Предел последовательности
Понятие сходящейся последовательности
Понятие сходящейся последовательности
Окрестность точки
Предел последовательности
Формулы
Асимптоты графика
Асимптоты графика
Свойства
Свойства вычисления пределов
Примеры вычисления пределов
Примеры вычисления пределов
Примеры вычисления пределов
Правила вычисления пределов
Правила вычисления пределов
Правила вычисления пределов
Методика вычисления пределов в точке
Методика вычисления пределов в точке
Методика вычисления пределов в точке
Примеры вычисления пределов
Примеры вычисления пределов
Примеры вычисления пределов
Следующие пределы вычислите самостоятельно
2.91M
Category: mathematicsmathematics

Предел последовательности

1. Предел последовательности

2. Понятие сходящейся последовательности

Обратим внимание, что члены последовательности
(хn) как бы «сгущаются» около точки 0, а у
Рассмотрим две (у
числовые
последовательности
последовательности
n) такой точки нет. В подобных
случаях
что последовательность
(хn) сходится,
(уn) иговорят,
(хn) и изобразим
их члены точками
на а
последовательность
n) расходится.
координатной(упрямой.
(уn): 1, 3, 5, 7, 9,…, 2n – 1,…;
0
1
3
5
9
7
11
13
у
1 1 1 1
1
(хn): 1, , , , , ..., ,...
2 3 4 5
n
0
1 1 1 1
12 6 4 3
1
2
1
х

3. Понятие сходящейся последовательности

Окрестность точки
Определение 1. Пусть а – точка
прямой, а r – положительное число.
Интервал (а - r; a + r) называют
окрестностью точки а, а число r –
радиусом окрестности.
a-r
a
a+r
х
Пример. (3,97; 4,03) – окрестность
точки 4, радиус равен 0,03.

4. Окрестность точки

В математике «точку сгущения» для членов
заданной
последовательности
принято называть
Предел
последовательности
«пределом последовательности».
Определение 2. Число b называют пределом
последовательности (уn), если в любой заранее
выбранной окрестности точки b содержатся
все члены последовательности, начиная с
некоторого номера.
Обозначение: 1. (уn стремится к b или уn сходится к b);
yn b
2. (предел последовательности уn при стремлении n
к бесконечности равен b)
lim y
n
n
b

5. Предел последовательности

Формулы
1) lim 1/n = 0
n→∞
2) lim qn = 0, если 0 < |q| < 1
n→∞
Если q > 1, то lim qn не существует.
n→∞
3) lim С = С
n→∞
4) lim (к /nm) = 0
n→∞

6. Формулы

Построим графики
последовательностей:
1
yn
n
1
yn
2
yn
1
n
Рис. 1
у=0
n
Рис. 2
у=0
у=2
2n
yn
n 1
Рис. 3

7.

Асимптоты графика
Обратите внимание, что на всех трех
рисунках точки графика, по мере их ухода
вправо, все ближе и ближе подходят к
некоторой горизонтальной прямой:
на рис 1 – к прямой у = 0,
на рис 2 – к прямой у = 0,
на рис 3 – к прямой у = 2.
Каждую из этих прямых называют
горизонтальной асимптотой графика.

8. Асимптоты графика

Вообще равенство
lim f (n) b
n
означает, что прямая
у=а
является горизонтальной асимптотой
графика последовательности,
т.е. графика функции
y f ( x), x N .
yn f (n)
у=b

9. Асимптоты графика

Свойства
● Если последовательность сходится,
то только к одному пределу.
● Если последовательность сходится ,
то она ограничена.
Обратное−неверно:1,2,3,1,2,3,…−
ограниченная последовательность,
но она не сходится
●Теорема Вейерштрасса
Если последовательность монотонна
и ограничена, то она сходится.

10. Свойства


Карл Теодор
Вейерштрассвыдающийся немецкий
математик, отец
«современного анализа»
• 1815-1897 г.
• Кратер на Луне

11.

