Методы преобразования плоскостей проекций

1. Лекция 4

Методы преобразования
плоскостей проекций.
•Общие положения
•Замена плоскостей проекций.

2. Общие положения

• Методы преобразования плоскостей
проекций применяются для облегчения
решения какой-либо поставленной
задачи. В пространстве с объектом
ничего не происходит. Все
преобразования выполняются только на
комплексных чертежах.

3. Общие положения

Все методы можно разделить на две группы:
1) Объект жестко зафиксирован в пространстве.
Вокруг него меняется исходный базис (плоскости
проекций П1 и П2) на новый базис так, чтобы объект
отразился в удобном для решения задачи положении
(метод замены плоскостей проекций).
2) Исходный базис (П1 иП2) жестко зафиксирован в
пространстве. Объект перемещается (вращается)
так, чтобы он отразился на исходные плоскости П1 и
П2 в удобном для решения задачи положении
(методы: вращения и плоско- параллельного
перемещения) .

4. Общие положения

• Независимо от метода преобразования,
в задаче выделяется главный элемент, с
которым и выполняются преобразования. Все
остальные элементы (объекты) задачи
являются зависимыми от главного и
преобразуются вместе с ним.
• Главным элементом может быть прямая или
плоскость

5. Общие положения

Типовые задачи:
• Главный элемент – прямая
1) Прямую общего положения преобразовать в
линию уровня
L→ L‘ ‖ П
2) Прямую общего положения преобразовать в
проецирующую
L→ L‘‘┴ П

6. Общие положения

• Главный элемент – плоскость
3) Плоскость общего положения преобразовать
в проецирующую
α→ α‘ ┴ П
4) Плоскость общего положения преобразовать
в плоскость уровня
α → α‘‘ ‖ П

7. Образование комплексного чертежа методом замены плоскостей проекций.

z
À2
П4
ZA
À2
ZA
x1,2
П4
À4
Àz
À4
ZA
x1,2
Àõ
Ах
Àõ
Ах
ZA
АÀхõ
À
Àõ
Ах
À4
x1,4
x1,4
À12
À1
Сущность метода замены плоскостей проекций состоит в том, что предмет
остается неподвижен, а плоскости проекций принимают положение,
удобное для решения задачи. Например, если вместо плоскости П2 взять
плоскость П4, то высота точки (координата Zа) отразится одинаково на
обеих вертикальных плоскостях.

8. Определение натуральной величины отрезка и угла его наклона к плоскости П1 методом замены плоскостей проекций

Отрезок проецируется в
натуральную
1,4
величину в том случае,
B2
если он параллелен
B4
B
П4
плоскости проекций.
Если вместо П2
B4
поставим плоскость П4,
параллельно АВ, то на
À2
À
П4 отрезок
натуральную величину
[ АВ ] ║ П4→А1В1‖ Х1,4
x 1,2
П1
À4
П4
À4
À1
Х1,4
x1
проецируется в
α
B1

9. Определение натуральной величины отрезка и угла его наклона к плоскости П1

Отрезок прямой АВ- общего
положения, поэтому его
проекции на П1 и П2 искажены.
Для нахождения натуральной
величины отрезка [ АВ ] и угла
его наклона к П1 надо
преобразовать прямую АВ в
прямую уровня (фронталь), для
чего необходимо заменить
плоскость П2 на новую П4,
параллельную АВ
[ АВ ] ║П4 → [ А1 В1 ] ║Х1,4
[ А4В4 ] →Натур. величина [ АВ ]
Угол α является углом наклона
прямой к плоскости П1
B2
À2
ZB
ZA
x1,2
B1
À1
x1,4
ZB
ZA
À4
Н.В. [AB]
B4

