КОНСУЛЬТАЦИЯ ПО ФИЗИКЕ
Задача 1
Задача 1
Задача 2
Задача 3
Задача 4
Задача 5
Задача 6
Задача 6
Задача 6
Задача 7
Задача 7
Задача 8
Задача 24
Задача 24
Задача 9
Задача 9
Задача 9
Задача 10
Задача 10
Задача 11, 14
Задача 11, 14
Задача 11, 14
Задача 12
Задача 12
Задача 12
Задача 13
Задача 13
Задача 13
Задача 15
Задача 16
Задача 16
Задача 17
Задача 17
Задача 17
Задача 18
Задача 18
Задача 19
Задача 19
Задача 19
Задача 19
Задача 19
Задача 19
Задача 20
Задача 20
Задача 20
Задача 20
Задача 21
Задача 21
Задача 21
Задача 21
Задача 22
Задача 22
Задача 22
Задача 23
Задача 25
842.59K
Category: physicsphysics

Консультация по физике

1. КОНСУЛЬТАЦИЯ ПО ФИЗИКЕ

Лубенченко О. И., кафедра физики им. В. А. Фабриканта
НИУ «МЭИ», 2020 г.

2. Задача 1

Квадратная проволочная рамка со стороной a, имеющая сопротивление R,
находится в однородном магнитном поле, вектор индукции B которого
перпендикулярен плоскости витка. Найти заряд, который протечёт по рамке,
если её плоскость повернуть на 180°.
РЕШЕНИЕ
a
B

S1 ⊙
1
B

S2 ⊗
2

Ei
dt
IR Ei
dq

R
dt
dt
I
dq
dt
Q
Φ2
0
Φ1
R dq dΦ

3. Задача 1

RQ Φ1 Φ2
Φ1 Φ2
Q
R
Φ1 BS1 BS cos0 BS Ba2 Φ2 BS 2 BS cos π BS Ba2 S a2
2
1
2Ba
Q Ba2 Ba2
R
R
2Ba2
Q
R

4. Задача 2

Участок провода, по которому идёт ток I, согнут в виде полуокружности
радиуса R. Найти индукцию магнитного поля, созданного этим участком в
центре полуокружности.
РЕШЕНИЕ
dl
I
R
dB
O

r
μ0 dl , r
B dB
dB
I 3

r
π
μ0 Idl sin 2
μ0 I
dB
dl
2
2
4π R
4πR
μ0 I πR
μ0 I
μ0 I
B
dl
πR
2
2
4πR 0
4πR
4R
μ0 I
B
4R

5. Задача 3

Внутрь длинного соленоида поместили квадратную рамку с током. Ток в
соленоиде равен I, плотность намотки соленоида — n, ток в рамке — i, сторона
рамки — a. Нормаль к плоскости рамки составляет угол α с осью соленоида.
Найти момент сил, с которыми магнитное поле соленоида действует на рамку.
РЕШЕНИЕ
⊙I ⊙ ⊙ ⊙
B
⊙ α pm , S
i
a⊗ M⊗
⊗ ⊗ ⊗ ⊗
M pm , B pm iS
pm ia2 B μ0nI
M pm B sin α μ0na2Ii sin α
M μ0na2Ii sin α

6. Задача 4

При какой напряжённости электрического поля в вакууме объёмная плотность
энергии этого поля будет такой же, как у магнитного поля с индукцией 1,0 Тл
(тоже в вакууме)?
РЕШЕНИЕ
ε0E
we
2
2
B2
wm
2μ0
2
B
E2
c 2B 2
ε0 μ0
ε0E 2 B 2
2
2μ0
ЧИСЛЕННЫЙ РАСЧЁТ
В
E 3 10 1,0 3 10
м
8
8
E cB

7. Задача 5

По тонкому кольцу радиуса R идёт ток I. Найти магнитную индукцию в центре
кольца.
РЕШЕНИЕ
I
dl
R
dB

O
r
μ0 dl , r
B dB
dB
I 3

r
π
μ0 Idl sin 2
μ0 I
dB
dl
2
2
4π R
4πR
μ0 I 2πR
μ0 I
μ0 I
B
dl
2πR
2
2
4πR 0
4πR
2R
μ0 I
B
2R

