Способи перетворення проекцій (лекція 4)

1. Лекція 4 Тема 1.4. Способи перетворення проекцій

План викладу матеріалу
20. Спосіб заміни площин проекцій.
21. Спосіб обертання. Обертання навколо проекціювальної прямої.
22. Спосіб плоскопаралельного руху.
23. Спосіб обертання навколо прямої рівня.
24. Обертання площини навколо її сліду (суміщення). Косокутне
допоміжне проекціювання

2. 20. Спосіб заміни площин проекцій

Сутність способу полягає у тому, що положення у просторі точок,
прямих і фігур залишається незмінним, а замість існуючої площини
проекцій вибирають нову площину так, щоб проекціюванням на неї можна
було б визначити дійсну величину певних геометричних образів чи
розв’язати задачу.
Таким чином, при цьому способі уводяться додаткові площини
проекцій.
П2
П2
A2
A2
B2
B2 A4
A4
П4
A
X12
B
X12
B4
B4 ПП4 4
A1
A1
П1
B1
X14
П1
B1
X14

3. Приклад

B4
Побудувати
дійсну
величину
фронтально-проекціювальної
площини, яка задана трикутником
АВС:
Х14 || А2В2С2
А2А4; В2В4; С2С4 Х14
C4
X
A4
~
X24
C2
B2
A2
X12
~
A1
X
C1
A2
Для
визначення
дійсної
величини площини загального
положення недостатньо заміни
тільки одної площини проекцій. У
цьому випадку виникає потреба
на одному й тому ж кресленику
замінити
новими
площинами,
площини – П1 і П2.
B2
X12
12 H2
~
B1
B1
C2
^
»
»
C4
C1
//
C5
H1
B5
//
~B
11
4
A5
#
#
^
A1
X14
A4
X45

4. Алгоритм розв’язання:

у даній площині АВС будуємо горизонталь Н (так як, нам
необхідно щоб задана площина стала проекціювальною, то в
цьому випадку нова площина повинна бути перпендикулярною
до площини трикутника АВС);
перпендикулярно до горизонтальної проекції горизонталі
побудуємо нову вісь проекцій Х14;
на площині П4 висоту точок А, В, С знайдено за фронтальною
проекцією. На площину П4 трикутник спроекціюється в лінію
А4В4С4;
паралельно проекції А4В4С4 трикутника АВС розташуємо нову
площину проекцій П5 (на кресленику вісь Х45 проведено
паралельно проекції А4В4С4 трикутника АВС);
далі побудови здійснюємо так як у попередньому випадку.
Відстань від осі Х45 до вершин трикутника А5В5С5 на площині П5
дорівнює відстані від точок А1В1С1 до осі Х14. Отримані точки
з’єднуємо, що дасть шукану дійсну величину трикутника АВС.

5. Можливі випадки застосування способу заміни площин проекцій при розв’язанні задач:

визначення дійсної величини відрізка загального положення –
необхідно нову площину проекцій розташувати паралельно заданому
відрізка (перетворити відрізок із загального положення в окреме
положення – пряму рівня);
перетворити відрізок загального положення у проекціювальне – для
цього необхідно спочатку зробити його прямою рівня (визначити
дійсну величину), а потім побудувати його проекцію у вигляді точки,
інакше, здійснити подвійну заміну площин проекцій;
площину загального положення перетворити у проекціювальну – для
цього необхідно нову площину проекцій вибрати перпендикулярно до
ліній рівня заданої площини (горизонталі чи фронталі). Отримав на
новій площині проекцій проекцію площини у вигляді лінії, можна
визначити кути нахилу даної площини до площин проекцій;
визначити дійсну величину фігури загального положення – для цього
необхідно здійснити послідовно заміну площин проекцій П1 і П2. При
першій заміні задану площину перетворюємо у проекціювальну, а
наступною – на площину рівня.

6. 21. Спосіб обертання. Обертання навколо проекціювальної прямої

Теорія способу обертання – полягає у тому, що задана
система площин проекцій залишається незміною, а фігура
обертається навколо нерухомої осі до тих пір, доки вона не займе
окреме положення.
B2
I2
A2’
A2
R
O2
X12
O2 I2
X12
O1 I1
R
A1’
B2’
O1
B1’
B1
A1
I1

7. Основні елементи обертання:

об’єкт обертання – точка А чи будь-яка фігура;
вісь обертання – пряма, навколо якої обертається точка
А чи фігура (вісь може бути задана чи обрана);
площина обертання – площина, в якій переміщується
точка; ця площина завжди перпендикулярна до осі
обертання;
центр обертання – точка перетину осі обертання з
площиною обертання (точка О);
радіус обертання – відстань від точки до центра
обертання (завжди визначається дійсна величина
радіуса обертання).