10. Определение натуральной величины отрезка и угла его наклона к плоскости П2

Для нахождения натуральной
величины отрезка [ АВ ] и угла его
наклона к П2 надо преобразовать
прямую АВ в прямую уровня
(горизонталь), для чего необходимо
заменить плоскость П1 на новую
П4, параллельную АВ
B4
yB
yA
[ АВ ] ║П4 → [ А2 В2 ] ║Х2,4
Отбрасывая плоскость П1,
забираем координаты точек Уа и
Ув и откладываем их на новой
плоскости от оси Х2,4
[ А4В4 ] →Натур. величина [ АВ ]
Угол β является углом наклона
прямой к плоскости П2
Н.В. [AB]
À4
B2
x2,4
À2
x1,2
yB
yA
B1
À1

11. Задача 6.1 (стр.30): Определить расстояние от точки А до прямой ВС методом замены плоскостей проекций

Расстояние от точки А
до прямой ВС =
перпендикуляру,
опущенному из точки
А к прямой ВС.
Решение: Главный
элемент – прямая.
Необходимо прямую
преобразовать в
проецирующую
(2 типовая задача).

12. 1.Отрезок прямой общего положения преобразовываем в прямую уровня.

Для этого заменяем плоскость
П2 на П4, которую ставим
параллельно прямой ВС
(на чертеже Х1,4 ║ [ В1С1 ] )
Отбрасывая плоскость П2,
забираем высоты точек В (Zв)
и С (Zс) и откладываем их
на новую плоскость П4 по
линиям связи от оси Х1,4
[ В4С4 ] = н.в. [ ВС ]

13.

Точка А также
проецируется на
новую плоскость
П4
Забираем высоту
(.)А → (ZА) с
плоскости П2 и
откладываем от
оси Х1,4 по
линии связи на П4 –
получаем
проекцию А4
А2
А2

14. 2. Прямую уровня преобразовываем в проецирующую.

• Для этого
отбрасываем
плоскость П1 и
вместо нее берем
плоскость П5,
перпендикулярно к
прямой ВС.
• Х4,5 ┴ [ В4 С4 ]
• Строим проекции
прямой ВС и точки А
на плоскость П5

15.

Так как отбрасываем
плоскость П1,
забираем с нее
информацию о
удалении точек.
Измеряем
расстояния от В1, А1,
С1 до оси Х1,4 и
откладываем их на
плоскости П5 от оси
Х4,5, получаем
соответственно
проекции В5≡С5, А5
(расстояния
выделены желтым
цветом)

16.

• Соединяем
проекции точек А5
и В5≡ С5. Получаем
натуральную
величину [АО] расстояния от
точки А до прямой
ВС. Точка О
является
основанием
перпендикуляра.
• В5≡ С5 ≡О5

17.

• В задаче необходимо
показать, как выглядят
проекции отрезка [АО]
на исходных
плоскостях проекций:
П1 и П2.
• Т.к. на П5 [АО]
проецируется в
натуральную величину,
следовательно отрезок
АО расположен
параллельно к
плоскости П5.Значит на
П4 проецируется в
прямую, параллельную
оси Х4,5. Через (.)А4
проводим прямую,
параллельную оси Х4,5
и определяем
проекцию (.)О4

18. Далее по линиям связи, перпендикулярно к оси Х1,4 определяем положение проекции О1 и, соединив А1 и О1, получим [А1О1]

19. По линиям связи перпендикулярно оси Х1,2 находим проекцию О2. Соединяем А2 и О2 – получим фронтальную проекцию А2О2

20. Определение натуральной величины двугранного угла

B
необходимо преобразовать его
таким образом, чтобы общее
ребро (линия пересечения двух
плоскостей) стало
проецирующим. Тогда
Ãëàâí û é ýëåì åí ò
величину двугранного угла,
Главный элемент
Чтобы определить натуральную
пространственный угол =
плоскому углу DAC
D
À
C

21. Задача 6.6 (стр.33) Определить натуральную величину двугранного угла

В том случае, если общее
ребро ВС двугранного
угла – прямая общего
положения, задача
решается в два действия
(вторая типовая: прямую
общего положения
преобразовать в
проецирующую).

22.