8. Задача 6

По коаксиальному кабелю идёт ток I. Внутренний провод — сплошной цилиндр
радиуса R1, внешний провод — полый цилиндр радиуса R2. Найти зависимость
магнитной индукции от расстояния r от оси кабеля. Считать плотность тока
постоянной по сечению внутреннего провода.
РЕШЕНИЕ
I. r > R2
Bdl
Теорема о циркуляции B
I
lI
Bdl B dl cos0 B dl
I
lI
Il
lI
I
Il
I
lI
μ0 I l
BIl 2πr
I
I
lI
I I 0
BIl 0

9. Задача 6

II. R1 < r < R2
Bdl
II
lII
Bdl
III
μ0 I l
II
II
I
BIIl 2πr
lII
I
lII
lII
I
BIIl 2πr μ0 I
μ0 I
BIIl
2πr
lI
lIII
R1
II
I
R2
I
⊗ dlII
r
⊗BII
C r
⊗dlIII
r ⊗B
III
D
⊗ dlI
⊗ BI
A

10. Задача 6

Bl
μ0 I
2πR1
III. r < R1
Bdl
III
lIII
μ0 I l
Bdl
III
III
lIII
2
I
Ir
j πr 2 2 πr 2 2
πR1
R1
μ0 Ir 2
BIIIl 2πr 2
R1
II
I
BIIIl 2πr
lIII
I
III
BIIIl
μ0 Ir
2πR12
0
R1
R2
r

11. Задача 7

Квадратная рамка со стороной a, имеющая N витков и сопротивление R,
вращается в однородном магнитном поле с индукцией B вокруг одной из своих
сторон. Ось вращения рамки перпендикулярна вектору магнитной индукции.
Угловая скорость рамки постоянна и равна ω. Найти максимальное значение
тока в рамке.
РЕШЕНИЕ

dt
α ωt
Закон Фарадея-Максвелла: Ei
S a2
Φ NBS NBS cos α
d
Ei
NBa2 cos ωt NBa2ω sin ωt
dt
Закон Ома: IR Ei

12. Задача 7

ω
B

B
2
NBa
ω
2
t
I
sin ωt
IR NBa ω sin ωt
R
n, S
α
NBa2ω
Im
t
=
0
R
α
a
a

ω

13. Задача 8

Электрон влетает в область, где существует однородное магнитное поле с
индукцией B. Начальная скорость электрона равна v и направлена
перпендикулярно линиям магнитной индукции. Найти параметры траектории
электрона.
РЕШЕНИЕ
II закон Ньютона: me a F2
⊙B
O
R
F2
a

e me
v
F2 e vB
π
me an evB sin
2
v2
an
R
v2
me evB
R
me v
R
eB

14. Задача 24

Найти индуктивность единичного участка коаксиального кабеля, у которого
радиус внутреннего проводника R1, а радиус внешнего проводника R2. Полем
внутри внутреннего проводника пренебречь.
II
РЕШЕНИЕ
I
I. R1 < r < R2
μ0 I
BI
2πr
R1
I
(см. решение задачи 6)
dΦsI BIdS I BIdS I cos0 BIdS I
μ0 Il dr
dΦsI
2π r
r
dS I ldr
I
R2
dr
l
⊗dS I
⊗BI

15. Задача 24

R2
μ0 Il dr μ0 Il R2
ΦsI
ln
2π r
2π R1
R1
По определению индуктивности
L ΦsI
l
Il
L μ0 R2
ln
l 2π R1

16. Задача 9

Тонкий стержень длиной l равномерно заряжен с линейной плотностью τ.
Найти напряжённость и потенциал электрического поля в точке, лежащей на
продолжении стержня на расстоянии a от его ближнего конца. Принять
потенциал равным нулю в бесконечно удалённой точке.
РЕШЕНИЕ
B τ, l
dq
dr
A
r
a
Принцип суперпозиции: E dE
E
O
dE
Поле точечного заряда
dq r
dE
4πε0 r 3

