Электрические колебания. Переменный электрический ток. Тема 3

1.

Тема 3. Электрические колебания.
Переменный электрический ток.
Основные вопросы темы:
3.1.1. Свободные незатухающие электрические колебания
3.1.2. Затухающие электрические колебания
3.1.3. Вынужденные электрические колебания. Резонанс
3.1.4. Переменный электрический ток.

2.

Повторение
Гармонические колебания
A sin t 0
А – амплитуда колебания; ω – круговая частота
(ωt+φ0)– фаза колебания;φ0 – начальная фаза колебания.
Дифференциальное уравнение свободных незатухающих
гармонических колебаний:
2 0
0
Уравнение плоской гармонической волны,
распространяющейся вдоль оси Х:
x, t A cos t kx

3.

3.1. Свободные незатухающие электрические колебания
Колебательный контур – цепь,
состоящая из конденсатора и
катушки.
Е –напряженность электрического поля;
H – напряженность магнитного поля;
q – заряд; С –емкость конденсатора;
L – индуктивность катушки,
I – cила тока в контуре

4.

5.

Энергия заряженного конденсатора – энергия
электрического поля:
We
Энергия магнитного поля:
В любой момент времени:
q2
2C
LI 2
Wm
2
W We Wm

6.

Для квазистационарных токов можно использовать законы Ома.
с = 3·108 м/с
Условие квазистационарности:
l
c
l
T
c
50 Гц l 100 км

7.

Сила тока:
Закон Ома:
dq
I
q
dt
I R 1 2 E12
q
dI
R 0, 1 2 , E12 EC L
C
dt
E C - Э.Д.С самоиндукции
q
dI
0 L
C
dt

8.

dI d q
q
q 0 L q
dt
dt
C
Дифференциальное уравнение свободных незатухающих
электрических колебаний
1
q
q 0
LC
q qm cos 0t
(1)
(2)

9.

0
1
LC
- собственная круговая частота
колебаний
Формула Томсона:
T 2 LC
(3)
Т – период собственных колебаний в колебательном контуре

10.

Напряжение на конденсаторе:
U m qm C
q
U U m cos 0t
C
Ток через контур:
dq
I
0 qm sin 0t
dt

11.

qm
I m 0 qm
LC
sin cos 2
I I m cos 0t 2
(4)
Ток опережает напряжение на π/2

12.

Найдем соотношение между амплитудными значениями
тока и напряжения:
qm
Im
LC
L
Um
Im
Im
C 0C
C
C
Из закона Ома: U=IR
L C
- волновое сопротивление.

13.

Энергия электрического поля (энергия заряженного конденсатора)
в любой момент времени:
2
2
m
q
q
2
We
cos 0t
2C 2C
Энергия магнитного кого поля (энергия катушки индуктивности)
в любой момент времени:
LI 2 LI m2
Wm
sin 2 0t
2
2

14.

Максимальное (амплитудное) значение энергии магнитного поля:
LI
L q
Lq
q - максимальное значение
2
2
2 LC 2C энергии электрического поля
2
m
2 2
0 m
2
m
2
m
Полная энергия колебательного контура в любой момент времени:
qm2
W We Wm
cos 2 0t sin 2 0t
2C
qm2 LI m2
2C
2
Полная энергия контура сохраняется постоянной

15.

Задача 3.1
Колебательный контур состоит из конденсатора и катушки
индуктивности. Определить частоту колебаний, возникающих в
контуре, если максимальная сила тока в катушке индуктивности
1,2 А, максимальная разность потенциалов на обкладках
конденсатора 1200 В, полная энергия контура 1,1 мДж.
Дано:
Im = 1,2 A
UCm = 1200 В
W = 1,1 мДж = 1,1 · 10-3
Дж
ν-?
2
m
LI
W
2
q
CUCm CU
W
2C
2C
2
2
m
2
2
Cm
2W
L 2
Im
2W
C 2
U Cm

16.

2W 2W
4W 2
LC 2 2 2 2
I m U Cm I mU Cm
I mU Cm
1,2 А 1200 В
-3
4 W
4 3,14 1,1 10 Дж
2 LC
1
Вт
5 1
1,04 10
1,04 10 1,04 105 Гц
Вт с
с
5

17.

Задание
В колебательном контуре емкость возросла в 8 раз,
а индуктивность уменьшилась в два раза.
Как изменится период собственных колебаний
контура?
а) уменьшится в 2 раза;
б) увеличится в 2 раза;
в) уменьшится в 4 раз;
г) увеличится в 4 раз.

18.

3.2. Затухающие электрические колебания
Закон Ома:
q
dI
IR L
C
dt
I q
R
1
q q
q 0
L
LC
dI dt q

19.

1
02
LC
R
2L
- коэффициент затухания
q 2 q q 0
2
0
(5)
Слабое затухание:
,
2
2
0
т.е. R 4L 1 LC
2
2
Решение уравнения (5) :
q qm0e
t
cos t
(6)

20.

2
1
R
2
LC 4 L
2
0
2
(7)

21.

Напряжение на конденсаторе:
q
t
U U m0e cos t
C
(8)
U m 0 qm 0 C
Ток через контур:
I dq dt
q qm0e t cos t
I qm 0e
t
cos t qm 0e
t
sin t

22.