Ребро ВС двугранного
угла считаем
главным
элементом ( г.э. )
Преобразовываем ребро
[ ВС ] в прямую
уровня.
Вместо плоскости П2
возьмем плоскость
П4, параллельную
ВС
[ ВС ] ║ П4 →
Х1,4 ║ [ В1С1 ] →
Далее определяем
направление
проецирования на
плоскость П4
(линии связи из
всех проекций точек
идут
перпендикулярно
оси Х1,4

23.

• Определяем
проекции точек на
плоскости П4.
Отбрасывая
плоскость П2,
забираем с нее
информацию о
высотах точекZА, ZD, ZВ,ZС и
откладываем по
линиям связи
соответствующих
точек от оси Х1,4
на П4

24.

Соединим проекции
точек А4-В4-С4D4. Получим
проекцию
двугранного угла
на П4
[ В4 С4 ] - н.в.
главного
элемента (Г.Э.)

25. Прямую ВС преобразуем в проецирующую

Вместо
плоскости П1
возьмем
плоскость
П5 ┴ ВС.
На чертеже
новая ось
Х4,5 ┴В4С4

26. Отбрасывая плоскость П1, забираем расстояния от проекций точек А1,В1,С1, D1 до оси Х1,4 и откладываем их на плоскости П5 от оси

Х4,5
Расстояния
выделены
желтым
цветом.
Получаем
проекции
точек
А5, В5≡С5, D5
Как видим,
главный
элемент ВС
проецируется
в точку

27. Соединяем проекции А5, В5≡С5, D5 . Получим натуральную величину плоского угла α, равного двугранному

28. Преобразование плоскости общего положения в проецирующую

Чтобы определить угол наклона плоскости
общего положения к плоскости проекций,
необходимо преобразовать эту плоскость в
проецирующую (3 типовая задача).
Плоскость перпендикулярна другой плоскости,
в том числе плоскости проекций в том
случае, если она содержит в себе прямую,
перпендикулярную этой плоскости.

29. Преобразование плоскости общего положения в проецирующую

Рассмотрим
аксонометрическую
B
B2
модель. Плоскость ΔАВС
является проецирующей
П
по отношению к
плоскости П2, т.к.
горизонталь h, лежащая
в плоскости ΔАВС
h
∩
перпендикулярна П2
À2
П1
C2
B1
∆ АВС
h ┴ П2 → ∆ АВС ┴ П2
N
À
h1
À1
n
C
C1

30. Определение угла наклона плоскости к плоскости проекций П1

Чтобы определить
угол наклона
плоскости общего
положения к
плоскости проекций
П1, необходимо
преобразовать эту
плоскость в
проецирующую по
отношению к П2.

31. Определение угла наклона плоскости к плоскости проекций П1

Задаем в плоскости
ΔАВС горизонталь
на любой высоте,
например через
(.) А. h2 ‖ Х1,2 →
h1 строим по признаку
принадлежности
прямой плоскости
(как проходящую
через (.)А и (.)1)

32.

Вместо П2 ставим
новую стену П4
h ┴ П4 →
На чертеже:
h1 ┴ Х1,4
h1

33.

• С П2 забираем
высоты точек
А,В,С
(координаты ZА,
Zв, Zс) и
откладываем их
от оси Х1,4 на П4
по
соответствующим
линиям связи,
перпендикулярно
оси Х1,4.
h1

34.

• Плоскость
ΔАВС
проецируется на
П4 в линию
А4В4С4
• Угол α – угол
наклона
плоскости ΔАВС
к плоскости П1

35. Определение угла наклона плоскости к плоскости проекций П2

Чтобы определить
угол наклона
плоскости общего
положения к
плоскости проекций
П2, необходимо
преобразовать эту
плоскость в
проецирующую по
отношению к П1.

36.

Задаем в плоскости
ΔАВС фронталь на
любом расстоянии
от П2,
например через (.) С.
f1 ‖ Х1,2 → f2 строим
по признаку
принадлежности
прямой плоскости
(как проходящую
через (.)С и (.)1)

37.

• Вместо П1 ставим
новую плоскость
П4 , которую
располагаем
перпендикулярно к
фронтали
f ┴ П4 →
• На чертеже:
f2 ┴ Х2,4

38.