17. Задача 9

dq
dE
4πε0r 2
a l
E
a
dq τdr
τdr
dE
4πε0r 2
τdr
τ 1
τ 1
1 τ a l a
τl
2
4πε0r
4πε0 r a
4πε0 a a l 4πε0a a l 4πε0a a l
a l
E
τl
4πε0a a l
dq
Потенциал поля точечного заряда при φ(∞) = 0: dφ
4πε0r
Принцип суперпозиции: φ dφ

18. Задача 9

τdr

4πε0r
a l
φ
a
τdr
τ
τ
a l
a l
ln r a
ln
4πε0r 4πε0
4πε0
a
τ
a l
φ
ln
4πε0
a
Предельный случай
τl
q
a >> l: E
2
4πε0a 4πε0a2
— поле точечного заряда
τ
l
τl
q
φ
ln 1
4πε0
a 4πε0a 4πε0a

19. Задача 10

По тонкому полукольцу радиуса R равномерно распределён заряд Q. Найти
напряжённость и потенциал электростатического поля в центре полукольца.
Принять потенциал равным нулю в бесконечно удалённой точке.
РЕШЕНИЕ
dq
Q
R
dE
r

O
α
y
E
Поле точечного заряда dE
dq r
4πε0 r 3
Принцип суперпозиции E dE
dq cos α
E E y dE y dE cos α
dq τdl dl Rdα
2
4πε0r
Q
r R
τ
πR

20. Задача 10

Q cos αdα
dE y
2
2
4
π
ε
R
π
0
π
2
Q
Q
Q
Q
2
E E y 2 2 cos αdα 2 2 sin α π 2 2 1 1 2 2
4π ε0R π
4π ε0R
4π ε0R
2π ε0R
2
2
Q
E 2 2
2π ε0R
dq

4πε0r
φ dφ
Q
dq
Q
φ
4πε0R 4πε0R
0
Q
φ
4πε0R

21. Задача 11, 14

По тонкому кольцу радиуса R равномерно распределён заряд Q. Найти
напряжённость и потенциал электростатического поля в точке, находящейся
на оси кольца на расстоянии z от его центра. Принять потенциал равным нулю
в бесконечно удалённой точке.
РЕШЕНИЕ
dq r
Принцип суперпозиции E dE
3
4πε0 r
dq
z
z
2
2
dE z
cos θ r R z cos θ
2
4πε0r
r
R2 z 2
Поле точечного заряда dE
E Ez
dE z
dq
dE
4πε0r 2
dq z
4πε0 R z
2
Q
2
32
Ez
0
dq z
4πε0 R z
2
2
32
Qz
4πε0 R z
2
2
32

22. Задача 11, 14

z
E
dE
dE
E
Qz
4πε0 R z
2
2
32
Потенциал поля точечного заряда dφ
dq
4πε0r
A
Принцип суперпозиции φ dφ
r θ r
Q
dq
dq
Q
dq′
Q

φ
z R
2
2
2
2
4πε0 R z
4πε0 R 2 z 2
0 4πε0 R z
O
Q
dq
φ
4πε0 R 2 z 2

23. Задача 11, 14

Предельные случаи
Q
1) z = 0: E 0 φ
4πε0R
Qz
Q — поле точечного заряда
2) z >> R: E
3
4πε0 z
4πε0 z 2
Q
φ
4πε0 z

24. Задача 12

Тонкий стержень длиной l равномерно заряжен зарядом Q. Найти
напряжённость электрического поля в точке, лежащей на перпендикуляре к
стержню, проведённом через его середину, на расстоянии b от стержня.
РЕШЕНИЕ
dq r
Поле точечного заряда dE
4πε0 r 3
E E x dE x dE cos α dq cos α
4πε0r 2
b
dq τdy
r
cos α
Принцип суперпозиции E dE
Q
τ
l
rdα
bdα
dy
cos α cos2 α

25. Задача 12

A
Q bdα cos2 α cos α
Q
dE x
cos αdα
2
2
4πε0l
cos α b
4πε0lb
Q
l
O
dq
dy
B
α0
b
·
α
r
rdα
α
dE
C
α0