Свойства вычисления пределов
Если lim хn = b и lim уn = c , то
n→∞
n→∞
1)Предел суммы равен сумме пределов:
lim (хn+ уn) = lim хn + lim уn = b + c
n→∞
n→∞
n→∞
2)Предел произведения равен произведению пределов:
lim (хn· уn) = lim хn ∙ lim уn = b · c
n→∞
n→∞ n→∞
3)Предел частного равен частному пределов:
lim (хn : уn) = lim хn : lim уn = b : c
n→∞
n→∞ n→∞
4)Постоянный множитель можно вынести за знак предела:
lim (k · хn) = k · lim хn = k · b
n→∞
n→∞

12. Свойства вычисления пределов

1
Пример 1. xn 2
n
1
1 1
1
1
lim 2 lim ( ) lim lim 0 0 0
n n
n n n
n n n n
Пример 2
5 7
5
7
lim ( 2 2) lim 2 lim lim 2 0 0 2 2
n n
n n
n n
n
n

13.

Примеры вычисления пределов
Пример 3. Вычислить
lim
x
2 x 5 3x 3 1
x5 4 x 2 2 x
Решение. Делим числитель и знаменатель
дроби почленно на наивысшую из имеющихся
степень переменной x, т.е. на x5.
2 x 5 3x 3
1
3
1
2
x 2 x5
x5
x5
x5
2 x 5 3x 3 1
lim
lim 5
2
4
2
lim
5
2
x
x
4
x
2
x
x
1
x x 4 x 2 x
3
4
5 5
5
x
x
x
x
x
3
1
3
1
2 lim 2 lim 5 2 0 0
2 2 5 lim
lim
2
x
x x
x x
x
x
x
2
4
2
4
2
1 0 0
1
1
lim
1
lim
lim
lim
x x 3
x x 4
x 3 x 4 x
x

14. Примеры вычисления пределов

Пример 4. Вычислить
5x3 x 2 1
lim
4
2
x 2 x 3 x 5 x 2
Решение. Делим числитель и знаменатель
дроби почленно на наивысшую из имеющихся
степень переменной x 3т.е. 2на x4.
5x3 x 2 1
lim
lim
4
2
x
x 2 x 3 x 5 x 2
1
1
5
lim
x2 x4
x x
3
5
2
2 2 3 4
lim
x
x
x
x
5
1
1
5x
x
1
x x2 x4
x4
x4 x4
lim
2
3
5
2
2
3x
5x
2
x
2 2 3 4
4
4
4
4
x
x
x
x
x
x
x
5
1
1
lim 2 lim 4
x x
x x
x x
3
5
2
lim 2 lim 2 lim 3 lim 4
x
x x
x x
x x
lim
0 0 0
0
0
2 0 0 0 2

15. Примеры вычисления пределов

Пример 5. Вычислить
lim
x
2x6 x2 i
x 4 2 x3 x
Решение. Делим числитель и знаменатель
дроби почленно на наивысшую из имеющихся
степень переменной x, т.е. на x6.
lim
x
x6 x2 i
lim
4
3
x 2 x x x
1
i
2x6 x2
i
2 4 6
6 6
6
x
x
x
x
x
1
2
1
x 4 2 x3
x lim
x
3 5
6 6
2
6
x
x
x
x
x
x
1
i
1
i
lim 2 lim 4 lim 6
2 4 6
lim
x
x x
x x
x
x
n
1
2
1
2
1
1
lim 2 lim 3 lim 5
2
3
5
lim
x x
x x
x
x
x
x x
n
2 0 0 2
(не существует)
0 0 0 0

16. Примеры вычисления пределов

Правила вычисления пределов
1. Если старшая степень числителя и
знаменателя совпадают, то предел
такого вида всегда будет равен
отношению коэффициентов при
старших степенях переменной.
2 x 3x 1
2
5
2
x 4x 2x
5
lim
x
3

