Элементы векторной алгебры

1.

Раздел Элементы линейной алгебры и аналитической
геометрии
Тема. Векторная алгебра
Лекция «Элементы векторной
алгебры»

2.

Учебные цели:
1. Рассмотреть важнейшие понятия
векторный алгебры.
2. Раскрыть смысл линейных операций
над векторами и правил их выполнения.
3. Изложить содержание понятий
скалярного, векторного и смешанного
произведений и их основных свойств.

3.

Учебные вопросы:
1. Векторы: основные понятия и виды.
2. Действия с векторами.
3. Скалярное, векторное и смешанное
произведения векторов.

4.

Величины, которые полностью определяются своими
численными значениями, называются скалярными.
Например, площадь, объем, температура, работа,
масса.
Другие величины, например, сила, скорость,
ускорение, определяются не только своими
числовыми значениями, но и направлениями. Такие
величины называются векторными. Геометрически
они изображаются с помощью вектора.
Векторная алгебра – раздел математики, в котором
изучаются простейшие операции над векторами. К
числу таких операций относятся линейные операции
(сложение, вычитание векторов и умножение вектора
на число), а также различные произведения векторов.

5.

Отрезок называется направленным, если считается,
что у него есть начало и конец.
Вектор – это направленный прямолинейный
отрезок, то есть отрезок, имеющий определенную
длину и определенное направление (рис. 1).
Пусть A – начало, B – конец вектора, тогда
обозначение вектора:
,
(или
,
)
АВ
Рис. 1
AB
a a

6.

ПЕРВЫЙ УЧЕБНЫЙ
ВОПРОС
ВЕКТОРЫ: ОСНОВНЫЕ
ПОНЯТИЯ И ВИДЫ

7.

Длиной (модулем) вектора называется длина
отрезка AB, то есть расстояние между началом и
концом вектора.
Обозначение: АВ а
Вектор, у которого начало и конец совпадают,
называется нулевым и обозначается 0 или просто 0.
Длина нулевого вектора равна нулю. Понятие
направления для нулевого вектора не вводится.
Векторы называются коллинеарными, если они лежат
на одной прямой или на параллельных прямых.
Обозначение: a b

8.

Коллинеарные векторы могут быть направлены
одинаково или противоположно. Нулевой вектор
считается коллинеарным любому вектору.
Два вектора a и b называются равными (a b),
если они
• коллинеарны,
• одинаково направлены,
• имеют равные длины.
Из определения равенства векторов следует, что
вектор можно переносить параллельно самому себе,
а начало вектора помещать в любую точку
пространства.

9.

Аналитическая геометрия позволяет решать
задачи с участием векторных величин с
использованием координат.
Проведем вектор АВ и опустим из его начала и
конца перпендикуляры на произвольную ось l.
Получим вектор А В (рис. 2).
1 1

10.

Проекцией вектора АВ на ось l называется
положительное число А В , если вектор АВ и ось l
1 1
одинаково направлены, и отрицательное число А1 В1 ,
если вектор АВ и ось l противоположно направлены.
Если точки A1 и B1 совпадают, то проекция вектора
р АВ равна нулю.
Рассмотрим далее декартову прямоугольную систему
координат Оxy.
Координатами вектора называются его проекции на
оси координат

11.

Обозначение координат вектора:
Или: a ax , a y , az
АВ X , Y , Z
Обратите внимание: координаты вектора, в отличие
от координат точки, заключаются в фигурные скобки.
Два вектора a и b равны тогда и только тогда, когда
выполняются равенства их одноименных координат,
т.е.
ax bx ,
a b a y by ,
az bz

12.

Теорема 1.
Каковы бы ни были две точки А( х1 , у1 , z1 )
B( х2 , у2 , z2 ) , координаты вектора АВ
определяются единственным образом:
и
АВ x2 x1, y2 y1, z2 z1
(По этой же формуле можно вычислить расстояние
между точками А и В).

13. Декартова прямоугольная система координат

i j k
Z
z = Прk a
i j k 1
a
k
i О
x = Прi a
j
y = Пр j a
Y
X
a = xi yj zk
a = ( x, y , z )
x,y.z - декартовы прямоугольные координаты вектора
относительно данной системы координат

14.

Рассмотрим произвольный вектор
Перенесем его параллельно, совместив
начало с началом координат.
На основании теоремы о длине диагонали
прямоугольного параллелепипеда (или
теоремы Пифагора, примененной дважды),
длина вектора равна:
a
a a a
2
x
2
y
2
z

15.