Q
Ex
cos αdα
4πε0lb
α0
E x
α0
Q sin α0
Q
sin α
4πε0lb
2πε0lb
α
0
sin α0
l
l2
2
b2
4
l
l 2 4b2

26. Задача 12

E
Предельные случаи
Q
2πε0b l 2 4b2
Q
Q
1) b >> l: E
— поле точечного заряда
2
2πε0b 2b 4πε0b
Q
τ
2) b << l : E
— поле длинной нити
2πε0bl 2πε0b

27. Задача 13

Два точечных заряда Q1 и Q2 расположены на расстоянии a друг от друга.
Найти напряжённость и потенциал электростатического поля в середине
отрезка, соединяющего заряды. Принять потенциал равным нулю в
бесконечно удалённой точке.
РЕШЕНИЕ
Q1⊕
r1
E2
a/2
O
r2
⊕ Q2
E1
a/2
x
Q1 r1
Q2 r2
Поле точечного заряда E1
E2
3
4πε0 r1
4πε0 r23
Принцип суперпозиции E E1 E2

28. Задача 13

E x E1 x E 2 x
Q1 r1 x
E1 x
3
4πε0 r1
Q1
Q1
2
2
πε
a
a
0
4πε0
2
Q2 r2 x
Q2
Q2
E2 x
2
3
2
4πε0 r1
πε
a
a
0
4πε0
2
Q1 Q2
Ex
πε0a2

29. Задача 13

Q1
Q1
Q1
Потенциал поля точечного заряда φ1
4πε0r1 4πε a 2πε0a
0
2
Принцип суперпозиции φ φ1 φ2
Q1 Q2
φ
2πε0a
Q2
φ2
2πε0a

30. Задача 15

Тонкий стержень длиной l равномерно заряжен с линейной плотностью τ. На
продолжении стержня на расстоянии a от его ближнего конца расположен
точечный заряд q. Найти силу, с которой поле стержня действует на заряд.
РЕШЕНИЕ
B τ, l
A
a
q

E
F
τl
Напряжённость поля стержня (см. задачу 9) E
4πε0a a l
qτl
F
F qE
4πε0a a l

31. Задача 16

По сфере радиуса R равномерно распределён заряд Q. На расстоянии R' > R от
центра сферы расположен точечный заряд q. Найти силу взаимодействия
точечного заряда и сферы.
РЕШЕНИЕ
S
ТОГ для напряжённости электрического поля
Q O
R
r>R
R’
r
A
dS
q

E
E
F
q
EdS
S
2
EdS
E
4
πr
r
S
S
ε0
q
S
Q

32. Задача 16

Q
E r 4πr
ε0
2
F qE
F qE R
Q
Er
4πε0r 2
F
Qq
4πε0R 2

33. Задача 17

Имеется плоскость, равномерно заряженная с поверхностной плотностью σ. На
расстоянии a от плоскости расположен точечный заряд Q. Найти силу
взаимодействия заряда и плоскости.
РЕШЕНИЕ
dS бок
σ
E
dS торц
C
B
σ
E
A dS торц
E
2x
0
a
S
x
Q

F
E

34. Задача 17

ТОГ для напряжённости электрического поля
q
EdS
S
EdS EdS
S
Sбок
бок
2
S торц
dS торц 2ES торц
S торц
q
2ES торц
ε0
π
E x dS бок cos 2 E x dS торц x cos0
2 Sторц
Sбок
EdS торц
2E
S
S
σS торц
ε0
σS торц
σ
E
2ε0

35. Задача 17

F QE
F

2ε0

36. Задача 18

Длинный цилиндр радиуса R из диэлектрика проницаемостью ε заряжен
равномерно по объёму с плотностью ρ. Найти Dr(r), где r — расстояние от оси
цилиндра, и построить соответствующий график.
РЕШЕНИЕ
I
h
ρ B dS IIбок DII
dS Iбок
II r
A
DI
R
ε
SI
SII
I. r > R
ТОГ для электрического смещения
DdS q
I
SI
DdS
I
DIr 2πrh
SI
DIr 2πrh πρR 2h
2
q
ρ
πR
h
S
I
ρR 2
DIr
2r
SI

