Предел последовательности. Урок №24

1. Предел последовательности

П 3.
Практическая работа № 24
ПРЕДЕЛ
ПОСЛЕДОВАТЕЛЬНОСТИ

2. Решите пример

РЕШИТЕ ПРИМЕР
1
1

3. Найдите закономерности между столбцами:

НАЙДИТЕ ЗАКОНОМЕРНОСТИ
МЕЖДУ СТОЛБЦАМИ:
1; 4; 7; 10; 13; …
В порядке возрастания
положительные нечетные
числа
10; 19; 37; 73; 145; …
В порядке убывания
правильные дроби
с числителем, равным 1
6; 8; 16; 18; 36; …
В порядке возрастания
положительные числа,
кратные 5
½; 1/3; ¼; 1/5; 1/6;
Увеличение
на 3
Чередовать увеличение
на 2 и увеличение в 2 раза
1; 3; 5; 7; 9; …
5; 10; 15; 20; 25; …
Увеличение в 2 раза
и уменьшение на 1

4.

Последовательности заданы формулами:
an=(-1)nn2
an=n4
an=2n-5
an=n+4
an=3n-1
an=-n-2
Впишите пропущенные члены последовательности:
16 81; ___;
256 625; …
1; ___;
6 ___;
7 ___;
8 9; …
5; ___;
-9 ___;
16 -25; …
-1; 4; ___;
-3 ___;
-1 3; 11; ___;
27
___;
-3 -4 ; ___;
-5 ___;
-6 -7; …
___;
26 ___;
80 242
2; 8; ___;
___; …

5. Определение 1

ОПРЕДЕЛЕНИЕ 1
Пусть а – точка прямой, а r –
положительное число. Интервал
(а-r; а+r) называют окрестностью
точки а, а число r – радиусом
окрестности.
Пример: (5,98; 6,02)
a=6 r=0,2

6. Укажите окрестность точки а радиуса r в виде интервала, если:

УКАЖИТЕ ОКРЕСТНОСТЬ ТОЧКИ А
РАДИУСА R В ВИДЕ ИНТЕРВАЛА, ЕСЛИ:
а) а = 0
r = 0,1
(-0,1; 0,1)
в) а = 2
r=1
(1; 3)
b) a = -3
r = 0,5
г) а = 0,2
r = 0,3
(-3,5; -2,5)
(-0,1; 0,5)

7. Окрестностью какой точки и какого радиуса является интервал

ОКРЕСТНОСТЬЮ КАКОЙ ТОЧКИ И
КАКОГО РАДИУСА ЯВЛЯЕТСЯ
ИНТЕРВАЛ
а) (1; 3)
а=2
r=1
б) (-0,2; 0,2)
а=0
r = 0,2
в) (2,1; 2,3)
а = 2,2
r = 0,1
г) (-7; -5)
а = -6
r=1

8. Определение 2

ОПРЕДЕЛЕНИЕ 2
Число b называют пределом
последовательности (уn), если в любой
заранее выбранной окрестности точки b
содержатся все члены последовательности,
начиная с некоторого номера.
Пишут и читают:
yn b
или
lim yn b
n

9. Чему равен предел данной последовательности?

ЧЕМУ РАВЕН ПРЕДЕЛ ДАННОЙ
ПОСЛЕДОВАТЕЛЬНОСТИ?
1 1 1 1
1
1, , , , ,..., ,...
2 3 4 5
n
n
1
lim 0
n n
lim с с
1 1 1 1
1
1, , , , ,..., ,...
n
2 4 8 16
2
lim q 0, если q 1
n
n

10. Свойства

СВОЙСТВА
1) Предел суммы равен сумме пределов
lim ( xn yn ) lim xn lim yn
n
n
n
2) Предел произведения равен произведению пределов
lim ( x n y n ) lim x n lim y n
n
n
n
3) Предел частного равен частному от пределов
xn
lim
n y
n
lim xn
n
lim y n
n
4) Постоянный множитель можно вынести за знак
предела
lim ( kxn ) k lim xn
n
n

11. Рефлексия

ВЫЧИСЛЕНИЕ ПРЕДЕЛОВ
Пример 1
2n 2
an
2n 1
2n 2
2
2n 2
lim a n lim
lim n n lim
n
n 2n 1
n 2n
1 n
2
n n
2
n 2 1
1 2
n
Вывод: если степени числителя и знаменателя равны,
то в ответе получаем число, равное отношению
коэффициентов наибольших степеней.

12. Рефлексия

ВЫЧИСЛЕНИЕ ПРЕДЕЛОВ
1 7n
lim
n n 1
5n
lim
n n 1
2n 5
lim
n 3n 1
2n 1
lim
n 1 6 n
5n 1
lim
n 20n 3
4 n2
lim 2
n 2n 1
4n 5
lim 2
n 2n 2
5n 15
lim
n 6 n
9 n3
lim
n 1 2n 3
1 2n
lim
n 2 4n 4
Вычислите пределы
2
4

13.

ВЫЧИСЛЕНИЕ ПРЕДЕЛОВ
3n 2 2
Пример 2 a n
2n 1 3n 2 2
2
n
3n 2 2
n
n
n
n
lim a n lim
lim
lim
lim
n
n 2n 1
n 2n
1 n
1 n 2
2
n n
n
3n 2
Пример 3 a n 2n 2 1
2n 2
2 2
2
2
2
3n 2
0
n
n
n
n
lim a n lim 2
lim
lim
0
2
n
n 2n 1
n 2n
1 n 2 1
2
2
2
n
n
n

14.

ВЫЧИСЛЕНИЕ ПРЕДЕЛОВ
Вычислите пределы
n 4
lim 2
n n n 2
n 2n 4
lim
7
n
3n 12
2n 2 3n 5
lim
6
n 1 n 3n
1 n 3n 6
lim
2
n 2n 3n 5
4n 2n 3
lim
2
n 2n 3n 2
2n 2 3n 2
lim
3
n 4n 2n 3
2
3
7
5

15. Домашнее задание в группе

ДОМАШНЕЕ ЗАДАНИЕ
В ГРУППЕ