Пусть
– орты осей координат, то есть
векторы единичной длины, совпадающие по
направлению соответственно с координатными осями
Ох, Оу, Оz.
Тройка таких векторов
называется
ортонормированным
базисом
трехмерного
пространства
i , j, k
i , j, k

16.

Теорема 2.
Любой трехмерный вектор a может быть
единственным образом разложен по базису i , j ,
т.е. представлен в виде: a a i a j a k
x
y
z
k,
где ax , a y , az , – координаты вектора a .
Если через , , обозначить углы между вектором и
осями координат, то cos ,cos ,cos , называют
направляющими косинусами вектора a .
Причем:
ax
cos
a
cos
ay
a
az
cos
a

17.

Пусть дана прямая, на которой выбрано направление,
зафиксирована точка (начало) и указан масштаб
измерения длин
B
e
l
A
AB ' , AB ' l
Прl AB
AB ' , AB ' l
a
Проекция вектора
b
на ненулевой
вектор
: проекция a на
любую ось, одинаково
направленную с b
B'
AB = Прl AB e
'
a
l
b
Прb a =| a | cos(a , b )
^

18.

ВТОРОЙ УЧЕБНЫЙ
ВОПРОС
ДЕЙСТВИЯ С ВЕКТОРАМИ

19.

Если векторы заданы своими координатами:
а ax , a y , az
b b , b , b
x
y
z
то линейные операции над векторами сводятся к
линейным операциям над координатами этих
векторов:
1. a b ax bx , ay by , az bz
(координаты суммы двух (или более) векторов
равны суммам соответствующих координат
слагаемых);
2. a b ax bx , ay by , az bz

20.

(координаты разности двух векторов равны
разностям соответствующих координат этих
векторов);
3. kа kax , kay , kaz
(координаты произведения числа k на вектор (или
вектора на число) равны произведениям числа на
координаты данного вектора).
Вспомним: произведением вектора а на число k
называется вектор а k или k а , который
коллинеарен исходному вектору а , имеет длину,
равную а k , и направлен так же, как вектор а ,
если k>0, или противоположно, если k<0.

21.

Используя определение произведения числа на вектор,
нетрудно
получить
условие
коллинеарности
векторов: векторы а и b коллинеарны в том и
только в том случае, когда один из них может быть
получен умножением другого на некоторое число.
То есть b kа , или b k a b k a bz k az
x
y
x
y
Иначе говоря, условие коллинеарности векторов
состоит в пропорциональности их координат:
ax
bx
ay
by
az
bz

22.

ТРЕТИЙ УЧЕБНЫЙ
ВОПРОС
СКАЛЯРНОЕ, ВЕКТОРНОЕ
И СМЕШАННОЕ
ПРОИЗВЕДЕНИЯ
ВЕКТОРОВ

23.

Вопрос 3. Скалярное, векторное и смешанное
произведения векторов
Умножение векторов производится по
специфическим правилам, и кроме того, существует
три вида произведений векторов: скалярное,
векторное и смешанное.
Каждый из этих видов произведений имеет свой
геометрический смысл и свое применение для
решения важнейших вопросов в задачах физики и
механики, а также в задачах о взаимном
расположении линий и плоскостей.

24.

3.1. Скалярное произведение векторов
Скалярным произведением двух ненулевых векторов
и
называется число (скаляр), равное
произведению длин этих векторов на косинус угла
между ними.
Обозначение: а b
а b
Итак, по определению:
где
а b a b cos
— угол между векторами а
и
b
1

25.

Основные свойства скалярного произведения
1. Коммутативность (переместительный закон):
a b b a
2. Ассоциативность (сочетательный закон – по
отношению к скалярному множителю):
a b a b
3. Дистрибутивность (распределительный закон):
a b c a c b c

26.

4. Скалярный квадрат вектора равен квадрату его
2
2
длины:
a a
То есть, если вектор
возвести скалярно в квадрат,
а затем извлечь корень, то получится не
первоначальный вектор, а его длина
.
Доказательство:
а
a
a a a cos0 a
2
2
Необходимым и достаточным условием
ортогональности (взаимной перпендикулярности)
двух ненулевых векторов является равенство нулю их
скалярного произведения:
a b a b 0

27.

Физический смысл скалярного произведения: работа
постоянной силы (вектора
), точка приложения
которой перемещается из начала в конец вектора
.
а
b
Пример. Материальная точка движется из точки A в
точку B под действием силы F .
Работа этой силы по перемещению материальной
точки вдоль вектора перемещения s определяется
следующим образом:
A F s cos F s

28.