0 cos
0 sin
I 0 qm0e t cos cos t sin sin t
I I m0e
t
cos t
(9)
Ψ – сдвиг фаз между током и напряжением
sin 0, cos 0 2

23.

Логарифмический декремент затухания:
A t
ln
T
A t T
2 02
0
Добротность:
Q
R 2 R
2 L L
R C L
(10)
1 L
Q
R C R
(11)

24.

3.3. Вынужденные электрические колебания
q
dI
IR L U m cos t
C
dt
I q
dI dt q
1
2
0
LC
R
2L

25.

Um
q 2 q q
cos t
L
2
0
(12)
Решение (12) :
q qm cos t
qm
(13)
Um
R L 1 C
2
R
tg
1 C L
2
(14)
(15)

26.

dq
I
qm sin t I m cos t
dt
2
2
- сдвиг фаз между током и напряжением
I I m cos t
(16)

27.

1 L 1 C
tg tg 2
tg
R
(17)
L 1 C 0, ток отстает от напряжения
L 1 C 0, ток опережает напряжение

28.

Найдем связь между амплитудными значениями тока и напряжения:
I m qm
U R IR ,
Um
R L 1 C
2
2
UC q C ,
(18)
dI
UL L
dt
U R U C U L U m cos t
U R IR U Rm cos t
U Rm RI m
(19)

29.

q qm
U C cos t U Cm cos t 2
C C
qm
Im
U Cm
C C
dI
U L L LIm sin t U Lm cos t 2
dt
U Lm LI m

30.

31.

Резонанс напряжения на конденсаторе:
2
1
R
рез 2
2
LC 2 L
2
0
2
(20)
Малое затухание (ωрез≈ω0):
U Cmрез
Um
1
LC 1 L
Q
0CR CR
R C
(21)
Резонанс силы тока в контуре:
L 1 C 0
Iрез 0 1
LC
(22)

32.

Резонансные кривые для напряжения (1) и тока (2)

33.

Влияние на колеб. контур вынуждающих Э.Д.С., частоты которых отличны
от ω0, будет тем слабее, чем «острее» резонансная кривая. «Острота»
резонансной кривой характеризуется относительной шириной этой кривой,
равной Δω/ω0 , где Δω – разность цикл. частот при I=Im/√2
0
Q

34.

Задача 3.2
Колебательный контур состоит из резистора сопротивлением
100 Ом, конденсатора емкостью 0,55 мкФ и катушки индуктивностью 0,03 Гн. Определить сдвиг фаз между током через контур
и приложенным напряжением, если частота приложен-ного
напряжения 1000 Гц.
Дано:
R = 100 Ом
C = 0,55 мкФ = 5,5·10-7 Ф
L = 0,03 Гн
ν = 1000 Гц
φ-?
L 1 C
tg
R
L 2 L 2 103 0,03
188 Ом

35.

1
1
1
288 Ом
3
6
C 2 C 2 10 0,55 10
L 1 C 188 288
tg
1
R
100
45
Таким образом, колебания силы тока опережают по
фазе колебания приложенного напряжения на 45º.

36.

3.4. Переменный электрический ток.
U U m cos t
(23)
I I m cos t
(24)
Im
Um
R L 1 C
2
L 1 C
tg
R
2
(25)
(26)

37.

Полным электрическим сопротивлением или
импедансом называется величина
Z R L 1 C
2
2
(27)
X L L - индуктивное сопротивление
X C 1 C - емкостное сопротивление
X X L X C - реактивное сопротивление
X
tg
R
(28)
Z R X
2
2
(29)

38.

Мощность, выделяемая в цепи переменного тока:
P t U t I t U m cos t I m cos t
1
1
cos cos cos cos
2
2
1
1
P t U m I m cos U m I m cos 2 t
2
2
Найдем среднее за период значение мощности:
1
P P t U m I m cos
2

39.

R
cos ,
Z
Um
Im
Z
1
R RIm2
P U mIm
2
Z
2
Такую мощность развивает постоянный ток, равный: I I m
2
называется действующим
I Д Im 2
UД Um 2
значением силы тока, а величина
Величина
дйствующим значением напряжения.
P U Д I Д cos
cos φ – называется коэффициентом мощности.
(30)

40.

Задача 3.3
Катушка длиной 50 см и площадью поперечного сечения 10 см2
включена в цепь переменного тока с частотой 50 Гц. Число
витков катушки 3000. Найти активное сопротивление катушки,
если сдвиг фаз между током и напряжением 60º.
Дано:
l = 50 см = 0,5 м
S = 10 см2 = 10-3 м2
ν = 50 Гц
N = 3000
φ = 60º
R-?
X L X C L
tg
R
R
L 2 L
R
tg tg

41.

L 0 n V 0 N l Sl
2
2
7
0 N S l 1 4 10 9 10 10
2
6
3
0,5
2
2,26 10 Гн
2 L 2 50 2 ,26 10
R
tg
3
2
4 ,1 Ом

42.

задание
• От чего зависит полное сопротивление
(импеданс) в цепи переменного тока:
• 1) I, U;
• 2) R, L, I;
• 3) U, R, I;
• 4) R, L, C, ω.