Проекции прямой. Лекция 2

1.

Лекция 2
Проекции прямой

2. Проекции прямой

Пространственная картина
П2
А2
m
В2
A
B
x
O
А1
B1
Положение прямой m в пространстве определяют две произвольные
точки А и В, лежащие на этой прямой. Это наиболее удобный способ
задания прямой. Прямая линия m считается заданной, если на
комплексном чертеже построить проекции двух ее точек А и В

3. Проекции прямой

Пространственная картина
П2
А2
m
Комплексный чертеж
В2 m
2
A
А2
m2
B
x
O
А1
B2
B1
m1
x
А1
B1
m1
Проекции прямой m проходят через пары соответствующих проекций
точек: горизонтальная проекция прямой m1 – через А1 и В1 ;
фронтальная проекция прямой m2 – через А2 и В2

4. Безосный чертеж

Безосным называется чертеж, на котором
отсутствуют оси проекций
B2
45
А3
y
y
А1
z
А2
B3
B1
k
45
Для построения профильной проекции прямой на безосном чертеже
проводят постоянную чертежа k под углом 45 . С ее помощью по линиям
связи получают профильную проекцию прямой А3 В3 , положение
которой определяется разностями координат z и y

5. Положение прямой относительно плоскостей проекций

z
П2
Метрические
характеристики отрезка:
В2
B
А2
x
A
B1
н.в. – натуральная
величина отрезка;
В3
– угол наклона
отрезка к плоcкости
П1 ;
А3
– угол наклона
А1
отрезка к плоcкости
П2 ;
y
– угол наклона
отрезка к плоcкости
П3

6. Прямая общего положения

Прямая общего положения наклонена ко всем
плоскостям проекций
B2
А2
B3
А3
А1
B1
k
На чертеже проекции отрезка прямой общего положения имеют
искаженные метрические характеристики, ни одна из ее проекций не
параллельна осям координат и не перпендикулярна к ним

7. Прямые частного положения

Прямая частного положения параллельна или
перпендикулярна одной из плоскостей проекций
Прямая, параллельная одной из плоскостей
проекций, называется прямой уровня:
Горизонтальная прямая уровня (горизонталь) h
П1
Фронтальная прямая уровня (фронталь)
f П2
Профильная прямая
p П
Прямая, перпендикулярная одной из плоскостей 3
проекций, называется проецирующей прямой:
Горизонтально проецирующая прямая
П1
Фронтально проецирующая прямая
П2
У прямой частного положения на комплексном чертеже определяются
Профильно
проецирующая
прямая
натуральные
величины каких-либо
ее характеристик.
Прямая уровня
проП3
ецируется
без искажения на ту плоскость проекций, которой она параллельна. Одна из проекций проецирующей прямой вырождается в точку

8. Прямые уровня: горизонталь (h П1)

x
Прямые уровня: горизонталь (h П1)
Пространственная картина
П2
Комплексный чертеж
А2 h2 В2
А2 h2 В2
A
А1
h
B
h1
B1
z=cons
t
z=cons
t
x
А1
h1
н.в.
B1
Все точки прямой АВ равноудалены от горизонтальной плоскости проекций П1 и имеют одинаковую аппликату z= const. Фронтальная
проекция горизонтали А2 В2 параллельна оси х. Горизонтальная
проекция горизон-тали А1 В1 , углы и изображаются в натуральную

9. Прямые уровня: фронталь (f П2)

Прямые уровня: фронталь (f П2)
Пространственная картина
В2
А2
x
f2
y=cons
t
f B
A
А1
В2
н.в.
А2
f2
f1
x
П2
Комплексный чертеж
B1
А1
f1
y=cons
t
B1
Все точки прямой АВ равноудалены от фронтальной плоскости проекций
П2 и имеют одинаковую координату y (y= const). Горизонтальная
проекция фронтали А1 В1 параллельна оси х. Фронтальная проекция
фронтали А2 В2 , углы и изображаются в натуральную величину на П2

10. Прямые уровня: профильная прямая (р П3)

