
из единицы: 6 1
Решение:
z 1
1). Пусть
2). Запишем данное число в тригонометрической форме:
r z
Im z
12 02 1
0
Re z
0
1
z 1 cos 0 i sin 0

44.

n
2 k
2 k
z n r (cos i sin ) n r cos
i sin
, k 0,1,2,..., n 1
n
n
6
1 6 cos 0 i sin 0 cos
0 2 k
0 2 k
k
k
i sin
cos
i sin
6
6
3
3
Ответ:
k 0:
k 0,1,2,3,4,5
u0 cos 0 i sin 0 1
1
3
k 1 : u1 cos
i sin
i
3
3
2
2
2
2
1
3
k 2 : u 2 cos
i sin
i
3
3
2
2
k 3 : u3 cos i sin 1
k 4:
k 5:
4
4
1
3
u 4 cos
i sin
i
3
3
2
2
5
5
1
3
u5 cos
i sin
i
3
3
2
2
Im z
u2
u3
u1
u0
Re z
u4
u5

45.

Пример-13: Решить уравнение:
z5 1 i
3 0
Решение: 1).
2). Пусть:
z 1 i
3
3). Запишем данное число в тригонометрической форме:
r z
Im z
3 3 1 2
2
z 1 i 3 2 cos
i sin
3
3
3
n
b
0
12
а
Re z
1
a
1
r
2
3
b
3
sin
r
2
cos
2 k
2 k
z n r (cos i sin ) n r cos
i sin
, k 0,1,2,..., n 1
n
n
2 k
2 k
5
1 i 3 5 2 cos i sin 5 2 cos 3
i sin 3
3
3
5
5
2 k
2 k
5 2 cos
i sin
, k 0,1,2,3,4
15
5
15
5