17. Правила вычисления пределов

2. Если степень знаменателя
выше степени числителя, то
предел такого вида равен нулю.
5x x 1
0
lim
4
2
x 2 x 3 x 5 x 2
3
2

18. Правила вычисления пределов

3. Если же старшая степень числителя
выше степени знаменателя, то, очевидно,
все слагаемые знаменателя в пределе
будут равны нулю, это означает, что
предел не существует.
x x i
4
3
x 2x x
6
lim
x
2

19. Правила вычисления пределов

Вычислите самостоятельно пределы функций на
бесконечности:
x4 4x 2
1. lim 2
x 5 x 3 x 1
3x
2. lim 2
0
x x 3x 7
4
2
x 4x 7
3. lim 2
x x 4 x 3
6 x 3 3x 2 x 1
4. lim
3
2 x x 13
x
6
3
2

20.

Методика вычисления пределов в точке
Если функция существует в точке x = a, то ее предел
равен f(a).
Примеры вычисления пределов
Пример 1. Вычислить lim (2 x 5)
x 3
Решение. Подставим вместо x число 3 (т.к. x 3) и
применим правила вычисления пределов.
(2 x 5) lim 2 x lim 5 2 lim x lim 5
lim
x 3
x 3
x 3
x 3
x 3
6 5 2 3 5 11

21. Методика вычисления пределов в точке

Примеры вычисления пределов
Пример 2. Вычислить
Решение.
lim ( x 2 x 3)
2
x ( 2 )
lim ( x 2 x 3) lim x lim 2 x lim 3
2
2
x ( 2 )
x ( 2 )
x ( 2 )
x ( 2 )
lim x 2 lim x lim 3
2
x ( 2 )
x ( 2 )
x ( 2 )
( 2) 2 ( 2) 3 4 4 3 3
3x
Пример 3. Вычислить lim 2 x 1
x 3
Решение.
3 lim x
2
lim 3 x
3x
x 3
x 3
lim
x lim 1
lim (2 x 1) 2 lim
x 3 2 x 1
x 3
x 3
x 3
3 3
1,8
2 3 1

22.

Методика вычисления пределов в точке
Если же функция в точке х = а не существует, в
знаменателе дроби ноль, то вычисляем
значение числителя
в этой точке.
3
x
1. lim 3
2
x x 4
5
x
1
2. lim
2
x 1 x 1
2x
3. lim
x 3 x 3
x 2

23. Методика вычисления пределов в точке

Примеры вычисления пределов
x3
Пример 1. Вычислить lim 3
x 2 x x 2 4
Решение. Подставим вместо x число 2 (т.к. x 2) и
применим правила вычисления пределов.
3
lim x
x
x 2
lim 3
2
3
2
x 2 x x 4
lim ( x x 4)
3
lim x 3
x 2
3
2
3 2
3
2
lim x lim x lim 4 2 2 4
x 2
x 2
x 2
x 2
8
8
8 4 4 0

24.

Примеры вычисления пределов
Пример 2. Вычислить
5x 1
lim 2
x 1
x 1
Решение. Подставим вместо x число 2 (т.к. x 2) и
применим правила вычисления пределов.
5x
lim 2
x 1
x 1
lim 5 x
x 1
lim ( x 1)
x 1
5 lim x
5 1
x 1
2
2
lim x lim 1
1
1
x 1
x 1
5
5
1 1 0
2

25.

Примеры вычисления пределов
Пример 3. Вычислить
2x
lim
x 3
x 3
Решение. Подставим вместо x число 3 (т.к. x 3) и
применим правила вычисления пределов.
lim x
3
lim
2
x
x 3
2x
x 3
lim
x 3
x lim 3
( x 3) lim
x 3 lim
x 3
x 3
x 3
2 lim x
2 3 6
lim x lim 3 3 3 0
x 3
x 3
x 3

26.

Методика вычисления пределов в точке
Если и в знаменателе и в числителе нули, то,
English     Русский Rules