Скалярное произведение векторов, заданных
координатами
Пусть a a , a , a b b , b , b
x
y
z
x
y
z
тогда:
а b ax bx a y by az bz
2
Доказательство: перемножим скалярно векторы a и
разложив их по базису.
b
а b ax i a y j az k bx i by j bz k
axbx ii axby ij axbz ik a ybx ji
a yby jj a ybz jk azbx ki azby kj azbz kk
ax bx ay by az bz
,

29.

Замечание. Угол между векторами a и b определяется
равенством:
ax bx a y by az bz
cos
2
2
2
2
2
2
ax a y az bx by bz
Пример 1. Найти скалярное произведение векторов
а 3; 4; 7 b 2; 5; 2
Решение. По формуле (2) находим:
а b 3 2 4 ( 5) 7 2 0
Согласно свойству 5 скалярного произведения, данные
векторы перпендикулярны.

30.

3.2. Векторное произведение векторов
Три
вектора
в
пространстве
называются
компланарными, если они лежат в одной
плоскости или в параллельных плоскостях.
Три некомпланарных вектора
, взятые в
указанном порядке, образуют правую тройку, если с
конца третьего вектора кратчайший поворот от первого
вектора
ко второму вектору виден совершающимся
против часовой стрелки. В противном случае тройка
называется левой
a; b ; c
a
b

31.

Векторным произведением вектора a на вектор
b называется вектор c который определяется
тремя условиями:
1. Длина вектора c равна площади параллелограмма,
построенного на векторах a и b как на сторонах, то
есть:
c a b sin
ь
3
где –
угол
между векторами
a
и
b

32.

2. Вектор c перпендикулярен каждому из векторов a
иb .
3. Векторы a , b и c образуют правую упорядоченную
тройку.
Основные свойства векторного произведения
1. Антикоммутативность.
a b b a
2. Ассоциативность (сочетательность) относительно
числового множителя.
a b a b

33.

3. Дистрибутивность:
a b c a c b c
4.
Необходимым
и
достаточным
условием
коллинеарности двух ненулевых векторов является
равенство нулевому вектору их векторного
произведения:
a b a b 0
Векторное произведение векторов, заданных
координатами
Пусть: a a x , a y , a z
i
j k
b bx , by , bz
тогда:
a b ax
ay
az
bx
by
bz
4

34.

3.3. Смешанное произведение векторов
Смешанным произведением трех векторов: a , b и
называется число, равное произведению: a b c
c
Основные свойства смешанного произведения
1. Смешанное произведение a b c 0 , если
векторы , и
образуют правую тройку;
–
если
левую.
a b c 0
ab c
2. Круговая перестановка множителей не меняет
величины смешанного произведения:
a b c b c a c a b

35.

Замечание. В соответствии со свойством 2 и
свойством коммутативности скалярного произведения
(свойство 1)), a b c a b c
(перемена
знаков
векторного
и
скалярного
умножения).
На основании свойства 2, смешанное произведение
трех векторов можно обозначить проще:
abc (без знаков умножения).
3. Модуль смешанного произведения abc равняется
объему
параллелепипеда,
построенного
на
приведенных к общему началу векторах
,
и
a b c

36.

4.
Необходимым
и
достаточным
условием
компланарности трех ненулевых векторов является
равенство нулю их смешанного произведения (взятого
в произвольном порядке:
a b c
(В частности, если любые два вектора из векторов
и коллинеарны, то a b c 0 )
b
a,

37.

Смешанное произведение векторов, заданных
координатами
Пусть a ax , a y , az b b , b , b
x
c cx , c y , cz
тогда:
y
Пусть
ax
ay
az
abc bx
by
bz
cx
cy
cz
5
z

38.

Пример 3. Найти смешанное произведение векторов:
a {2; 1; 1} b {1;3; 1}
c {1;1;4}
Решение. По формуле (5) находим:
2 1 1
Пусть
abc 1
3
1 24 1 1 3 2 4 33
1
1
4

39.

Практические занятия по рассмотренной теме будут
посвящены выполнению линейных операций над
векторами и применению свойств скалярного,
векторного и смешанного произведений для решения
задач аналитической геометрии.
Задание на самоподготовку:
1. Изучить рекомендуемую литературу.
2. Доработать (дополнить) конспект лекции.
3. Подготовиться к практическому занятию.