Прямоугольный тетраэдр

1.

ГАПОУ СО «ЭПЭК»
ГОСУДАРСТВЕННОЕ АВТОНОМНОЕ ПРОФЕССИОНАЛЬНОЕ ОБРАЗОВАТЕЛЬНОЕ
УЧРЕЖДЕНИЕ
САРАТОВСКОЙ ОБЛАСТИ «ЭНГЕЛЬССКИЙ ПРОМЫШЛЕННО-ЭКОНОМИЧЕСКИЙ КОЛЛЕДЖ»
Проект на тему:
прямоугольный тетраэдр
Подготовил: студент 1 курса
А.И.Пешков
Специальность:15.02.12

2.

содержание
1. Введения
2. ОПРЕДЕЛЕНИЕ ПРЯМОУГОЛЬНОГО ТЕТРАЭДРА
3. УГЛЫ В ПРЯМОУГОЛЬНОМ ТЕТРАЭДРЕ
4. Формула проекций граней прямоугольного тетраэдра
5. Объём прямоугольного тетраэдра
6. Пифагоровы тетраэдры
7. Используемая литература

3.

Введения
Геометрия является очень мощным средством развития личности в самом широком
диапазоне творческое развитие, нравственное воспитание, независимость суждений и
поведения. Геометрия, да и математика в целом представляет собой очень
действенное средство для нравственного воспитания человека. В романе «Война и
мир», характеризуя старшего князя Болконского Николая, Л.Н.Толстой пишет: «Он
говорил, что есть только два источника людских пороков: праздность и суеверие, и что
есть только две добродетели: деятельность и ум. Он сам занимался воспитанием своей
дочери и, чтобы развить в ней обе главные добродетели, давал ей уроки алгебры и
геометрии и распределил всю ее жизнь в беспрерывных занятиях».
Уже со времён пифагорейцев и Платона геометрия, арифметика и другие
математические науки рассматривались в качестве образца систематического
мышления и предварительной ступени для изучения философии.

4.

ОПРЕДЕЛЕНИЕ ПРЯМОУГОЛЬНОГО ТЕТРАЭДРА
Многогранник - геометрическое тело, граница (поверхность) которого есть
объединение конечного числа многоугольников.
Тетра́эдр - многогранник с четырьмя треугольными гранями, в каждой из вершин
которого сходятся по 3 грани. У тетраэдра 4 грани, 4 вершины и 6 рёбер. Любая
грань тетраэдра может быть принята за его основание.
Тетраэдр называется прямоугольным, если три плоских угла при одной
вершине прямые.

5.

УГЛЫ В ПРЯМОУГОЛЬНОМ ТЕТРАЭДРЕ
Двугранные углы, каждый из которых
является пересечением двух из трех
полупространств,
образующих
тетраэдр,
называются двугранными углами этого
тетраэдра.
На рисунке 3 плоские углы при вершине B прямые.
Величины α, β, γ, δ, ε, φ плоских углов BCD,
CDB, DAB, ADB, BAC, BCA соответственно
находятся в открытом промежутке от 0˚ до
180˚, так как каждый из них является
пересечением двух полуплоскостей.

6.

Формула проекций граней прямоугольного
тетраэдра
Дано: прямоугольный тетраэдр DABC
Доказать:
Доказательство: Обозначу площади граней
BCD, ACD, ABC и ABD соответственно S1,
S2, S3 и S4 (рис. 11). Плоскость ACD
наклонена к плоскости ABC под углом φ1;
ABD, BCD под углом равным 90˚ =>
Основание высоты из вершины B
прямоугольного тетраэдра DABC попадает
внутрь грани ACD и, используя формулу
ортогональной, проекции получаю:

7.

Объём прямоугольного тетраэдра
Теорема. Объём прямоугольного тетраэдра равен
Дано: ABCD - прямоугольный тетраэдр
Доказать:
Доказательство: ABCD - прямоугольный
тетраэдр, AB=a, BC=b, BD=c
Я знаю, что объем пирамиды находится по
формуле:
где Sосн - площадь основания, h - высота.
Выберу основанием ∆ABC, тогда a будет высотой
прямоугольного тетраэдра. Площадь основания
примет вид
Подставляю в формулу объема пирамиды мои
значения и получаю, что:

8.

Пифагоровы тетраэдры
Пифагоровы треугольники
Сначала дам способ описания всех пифагоровых треугольников. На рисунке треугольник
ОАВ - прямоугольный; длины его катетов обозначены через a и b, а длина гипотенузы через р. Число
условлюсь называть параметром прямоугольного треугольника ОАВ
(или, точнее, параметром «относительно катета а»). Используя
соотношение р2=а2+Ь2, имею
Из этих равенств непосредственно
получаю формулы, выражающие
отношения сторон прямоугольного
треугольника через его параметр

9.

Уравнение пифагоровых тетраэдров
Пусть теперь ОАВС - тетраэдр, у которого плоские углы при вершине О прямые.
Длины ребер, исходящих из вершины О, обозначу через а, Ь, с, а длины трех
других ребер - через p, q, r (рис. 22). Рассмотрю параметры трех прямоугольных
треугольников ОАВ, ОВС, ОСА:
Тогда по формулам (34) можно выразить отношения
сторон этих прямоугольных треугольников через их
параметры:
Из (36) непосредственно вытекает, что параметры ξ, η,
ς удовлетворяют соотношению

10.

Используемая литература
1. https://math.ru/lib/files/pdf/geometry/Ponarin-I.pdf
2. https://infourok.ru/prezentaciya-po-geometrii-tetraedr-441245.html
3. https://ru.wikipedia.org/wiki/%D0%A2%D0%B5%D1%82%D1%80%D0%B0
%D1%8D%D0%B4%D1%80