Предел последовательности

1.

2.

а) 1, 2, 3,…,n,….
б) 1, -1/2, 1/3, -1/4,…,
в) sin 1, sin 2, sin 3,…, sin n,…
Любое число в совокупности имеет номер
в соответствии с тем местом, которое оно
занимает и от него зависит.
Пример: n=12
а) a =12
12
б) b12=-1/12
в) c12=sin 12

3.

ОПР. Совокупность чисел, каждое
из которых имеет свой номер n є N
и от него зависит, называется
числовой последовательностью.
Xn ={X1,X2,…,Xn}
an={a1,a2,…,an}

4.

Задать числовую последовательность,
значит указать как отыскивается любой
ее член, если известен номер
занимаемого им места.
1. Описание
(xn )-последовательность приближенных значений
√2 с недостатком с точностью до 0,1; 0,01;
0,001…
√2=1,1421356…
(Xn)={1,1; 1,14; 1,142; 1,1421;…}

5.

Понятие сходящейся последовательности
Обратим внимание, что члены последовательности
(хn) как бы «сгущаются» около точки 0, а у
Рассмотрим две (у
числовые
последовательности
последовательности
n) такой точки нет. В подобных
случаях
что последовательность
(хn) сходится,
(уn) иговорят,
(хn) и изобразим
их члены точками
на а
последовательность
n) расходится.
координатной(упрямой.
(уn): 1, 3, 5, 7, 9,…, 2n – 1,…;
01
3
5
9
7
11
13
у
1 1 1 1
1
(хn): 1, , , , , ..., ,...
2 3 4 5
n
0
1
12
1 1 1
6 4 3
1
2
1
х

6.

Окрестность точки
Определение 1. Пусть а – точка
прямой, а r – положительное число.
Интервал (а - r; a + r) называют
окрестностью точки а, а число r –
радиусом окрестности.
a-r
a
a+r
х
Пример. (3,97; 4,03) – окрестность
точки 4, радиус равен 0,03.

7.

В математике «точку сгущения» для членов
заданной
последовательности
принято называть
Предел
последовательности
«пределом последовательности».
Определение 2. Число b называют пределом
последовательности (уn), если в любой заранее
выбранной окрестности точки b содержатся
все члены последовательности, начиная с
некоторого номера.
Обозначение: 1. (уn стремится к b или уn сходится к b);
yn b
2. (предел последовательности уn при стремлении n
к бесконечности равен b)
lim y b
n
n

8.

Формулы
1) lim 1/n = 0
n→∞
2) lim qn = 0, если 0 < |q| < 1
n→∞
Если q > 1, то lim qn не существует.
n→∞
3) lim С = С
n→∞
4) lim (к /nm) = 0
n→∞

9.

Свойства вычисления пределов
Если lim хn = b и lim уn = c , то
n→∞
n→∞
1)Предел суммы равен сумме пределов:
lim (хn+ уn) = lim хn + lim уn = b + c
n→∞
n→∞
n→∞
2)Предел произведения равен произведению пределов:
lim (хn· уn) = lim хn ∙ lim уn = b · c
n→∞
n→∞ n→∞
3)Предел частного равен частному пределов:
lim (хn : уn) = lim хn : lim уn = b : c
n→∞
n→∞ n→∞
4)Постоянный множитель можно вынести за знак предела:
lim (k · хn) = k · lim хn = k · b
n→∞
n→∞

10.

Примеры вычисления пределов
2 x 5 3x 3 1
Пример 1. Вычислить lim 5
2
x x 4 x 2 x
Решение. Делим числитель и знаменатель
дроби почленно на наивысшую из имеющихся
степень переменной x, т.е. на x5.
2 x 5 3x 3
1
3
1
2
x 2 x5
x5
x5
x5
2 x 5 3x 3 1
lim
lim 5
2
4
2
lim
5
2
x
x
4
x
2
x
x
1
x x 4 x 2 x
3
4
5 5
5
x
x
x
x
x
3
1
3
1
2 2 5 lim 2 lim 2 lim 5
lim
2 0 0 2
x x
x x
x
x x
x
2
4
2
4
2
1 0 0
1
1
lim
1
lim
lim
lim
x x 3
x x 4
x 3 x 4 x
x

11.

Примеры вычисления пределов
Пример 2. Вычислить
5x3 x 2 1
lim
4
2
x 2 x 3 x 5 x 2
Решение. Делим числитель и знаменатель
дроби почленно на наивысшую из имеющихся
степень переменной x 3т.е. 2на x4.
5
1
1
5x
x
1
x x2 x4
x4
x4 x4
5x3 x 2 1
lim
2
lim
3
5
2
lim
4
2
2 3x
5x
2
x
x
2 2 3 4
x 2 x 3 x 5 x 2
4
4
4
4
x
x
x
x
x
x
x
5
1
1
1
1
5
lim
lim
lim
2 4
lim
x x
x x 2
x x 4
x
x
x x
3
5
2
3
5
2
2 2 3 4 lim 2 lim
lim
lim
lim
x
x
x x
x
x x 2
x x 3
x x 4
0 0 0
0
0
2 0 0 0 2

12.