37. Задача 18

II. r < R
DdS q
II
S II
DdS
S II
II
DIIr 2πrh
q
Dr
ρR
2
0
S II
ρ πr 2h
S II
DIIr 2πrh πρr 2h
II
I
R
r
DIIr
ρr
2

38. Задача 19

Металлический шар радиуса R1 окружён концентричной ему металлической
сферической оболочкой, внутренний радиус которой R2 = 2R1, а внешний
R3 = 3R1. Заряд шара равен Q, оболочка не заряжена. Найти потенциал шара и
построить график φ(r), где r — расстояние от центра шара. Принять потенциал
равным нулю в бесконечно удалённой точке.
РЕШЕНИЕ
I. r > R3
ТОГ для напряжённости электрического поля: EdS I
SI
2
EdS
E
4
πr
I Ir
SI
q
SI
Q
Q
E Ir 4πr
ε0
2
q
SI
ε0
Q
E Ir
4πε0r 2

39. Задача 19

I
E III
II
dS III
B
dS I
EI
III. R1 < r < R2
r
A
r
SI
III
O Q
R1 IV
EdSIII
q
S III
R3
2
EdS
E
4
πr
III IIIr
R2
S III
SIII
Q
E IIIr 4πr
ε0
2
S III
ε0
q
E IIIr
S III
Q
Q
4πε0r 2

40. Задача 19

II. R2 < r < R3
IV. r < R1
Поле в металле E IIr E IVr 0
Интегральная связь напряжённости и потенциала электростатического поля:
r
φ r E r dr
r
r
r
Q
Q 1
Q
I. φ r E Ir dr
dr
2
4πε0r
4πε0 r 4πε0r
Q
φ r
4πε0r

41. Задача 19

R3
R3
r
r
Q
Q
dr 0dr
II. φ r E Ir dr E IIr dr
2
4πε0r
4πε0R3
R3
R3
R3
R2
R3
r
R2
Q
φ r
12πε0R1
r
Q
Q
III. φ r E Ir dr E IIr dr E IIIr dr
R
R
4πε0r 2 dr R 0dr R 4πε0r 2 dr
3
2
3
2
r
Q
Q 1
Q
Q 1 1
4πε0R3 4πε0 r R2 4πε0R3 4πε0 r R2
Q 1 1
1
Q 1 1
Q 1 1
φ r
φ r
4πε0 r 2R1 3R1 4πε0 r 6R1
4πε0 r 6R1

42. Задача 19

R3
R2
R1
r
R3
R2
R1
φ r E Ir dr E IIr dr E IIIr dr E IVr dr
IV.
R3
R2
R1
Q
Q
Q 1 1 1
dr 0dr
dr 0dr
2
2
4πε0r
4πε0r
4πε0 R1 R2 R3
R3
R2
R1
r
Q 1
1
1
Q 6 3 2
5Q
φ r
4πε0 R1 2R1 3R1 4πε0 6R1
24πε0R1
5Q
φ r
24πε0R1

43. Задача 19

φ
0
IV
III
R1
II
R2
I
R3
r

44. Задача 20

Плоский слой толщиной d из диэлектрика проницаемостью ε заряжен
равномерно по объёму с плотностью ρ. Найти Ex(x), где ось x направлена
перпендикулярно слою, и построить соответствующий график. Координата x
отсчитывается от середины слоя.
РЕШЕНИЕ
I. |x| > d/2
ТОГ для электрического смещения:
DdS q
I
SI
DdS
SI
I
2DI S Iторц
q
SI
ρd S Iторц
SI
2DI S Iторц ρd S Iторц
DI
ρd
2

45. Задача 20

I
DI
dS Iторц
B
DII
ρ
ε
II
I
SI
DI
A
dS Iторц
SII
C dS IIторц
F
dS IIторц
–x
0
d
ρd
2 , x 2
DIx
ρd , x d
2
2
d
DII
x
x
DI ε0 E I
d
ρd
2ε , x 2
0
E Ix
ρd , x d
2ε0
2