Прямые уровня: профильная прямая (р П3)
Пространственная картина
z
П2
x
В2
В3
р B
2
р
x=const
3
А2
р
А
3
B1
р A
1
А1
Комплексный чертеж
z
В н.в.
В
3
2
x
y
р
2
А2
B1
р
1
А1
р
O
3
А3
y3
x=cons y1
t
Все точки прямой АВ равноудалены от профильной плоскости проекций
П3 и имеют одинаковую координату х (х= const). Горизонтальная А1 В1
и фронтальная А2 В2 проекции прямой перпендикулярны оси х.
Профиль-ная проекция А3 В3 , углы и имеют натуральную величину

11. Горизонтально проецирующая прямая (П1)

Горизонтально проецирующая прямая ( П1)
Пространственная картина
П2
В2
Комплексный чертеж
В2
н.в.
B
А2
А2
x
(А1 ) B1
x
A
(А1 ) B1
Прямая перпендикулярна П1 , поэтому ее горизонтальная проекция А1 В1
вырождается в точку. Относительно П2 и П3 прямая параллельна и
изображается на этих плоскостях проекций в натуральную величину.
Проекция А2 В2 перпендикулярна оси координат х

12. Фронтально проецирующая прямая (П2)

Фронтально проецирующая прямая ( П2)
Пространственная картина
Комплексный чертеж
П2
(В2 ) А2
(В2 ) А2
B
x
x
A
B1
А1
н.в.
B1
А1
Прямая перпендикулярна фронтальной плоскости проекций П2 и параллельна П1 и П3 . Фронтальная проекция А2 В2 вырождается в точку. На
П1 и П3 прямая проецируется в натуральную величину. Проекция А1 В1
перпендикулярна оси координат х

13. Профильно проецирующая прямая (П3)

Профильно проецирующая прямая ( П3)
Пространственная картина
z
Комплексный чертеж
z
П2
В2
B2 А2 (A3) B3
А2
н.в.
x
x
B
B1
н.в.
A
А1
B1 А1
O
y3
y1
y
Прямая перпендикулярна П3 , ее профильная проекция А3 В3
вырождается в точку. Относительно П1 и П2 прямая параллельна, на
этих плоскостях ее проекции имеют натуральную величину.
Горизонтальная и фронталь-ная проекции прямой перпендикулярны

14. Преобразование чертежа прямой общего положения.

15. Способ перемены плоскостей проекций

П
В2
2
В
zА
x
В4
н.в.
А2
В1
П 2 П4
П 4 П1
П4 П1=x1
z П4= z П2
А
А1
А4
П
4
П
zА
x1
1
А2
П2
x
П1
А1
Схема:
zА
x1
П1 П
4
zА
А4
Заменим исходную фронтальную плоскость проекций П2 на новую плоскость
проекций П4 , которой прямая АВ будет параллельна. При этом
преобразовании расстояние точек от плоскости П1 (координата z) остается
неизменным

16. Способ перемены плоскостей проекций

П
x2
2
А5
yА
н.в.
В5
А2
x
А
В
В2
yА
А1
В1
П
5
П 1 П5
П 5 П2
П5 П2=x2
y П5=
y П1
Схема:
П
А2
1
x
А5
yА
П2
П1
А1
П5
П2 x2
yА
Заменим исходную горизонтальную плоскость проекций П1 на новую
плоскость проекций П5 , которой прямая АВ будет параллельна. При этом
преобразовании расстояние точек от плоскости П2 (координата у) остается
неизменным

17.

Определение н.в. отрезка и его углов наклона к
плоскостям проекций (способ замены плоскостей
проекций)
B2
Схема:
А2
П2
x
П1
А1
x
А2
П2
zА
x1
П1 П
4
zА
А4
П1
B1
А1
П1
x
1
П4
А4
н.в.
В4
Ось х1 новой плоскости проекций П4 проведем параллельно горизон-тальной
проекции отрезка А1 В1 . В этом преобразовании сохраняются z-координаты
точек. На П4 определяются натуральная величина отрезка и его угол наклона
к плоскости проекций П1

18.