8. Висновок:

при обертанні відрізка навколо горизонтально-проекціювальної прямої
відстань між горизонтальними проекціями точок, які визначають
відрізок, залишається незмінною, інакше – не змінюється величина
горизонтальної проекції відрізка.
при обертанні відрізка навколо фронтально-проекціювальної прямої не
змінюється величина фронтальної проекції.
C2 D2
Обертання,
як
спосіб
перетворення
кресленика
може бути використаний і для X12 C2 D2
визначення дійсної величини
C1
плоскої фігури.
А2 В2 I2
O2 А1
C1
В1
D1
D1
I1
O

9. Алгоритм розв’язання:

спочатку вибираємо вісь обертання – перпендикулярну до
фронтальної площини проекцій, яка проходить через пряму АВ.
Таким чином, при обертанні пряма АВ буде залишатись на
місці, а точки С і D, переміщуються в площинах,
перпендикулярних до АВ. Точки займуть нове положення С2' і
D2'. При цьому плоска фігура АВСD стане паралельною до
площини П1 і спроекціюється на неї в дійсну величину;
фронтальні проекції точок будуть переміщуватись
по дузі
радіусом R=О2D2С2, а горизонтальні проекції по прямій,
перпендикулярній до А1 і В1, як осі обертання;
нове положення С1'D1' горизонтальних проекцій точок С і D,
знайдене за їх фронтальними проекціями С2' і D2'. Фігура
А1В1С1'D1' – дійсна величина чотирикутника АВСD.

10. 22. Спосіб плоскопаралельного руху

Плоскопаралеьним переміщенням називається такий рух
фігури у просторі, при якому всі її точки переміщуються в
площинах паралельних між собою і паралельних одній з площин
проекцій
A2’
A2
E2
X12
B2
B2’
C2
A1 B1
E1
E2’
D2
A1’ B1’
D1 C1
D2’
C2’
E1’
C1’ D1’

11. Приклад Визначити дійсну величину плоскої фігури АВС – загального положення.

Площину загального положення переведено у горизонтальну площину
(площину рівня);
плоскопаралельний рух здійснено двічі: спочатку відносно осі,
перпендикулярної до площини проекцій П1, потім відносно осі, перпендикулярної до
площини проекцій П2.
Горизонтальна проекція А1"В1"С1" визначає дійсні розміри трикутника АВС.
B2’
B2
A2
j 2 12
C2 C2’
X12
12’ A2’
C1’
A1
C1
11 j1
B1
A1’
j 2’ C2’’ A2’’
11’
C1’’
jj
1’
B1’
B2’’
B1’’
A1’’

12. Висновок:

для перетворення площин загального положення у
проекціювальне положення достатньо здійснити один
плоскопаральний рух;
для перетворення площини загального положення в
площину рівня необхідно здійснити плоскопаралельний
рух послідовно двічі, відносно площин П1 і П2.

13. 23. Спосіб обертання навколо прямої рівня

Для визначення форми і розмірів плоских фігур можна
здійснювати їх обертання навколо горизонталі чи фронталі.
A2
P
=
A
A2’
j2 h2
O2
R
O
А1
=
A1’
G
j1
A1
A1’
П1
R
O1
P
A0

14. На рисунку визначено дійсну величину трикутника АВС способом обертання навколо лінії рівня (горизонталі).

C2
B2
=
j 2 D2
O2 12
B0
J1
D1
=
A2
C1
B1
O1
A1 A1’
B1’
C1’

15. 24. Обертання площини навколо її сліду (суміщення). Косокутне допоміжне проекціювання

Обертання площини навколо її сліду до суміщення з однією з
площин проекцій називається способом суміщення.
На рисунку показано суміщення положення точки А, яка
належить площині Р з горизонтальною площиною проекцій П1.
Pv
N2
X12
Px
A2
j2
N1
A1
N1’
J1
PH
A1’
Pv1
J1‘

16. Цей спосіб доцільно використовувати для розв’язання позиційних задач з метою отримання проекцій прямих у виді точок і проекцій

площин у виді ліній.
Суть способу полягає в заміні прямокутного проекціювання на центральне чи
косокутне.
На рисунку визначено точку перетину профільної прямої АВ з
площиною загального положення способом косокутного допоміжного
проекціювання.
A4
A2
f2
D4
D2
B4
X12
B2
Px
B1
D1
J1
A1

17. Запитання і завдання для самоперевірки

Які є способи перетворення кресленика та які їх основні відмінності?
2.
У чому полягає сутність способу заміни площин проекцій?
3.
Укажіть направлення площин проекцій при переведені площини
загального положення у горизонтально-проекціювальне.
4.
Укажіть алгоритм розв’язання задачі на визначення справжньої
величини площини загального положення способом заміни площин
проекцій.
5.
У чому полягає сутність способу обертання навколо проекціювальної
прямої?
6.
Яку пряму приймають за вісь обертання при переведенні площини
загального положення у горизонтально-проекціювальне?
7.
Яку пряму приймають за вісь обертання при переведенні площини
загального положення у фронтально-проекціювальне?
8.
У чому сутність способу плоскопаралельного переміщення? Які
перетворення необхідно здійснити, щоб визначити справжню величину
площини загального положення?
9.
Дайте визначення способу суміщення.
10. З якою метою використовується в нарисній геометрії спосіб допоміжного
проекціювання?
11. Чи можна за допомогою способів перетворення площин проекцій
встановити кут нахилу площини загального положення?
12. Чи можна способом обертання відрізка прямої встановити його довжину
і кути нахилу до площин проекцій П1 і П2?
13. Яка з проекцій відрізка прямої лінії не змінює своєї величини?
14. Що є ознакою досягнення горизонтального положення
площини,
заданої горизонталлю і точкою, при обертанні навколо цієї горизонталі і
де буде лежати фронтальна проекція цієї точки після обертання?
1.