46. Задача 20

II. |x| < d/2
DdS q
II
S II
DdS
II
S II
q
2DII S IIторц
S II
2DII S IIторц ρ 2 x S IIторц
ρ 2 x S IIторц
DIIx ρx
DII ρ x
DII ε0εE II
S II
E IIx
ρx
ε0ε

47. Задача 20

Ex
I
II
I
‒d/2
0 d/2
x

48. Задача 21

Воздушный конденсатор ёмкостью C заряжают от источника, напряжение на
клеммах которого равно U, а затем отключают от источника. После этого
конденсатор заполняют жидким диэлектриком проницаемостью ε. Какую
работу при этом совершают внешние силы? Ответить на вопрос задачи в
случае, когда конденсатор подключён к источнику.
РЕШЕНИЕ
ε
C → С’
К
E=U
Ёмкость конденсатора после заполнения диэлектриком
C εC

49. Задача 21

А) Ключ К разомкнут.
Заряд конденсатора q q const q CU
Закон сохранения энергии: ΔW A*
A* — работа внешних сил, ΔW — изменение энергии конденсатора
2 2
2
q2 q2 C 2U 2 1 1 C U C εC CU 1 ε
ΔW W W
2C 2C
2 C C
2C εC

2
CU
1 ε
*
A
A* 0

50. Задача 21

Б) Ключ К замкнут.
Напряжение на обкладках конденсатора U U const
Закон сохранения энергии: ΔW A* Aист
Aист — работа источника
CU 2 ε 1
C U 2 CU 2 U 2
ΔW W W
C C
2
2
2
2
Aист EΔq U q q U C U CU U 2 C C CU 2 ε 1
A* ΔW Aист
CU 2 ε 1
2
CU 2 ε 1
CU 2 ε 1
2

51. Задача 21

2
CU
ε 1 A* 0
*
A
2

52. Задача 22

Шар радиуса R из диэлектрика проницаемостью ε заряжен равномерно по
объёму с плотностью ρ. Найти энергию электрического поля, заключённую
внутри шара.
РЕШЕНИЕ
r<R
D
dS
B
r
ρ
ТОГ для электрического смещения
S
ε
O
R
DdS q
S
2
DdS
D
4
πr
r
S
4
Dr 4πr πρr 3
3
2
q
S
4 3
ρ πr
3
ρr
Dr
3
S

53. Задача 22

D ε0εE
Dr
ρr
Er
ε0ε 3ε0ε
Объёмная плотность энергии электрического поля
DE Dr E r 1 ρr ρr
ρ2r 2
w
2
2
2 3 3ε0ε 18ε0ε
ρ
O
dV
R
Разобьём шар на тонкие сферические слои объёмом
r
dr
dV 4πr 2dr

54. Задача 22

Энергия электрического поля в объёме dV
2 4
ρ2r 2
2
πρ
r dr
2
dW wdV
4πr dr
18ε0ε
9ε0ε
R
2πρ2 4
2πρ2 R5 2πρ2R 4
W
r dr
9ε0ε
9ε0ε 5
45ε0ε
0
2πρ2R 4
W
45ε0ε

55. Задача 23

Имеются две большие параллельные металлические пластины площадью S,
заряды которых равны Q1 и Q2. Найти силу взаимодействия пластин.
РЕШЕНИЕ
S
S
Q1
Q2
σ1
Q1
E1
(см. задачу 17)
2ε0 2ε0 S
F12
E1
F12 Q2 E1
F12
Q1Q2
2ε0 S

56. Задача 25

Два заряженных конденсатора соединили параллельно одноимённо
заряженными обкладками. Заряд одного конденсатора равен q1, его ёмкость —
C1, другого конденсатора — соответственно q2 и C2. Чему равна разность
потенциалов на конденсаторах после их соединения?
РЕШЕНИЕ
q q1 q2
C1

+
C2
C C1 C 2
q q1 q2
U
C C1 C 2
q1 q2
U
C1 C 2
English     Русский Rules