Свойства логических операций. Законы алгебры логики

1.

2.

1. Переместительный закон
2. Сочетательный закон
3. Распределительный закон
4. Закон двойного отрицания
5. Закон исключенного третьего
6. Закон повторения
7. Законы операций с 0 и 1
8. Законы общей инверсии (законы де Моргана)

3.

• Для логического умножения:
A&B=B&A
• Для логического сложения:
AvB=BvA

4.

• Для логического умножения:
(A & B) & C = A & (B & C)
• Для логического сложения:
(A v B) v C = A v (B v C)
Вывод: при одинаковых знаках операций скобки
можно ставить произвольно или вообще опускать.

5.

• Для логического умножения:
A & (B v C) = (A & B) v (A & C)
• Для логического сложения:
A v (B & C) = (A v B) & (A v C)

6.

Докажем распределительный закон для логического умножения.
Для этого построим таблицу истинности:
A B C B v C A & (B v C) A & B A & C (A & B) v (A & C)
0
0
0
0
0
1
0
1
0
0
1
1
1
0
0
1
0
1
1
1
0
1
1
1

7.

Заполним столбец B v C. Для этого выполним дизъюнкцию
(сложение) значений столбцов B и С:
A B C B v C A & (B v C) A & B A & C (A & B) v (A & C)
0
0
0
0
0
0
1
1
0
1
0
1
0
1
1
1
1
0
0
0
1
0
1
1
1
1
0
1
1
1
1
1

8.

Теперь заполним столбец A & (B v C). Для этого выполним
конъюнкцию (умножение) значений столбцов A и (B v С):
A B C B v C A & (B v C) A & B A & C (A & B) v (A & C)
0
0
0
0
0
0
0
1
1
0
0
1
0
1
0
0
1
1
1
0
1
0
0
0
0
1
0
1
1
1
1
1
0
1
1
1
1
1
1
1

9.

Таблица истинности для левой части равенства построена. Теперь построим
таблицу истинности для правой части и сравним значения.
A B C B v C A & (B v C) A & B A & C (A & B) v (A & C)
0
0
0
0
0
0
0
1
1
0
0
1
0
1
0
0
1
1
1
0
1
0
0
0
0
1
0
1
1
1
1
1
0
1
1
1
1
1
1
1

10.

Вычислим значения столбца A & B. Для этого выполним конъюнкцию
(умножение) значений столбцов A и B.
A B C B v C A & (B v C) A & B A & C (A & B) v (A & C)
0
0
0
0
0
0
0
0
1
1
0
0
0
1
0
1
0
0
0
1
1
1
0
0
1
0
0
0
0
0
1
0
1
1
1
0
1
1
0
1
1
1
1
1
1
1
1
1

11.

Вычислим значения столбца A & C. Для этого выполним конъюнкцию
(умножение) значений столбцов A и C.
A B C B v C A & (B v C) A & B A & C (A & B) v (A & C)
0
0
0
0
0
0
0
0
0
1
1
0
0
0
0
1
0
1
0
0
0
0
1
1
1
0
0
0
1
0
0
0
0
0
0
1
0
1
1
1
0
1
1
1
0
1
1
1
0
1
1
1
1
1
1
1

12.

Вычислим значения столбца (A & B) v (A & C). Для этого выполним
дизъюнкцию (сложение) значений столбцов A & B и A & C.
A B C B v C A & (B v C) A & B A & C (A & B) v (A & C)
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
1
1
0
0
0
0
0
1
0
1
0
0
0
0
0
1
1
1
0
0
0
0
1
0
0
0
0
0
0
0
1
0
1
1
1
0
1
1
1
1
0
1
1
1
0
1
1
1
1
1
1
1
1
1

13.

Таблица истинности для правой части равенства построена.
A B C B v C A & (B v C) A & B A & C (A & B) v (A & C)
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
1
1
0
0
0
0
0
1
0
1
0
0
0
0
0
1
1
1
0
0
0
0
1
0
0
0
0
0
0
0
1
0
1
1
1
0
1
1
1
1
0
1
1
1
0
1
1
1
1
1
1
1
1
1

14.

Сравним значения. Значения одинаковы, значит выражение
A & (B v C) = (A & B) v (A & C)
справедливо. Что и требовалось доказать.
A & (B v C)
(A & B) v (A & C)
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
1
1
1
1
1
1

15.

ഥ