Предел последовательности

1.

2.

ОПР. Совокупность чисел, каждое
из которых имеет свой номер n є N
и от него зависит, называется
числовой последовательностью.
Xn ={X1,X2,…,Xn}
an={a1,a2,…,an}

3.

а) 1, 2, 3,…,n,….
б) 1, -1/2, 1/3, -1/4,…,
в) sin 1, sin 2, sin 3,…, sin n,…
Любое число в совокупности имеет номер
в соответствии с тем местом, которое оно
занимает и от него зависит.
Пример: n=12
а) a =12
12
б) b12=-1/12
в) c12=sin 12

4.

Задать числовую последовательность,
значит указать как отыскивается любой
ее элемент, если известен номер
занимаемого им места.
1. Описание
(xn )-последовательность приближенных значений
√2 с недостатком с точностью до 0,1; 0,01;
0,001…
√2=1,1421356…
(Xn)={1,1; 1,14; 1,142; 1,1421;…}

5.

Понятие сходящейся последовательности
Рассмотрим две числовые последовательности
(уn) и (хn) и изобразим их элементы точками на
координатной прямой.
Обратим внимание,
что элементы
последовательности (хn)
как бы «сгущаются» около
(уn): 1, 3, 5, 7, 9,…, 2n – 1,…;
точки 0, а у
последовательности
(уn)
у
5
9
11 13
3
7
01
такой точки нет. В
1 1 1 1
1 подобных случаях говорят,
(хn): 1, 2 , 3 , 4 , 5 , ..., n ,... что последовательность (хn)
сходится, а
последовательность (уn)
1
1 1 1 1
0 12 6 4 3
х расходится.
1
2

6.

Окрестность точки
Определение 1. Пусть а – точка
прямой, а r – положительное число.
Интервал (а - r; a + r) называют
окрестностью точки а, а число r –
радиусом окрестности.
a-r
a
a+r
х
Пример. (3,97; 4,03) – окрестность
точки 4, радиус равен 0,03.

7.

Предел последовательности
В математике «точку сгущения» для элементов
заданной последовательности принято называть
«пределом последовательности».
Определение 2. Число b называют пределом
последовательности (уn), если в любой заранее
выбранной окрестности точки b содержатся все
элементы последовательности, начиная с
некоторого номера.
Обозначение: 1. (уn стремится к b или уn сходится к b);
yn b
2. (предел последовательности уn при стремлении n
к бесконечности равен b)
lim y b
n
n

8.

Свойства вычисления пределов
Если lim хn = b и lim уn = c , то
n→∞
n→∞
1)Предел суммы равен сумме пределов:
lim (хn+ уn) = lim хn + lim уn = b + c
n→∞
n→∞
n→∞
2)Предел произведения равен произведению пределов:
lim (хn· уn) = lim хn ∙ lim уn = b · c
n→∞
n→∞ n→∞
3)Предел частного равен частному пределов:
lim (хn : уn) = lim хn : lim уn = b : c
n→∞
n→∞ n→∞
4)Постоянный множитель можно вынести за знак предела:
lim (k · хn) = k · lim хn = k · b
n→∞
n→∞

9.

Примеры вычисления пределов
2 x 5 3x 3 1
Пример 1. Вычислить lim 5
2
x x 4 x 2 x
Решение. Делим числитель и знаменатель
дроби каждого элемента на наивысшую из
имеющихся степень переменной x, т.е. на x5.
2 x 5 3x 3
1
3
1
2
x 2 x5
x5
x5
x5
2 x 5 3x 3 1
lim
lim 5
2
4
2
lim
5
2
x
x
4x
2x
x
1
x x 4 x 2 x
3
4
5 5
5
x
x
x
x
x
3
1
3
1
2 lim 2 lim 5 2 0 0
2 2 5 lim
lim
2
x
x x
x x
x
x
x
2
4
2
4
2
1 0 0
1
1
lim
1
lim
lim
lim
x x 3
x x 4
x 3 x 4 x
x

10.

Примеры вычисления пределов
Пример 2. Вычислить
5x3 x 2 1
lim
4
2
x 2 x 3 x 5 x 2
Решение. Делим числитель и знаменатель
дроби каждого элемента на наивысшую из
имеющихся степень переменной x т.е. на x4.
5
1
1
5x3 x 2
1
x x2 x4
x4
x4 x4
5x3 x 2 1
lim
2
lim
3
5
2
lim
4
2
x
2 3x
5x
2
x
2 2 3 4
x 2 x 3 x 5 x 2
4
4
4
4
x
x
x
x
x
x
x
5
1
1
1
1
5
lim
lim
lim
2 4
lim
x x
x x 2
x x 4
x
x
x x
3
5
2
3
5
2
2
2 lim 2 lim 3 lim 4
lim
x 2 x 3 x 4 lim
x
x
x x
x x
x x
0 0 0
0
0
2 0 0 0 2

11.

Примеры вычисления пределов
2x6 x2 i
4
3
Пример 3. Вычислить lim
x x 2 x x
1
i
2x6 x2
i
2 4 6
6 6
6
6
2
x
x
x
x
x
x x i
lim
lim x 4 2 x 3
1
2
1
lim
4
3
x
x
x
x
2
x
x
x
6 6
2
3
5
6
x
x
x
x
x
x
1
i
1
i
lim 2 lim 4 lim 6
2 4 6
lim
x
x x
x x
x
x
n
1
2
1
2
1
1
2 3 5 lim 2 lim 3 lim 5
lim
x x
x x
x
x x x
n x
2 0 0 2
(не существует)
0 0 0 0

12.

Правила вычисления пределов
1. Если старшая степень числителя и
знаменателя совпадают, то предел
такого вида всегда будет равен
отношению коэффициентов при
старших степенях переменной.
2 x 3x 1
2
lim
5
2
x x 4 x 2 x
5
3

13.

Правила вычисления пределов
2. Если степень знаменателя
выше степени числителя, то
предел такого вида равен нулю.
5x x 1
0
lim
4
2
x 2 x 3 x 5 x 2
3
2

14.

Правила вычисления пределов
3. Если же старшая степень числителя
выше степени знаменателя, то, очевидно,
все слагаемые знаменателя в пределе
будут равны нулю, это означает, что
предел не существует.
x x i
lim
4
3
x x 2 x x
6
2

15.

Вычислите самостоятельно пределы функций на
бесконечности:
x4 4x 2
1. lim 2
x 5 x 3 x 1
3x
2. lim 2
x x 3x 7
4
2
x 4x 7
3. lim 2
x x 4 x 3
6 x 3 3x 2 x 1
4. lim
3
2
x
x 13
x

16.

Следующие пределы вычислите самостоятельно
x 5x 6
1. lim
2
x 1 2 x 3 x 5
4 x 2 11x 3
2. lim
x 3
x 3
2 x3 2 x 2
3
2
3. lim
x 0 6 x 4 x
t 2 6t 9
4. lim
2
x 3 t t 6
x 2 4 x 21
5. xlim
3 3 x 2 8 x 3
5a 2 9 a 2
6. lim 2
x 2 3a 5a 2
2 x2 7 x 4
7. xlim
0,5 6 x 2 7 x 2
x 2 8 x 15
8.lim
x 5
x 2 25
2