Анализ деформированного состояния. Физические уравнения упругости
Дифференциальные зависимости между компонентами перемещений и компонентами относительных деформаций
Закон Гука для трехосного НС
Закон Гука для трехосного НС (продолжение)
Обобщенный закон Гука
Относительное изменение объема
Удельная потенциальная энергия при одноосном растяжении
Удельная потенциальная энергия при чистом сдвиге
Удельная потенциальная энергия при трехосном напряженном состоянии
Удельная потенциальная энергия изменения объема и удельная потенциальная энергия изменения формы
Удельная потенциальная энергия изменения объема
Удельная потенциальная энергия изменения формы
Связь между константами упругости E, G и μ
232.50K
Category: physicsphysics

Анализ деформированного состояния. Физические уравнения упругости

1. Анализ деформированного состояния. Физические уравнения упругости

Тензору напряжений соответствует тензор деформаций, который
образован тремя линейными и шестью угловыми деформации.
Тензор деформации также приводится к диагональному виду
x
1
yx
2
1
xy
2
1
xz
2
y
1
yz
2
1
zx
2
1 0 0
1
zy 0 2 0
2
0 0 3
z
Здесь 1 , 2 и 3 - главные деформации. Они направлены
по трем главным осям, сдвиги между которыми равны нулю.

2. Дифференциальные зависимости между компонентами перемещений и компонентами относительных деформаций

U
x
;
x
V U
xy
x y ;
V
y
y ;
W V
yz
y z ;
W
z
;
z
U W
zx
.
z
x

3. Закон Гука для трехосного НС

Напряженное
состояние
задано
главными
напряжениями. Применим принцип независимости
действия сил .
1
2
3
1
E
1
1
E
E
2
E
2
E
3
E
3
2
3
E
E
E

4. Закон Гука для трехосного НС (продолжение)

1
1 1 2 3
E
1
2 2 3 1
E
1
3 3 1 2
E

5. Обобщенный закон Гука

1
x x y z
E
xy
;
1
y y z x ;
E
1
z z x y
E
;
xy
G ;
xz
yz
xz
G ;
yz
G .

6. Относительное изменение объема

dy+ dy)
dz+ dz)
dy
dz
dx+ dx)
dx
V1 V
V
V
V x y z
1 2
1 2
1 2 3
V
x y z
E
E

7. Удельная потенциальная энергия при одноосном растяжении

L
L EF
EF L2 P L
A P L d L
Ld L
L 2
2
0
0 L
x2 E x2
A P L 1 P L 1
a
x x
LF 2 LF 2 F L 2
2E
2

8. Удельная потенциальная энергия при чистом сдвиге

Axy
a xy
xy dFds xy ds
2dFdy
2 dy
xy xy
2
xy dFds
2
2
xy
2G
2
G xy
2

9. Удельная потенциальная энергия при трехосном напряженном состоянии

Каждая составляющая тензора напряжений производит работу только
на
своем
перемещении
(деформации).
Поэтому,
в
общем
случае
1
a xyz x x y y z z xy xy xz xz yz yz
2
Если все напряжения - главные, то удельная потенциальная энергия
равна
1 2
a123
1 22 32 2 1 2 1 3 2 3 .
2E

10. Удельная потенциальная энергия изменения объема и удельная потенциальная энергия изменения формы

a a0 aф
1 1 p ;
2 2 p ;
3 3 p

11. Удельная потенциальная энергия изменения объема

Чтобы изменение объема в дополнительном НС
1 2
V
1 2 3 0
E
необходимо, чтобы
1 2 3 0
1 2 3 1 2 3 3 p
1
p 1 2 3 ср
3
1
p
p p p 1 2
E
E
3
3 1 2 p 2
a0 p
2
2
E

12. Удельная потенциальная энергия изменения формы

1 2
1 2 3 2
a0
6E
aф a a0
1
2
2
2
a
1 2 3 2 1 2 1 3 2 3
2E
1
1 2 2 1 3 2 2 3 2

6E

13. Связь между константами упругости E, G и μ

axy
xy2
2G
1 3
2
1
a13
12 32 2 1 3 1 1
2E
E
E
a xy a13
G
2 1
English     Русский Rules