Примеры вычисления пределов
2x6 x2 i
Пример 3. Вычислить lim 4
3
x
2
x
x
x
Решение. Делим числитель и знаменатель
дроби почленно на наивысшую из имеющихся
степень переменной x, т.е. на x6.
1
i
2x6 x2
i
2 4 6
6 6
6
6
2
x
x
x
x
x
x x i
lim
lim x 4 2 x 3
1
2
1
lim
4
3
x
x
x
x
2
x
x
3 5
x
6 6
2
6
x
x
x
x
x
x
1
i
1
i
lim 2 lim 4 lim 6
2 4 6
lim
x
x x
x x
x
x
n
1
2
1
2
1
1
lim 2 lim 3 lim 5
2
3
5
lim
x x
x x
x
x x x
n x
2 0 0 2
(не существует)
0 0 0 0

13.

Правила вычисления пределов
1. Если старшая степень числителя и
знаменателя совпадают, то предел
такого вида всегда будет равен
отношению коэффициентов при
старших степенях переменной.
2 x 3x 1
2
lim
5
2
x x 4 x 2 x
5
3

14.

Правила вычисления пределов
2. Если степень знаменателя
выше степени числителя, то
предел такого вида равен нулю.
5x x 1
0
lim
4
2
x 2 x 3 x 5 x 2
3
2

15.

Правила вычисления пределов
3. Если же старшая степень числителя
выше степени знаменателя, то, очевидно,
все слагаемые знаменателя в пределе
будут равны нулю, это означает, что
предел не существует.
x x i
lim
4
3
x x 2 x x
6
2

16.

Вычислите самостоятельно пределы функций на
бесконечности:
x4 4x 2
1. lim 2
x 5 x 3 x 1
3x
2. lim x 2 3x 7 0
x
x 4x 7
3. lim 2
x x 4 x 3
4
2
6 x 3 3x 2 x 1 6
3
4. lim
3
2 x x 13
x
2

17.

Методика вычисления пределов в точке
Если функция существует в точке x = a, то ее предел
равен f(a).
Примеры вычисления пределов
Пример 1. Вычислить lim (2 x 5)
x 3
Решение. Подставим вместо x число 3 (т.к. x 3) и
применим правила вычисления пределов.
(2 x 5) lim 2 x lim 5 2 lim x lim 5
lim
x 3
x 3
x 3
x 3
x 3
6 5 2 3 5 11

18.

Примеры вычисления пределов
Пример 2. Вычислить
Решение.
lim ( x 2 x 3)
2
x ( 2 )
lim ( x 2 x 3) lim x lim 2 x lim 3
2
2
x ( 2 )
x ( 2 )
x ( 2 )
x ( 2 )
lim x 2 lim x lim 3
2
x ( 2 )
x ( 2 )
x ( 2 )
( 2) 2 ( 2) 3 4 4 3 3
3x
Пример 3. Вычислить lim 2 x 1
x 3
Решение.
3 lim x
2
lim 3 x
3x
x 3
x 3
lim
x lim 1
lim (2 x 1) 2 lim
x 3 2 x 1
x 3
x 3
x 3
3 3
1,8
2 3 1

19.

Методика вычисления пределов в точке
Если же функция в точке х = а не существует, в
знаменателе дроби ноль, то вычисляем
значение числителя
в этой точке.
3
x
1. lim 3
2
x x 4
5
x
1
2. lim
2
x 1 x 1
2x
3. lim
x 3 x 3
x 2

20.

Примеры вычисления пределов
x3
Пример 1. Вычислить lim 3
x 2 x x 2 4
Решение. Подставим вместо x число 2 (т.к. x 2) и
применим правила вычисления пределов.
lim x 3
3
x
x 2
lim 3
3
2
2
x 2 x x 4
lim ( x x 4)
x 2
lim x
3
3
2
3
3
2
2
lim x lim x lim 4 2 2 4
x 2
x 2
x 2
x 2
8
8
8 4 4 0

21.

Примеры вычисления пределов
Пример 2. Вычислить
5x 1
lim 2
x 1
x 1
Решение. Подставим вместо x число 2 (т.к. x 2) и
применим правила вычисления пределов.
5x
lim 2
x 1
x 1
lim 5 x
x 1
lim ( x 1)
x 1
5 lim x
5 1
x 1
2
2
lim x lim 1
1
1
x 1
x 1
5
5
1 1 0
2

22.

Примеры вычисления пределов
Пример 3. Вычислить
2x
lim
x 3
x 3
Решение. Подставим вместо x число 3 (т.к. x 3) и
применим правила вычисления пределов.
lim x
3
lim 2 x
2x
x 3
x 3
lim
x 3
x lim 3
( x 3) lim
x 3 lim
x 3
x 3
x 3
2 lim x
2 3 6
lim x lim 3 3 3 0
x 3
x 3
x 3

23.

Методика вычисления пределов в точке
Если и в знаменателе и в числителе нули, то,