Определение натуральной величины отрезка и
его углов наклона к плоскостям проекций
н.в.
В5
А5
Схема:
П5
П2
x2
B2
А2
П2
x
П1
zА
А1
x
А2
П2
А5
yА
П1
B1
А2
А1
П1
x
1
П4
x
А4
н.в.
В4
П2
П1
А1
x1
П1 П
4
zА
А4
П5
П2 x2
yА
Ось х2 новой плоскости проекций П5 проведем параллельно фронталь-ной
проекции отрезка А2 В2 . В этом преобразовании сохраняются y - координаты
точек. На П5 определяются натуральная величина отрезка и его угол наклона
к плоскости проекций П2

19.

Определение натуральной величины отрезка и
его углов наклона к плоскостям проекций
Схема:
i2
В2
А2
l2
н.в.
A2
x
А1
B1 l 1
А2
П2
x
П1
А1
А2
А1
i1
1
A
Для упрощения горизонтально-проецирующую ось вращения l проводят через
точку В, которая остается неподвижной. Точка А1 описывает дугу окружности с
центром в точке l1 так, чтобы В1 А1 оси х. Тогда прямая
АВ займет
положение фронтали. На П2 угол и отрезок АВ не искажаются

20.

Определение натуральной величины отрезка и
его углов наклона к плоскостям проекций
Схема:
i2
В2
2
B
i 2 А2
l2
н.в.
A2
x
н.в.
1
B
А1
B1 l 1
i1
1
A
А2
П2
x
П1
А1
А1
А2
П2
x
П1
А1
А2
i1
А2
i2
А1
i1
Для определения угла прямую АВ нужно вращать вокруг оси i П2 до
положения горизонтали. Ось проходит через точку А, которая неподвижна.
Точка В2 вращается по дуге окружности с центром в точке i2 до положения В2
и отрезок АВ не искажаются
А2 оси х. На П1 угол

21.

Определение натуральной величины отрезка и
его углов наклона к плоскостям проекций
Схема:
В2
А2
А2
П2
x
П1
А1
x
А1
B1
Данный отрезок АВ занимает общее положение, преобразуем его во
фронтальную прямую уровня путем перемещения концов отрезка по
горизонтальным плоскостям уровня согласно схемы
А2 Г
А1
2

22.

Определение натуральной величины отрезка и
его углов наклона к плоскостям проекций
Схема:
В2
B2
А2
Г2
н.в.
Г
2
2
A
А2
П2
x
П1
А1
x
А1
B1 В
1
А2 Г
А1
1
A
Горизонтальную проекцию прямой (А1 В1 А 1 В1 ) располагают параллель-но
оси х. Фронтальную проекцию (определяющую н.в. отрезка и угла ) задают
новые проекции точек А2 и В2 , расположенные на соответствую-щих следах
горизонтальных плоскостей уровня Г(Г2 ) и Г(Г2 )
2

23.

Определение натуральной величины отрезка и
его углов наклона к плоскостям проекций
Схема:
2
А
2
B
В2
B2
А2
Г2
н.в.
Г
2
2
A
А2
П2
x
П1
А1
x
н.в.
Ф1
1
B
Ф1
1
А
А1
B1 В
1
1
A
А2
П2
x
П1
Ф
1 А1
А2 Г
2
А1
А2
А1
Для перевода прямой в положение горизонтали фронтальную проекцию
прямой (А2 В2 А2 В2 ) располагают параллельно оси х. Новые проекции точек
А1 и В1 расположены
на соответствующих следах фронтальных плоскостей
уровня Ф(Ф1 ) и Ф (Ф1 ) . На П1 имеем
н.в. отрезка и угла

24. Взаимное положение двух прямых

Пересекающиеся прямые имеют одну общую точку
x
x
АВ СD = K(К1 , К2)
D2
П2
А
В
С
D
=
1 1
1 1
D2
В
2
В2
K
А
В
С
D
=
K
K
1
2
2
2
2
2
2
K2
C2
А
B
А2 C K
2
2
C
C1
D
AC
B1
1
B1
А1 K
А1 K
1
1
D1
D1
Точка пересечения К прямых АВ и СD проецируется в точки пересечения соответствующих проекций прямых: на П1 - это точка К1 ; на П2 точка К2 . Точки пересечения К1 и К2 одноименных проекций прямых
лежат на одной линии связи

25. Взаимное положение двух прямых

Параллельные прямые не имеют общих точек
m2
n2
n m
x
n1
m n
m1
n12
m
n2
m2
n2
x
П2
n1
m1
m1
Проекции параллельных прямых не пересекаются. Одноименные
проекции прямых параллельны или совпадают, если параллельные
прямые лежат в проецирующей плоскости

26. Взаимное положение двух прямых

Скрещивающиеся прямые не пересекаются и
не параллельны между собой
m
m1
n
m1
1
2
x
m n
m2
(12 ) 22
n2
2
n
n2
x
) n2
П2
(12 22 m2
m1
11
m1 11
21
n1
21
n1
Проекции скрещивающихся прямых могут быть параллельны, т.к. прямые m и n лежат в параллельных плоскостях. Проекции
скрещивающихся прямых могут иметь пересечение, т.к. прямые m и n не
параллельны меж-ду собой. 1 и 2 – конкурирующие точки,

27. Теорема о проецировании прямого угла

Если одна сторона прямого угла параллельна плоскости
проекций, а другая ей не перпендикулярна, то прямой угол
проецируется на эту плоскость проекций без искажения
B
A
М1
А1
N1
B1
1
Дано:
C
C1
=90
АВ П1 ;BC
П1
1 = =90
Доказать:
Для доказательства продолжим сторону угла АВ до пересечения с ее
проекцией А1 В1 в точке М1 . Через точку М1 проведем прямую М1 N1 В1
C1 .
Т. к. BC П1 , то BC В1 С1 . Значит, М1 N1 ВС и BM1 N1 =90 . По

28. Теорема о проецировании прямого угла

Дано: b h =
90
b2
Если на чертеже есть
изображение прямого
угла, то одна из его
сторон обязательно
натуральная величина
h2
x
h1
н.в.
b1
Одна из сторон прямого угла является горизонталью (h П1 ), поэтому на
П1 угол
будет прямым. На П2 показаны возможные положения
b1
фронтальной
проекции прямой общего положения b
h
1

29. Теорема о проецировании прямого угла

Задача:
C2
н.в.
D2
f2
x
С1
f1
D1
Построить проекции
перпендикуляра,
проведенного из
точки
С к прямой f
C 2D 2
fD22 D1
D1 C1
Прямая f является фронталью и проецируется на П2 в натуральную
величину. Следовательно, фронтальная проекция перпендикуляра С2 D2
перпендикулярна фронтальной проекции прямой f . Определяем основание перпендикуляра – точку D. Строим горизонтальную проекцию С1 D1

30.

Метрические задачи
Определить расстояние от точки А до прямой l
способом перемены плоскостей проекций
Задача 1.
l2
П2
x П
1
1.П4 П1
П4 l
А2
А1
П
x1 П4
1
l1
А4l4
н.в.
К4
Искомое расстояние есть перпендикуляр. Введем новую плоскость
проекций П4 параллельно прямой l так, чтобы прямая заняла частное
положение уровня. По теореме о проецировании прямого угла проекция
искомого расстояния А4К4 l4 определяется на плоскости проекций П4

31.

Метрические задачи
Определить расстояние от точки А до прямой l
способом перемены плоскостей проекций
Задача 1.
К2 l
2
П2
x П
1
1.П4 П1
П4 l
А5
А2
н.в.
А1
П
x1 П4
1
l5 К
l1
П5
П4 x
К1
А4l4
н.в.
К4
2
5
2. П5
П4
АК-П5 l
искомое
расстоян
ие
При втором преобразовании введем новую плоскость проекций П5
перпендикулярно прямой l так, чтобы прямая заняла проецирующее
положение. На П5 определяем натуральную величину А5 К5
перпендикуляра АК