• С П1 забираем
координаты
удаления точек
А,В,С от стены П2
(координаты
УА, Ув, Ус) и
откладываем их
от оси Х2,4 на П4
по
соответствующим
линиям связи,
перпендикулярно
оси Х2,4.

39.

• Плоскость ΔАВС
проецируется на П4
в линию А4В4С4
• Угол β – угол
наклона плоскости
ΔАВС к плоскости
П2

40. Определение расстояния от точки до плоскости

Задача 6.3. (стр.31)
Определить расстояние от точки А
до плоскости ΔDBC методом
замены плоскостей проекций.
Решение: Кратчайшее расстояние
от точки до плоскости –
перпендикуляр, опущенный из
точки А к плоскости ΔDBC . Сразу
провести проекции
перпендикуляра не сможем, т.к. он
является прямой общего
положения и деформируется (как
и угол 90°) при проецировании.
Но, если плоскость ΔDBC
преобразовать в проецирующую,
то перпендикуляр из точки А на
плоскость деформироваться не
будет.

41. Выбираем главный элемент-плоскость и решаем 3 типовую задачу

Задаем в плоскости
линию уровня,
например
горизонталь h.
• h2 ‖ Х1,2 →
h1 строим по
признаку
принадлежности
прямой
плоскости (как
проходящую
через (.)D и (.)1)

42.

.
Заменим плоскость П2
на новую П4,
перпендикулярную к
горизонтали
h ┴ П4
h1 ┴ Х1,4
→
Построим проекции
всех точек на П4
(линии связи
проводим
перпендикулярно
новой оси Х1,4

43.

Забираем высоты
точек с
плоскости П2
(координаты Z)
и откладываем
на плоскости
П4 по линиям
связи
соответствующих точек от
оси Х1,4.
Получаем
проекции
ΔD4B4C4
(проецируется в
линию) и (.)А4

44. Из точки А опускаем перпендикуляр к плоскости треугольника ΔDBC (А4О4┴ ΔD4B4C4)

[ АО ] –
расстояние от
точки до
плоскости.
А4О4=н.в.
О44

45.

Операцию по замене
плоскости П2 на П4
мы сделали для
облегчения решения
задачи. Необходимо
показать, как
выглядит расстояние
в исходных
проекциях (на П1 и
П2).
Т.к. на плоскость П4
отрезок [АО]
проецируется в
натуральную
величину, значит он
параллелен этой
плоскости.
Следовательно на
П1 его проекция
отразится
параллельно оси
Х1,4
О44

46.

Определим
проекции
[АО] на П1 и
П2:
А1О1‖Х1,4 ;
По линии
связи с О4
определяем
положение
проекции
О1
4

47.

Определим
проекции [АО]
на П2:
находим
проекцию
О2→высота
точки О на П4
и П2
одинакова
(размер
координаты
выделен
желтым
цветом)
О44

48.

• Соединяем
фронтальные
проекции
точек О2 и А2
– получим
проекцию
расстояния
от точки до
плоскости
треугольника
на П2 (О2А2)
4

49. Определение натуральной величины плоской фигуры (задача 6.2 стр.31)

Плоскость
проецируется в
натуральную
величину, если она
расположена
параллельно
плоскости
проекций.
Следовательно,
выполняем 4
типовую задачу.
Главный элементплоскость

50. 1) Плоскость общего положения преобразуем в проецирующую.

• Задаем в
плоскости линию
уровня,
например
горизонталь на
любой высоте,
например через
(.) А. h2 ‖ Х1,2 →
h1 строим по
признаку
принадлежности
прямой
плоскости (как
проходящую
через (.)А и (.)1)

51.

Вместо П2
ставим
новую стену
П4
h ┴ П4 →
На чертеже:
h1 ┴ Х1,4

52.

С П2 забираем
высоты точек
А,В,С
(координаты
ZА, Zв, Zс) и
откладываем их
от оси Х1,4 на
П4 по
соответствующим линиям
связи,
перпендикулярно оси Х1,4.
Получаем
проекции
А4,В4,С4

53.

Плоскость
Δ АВС
проецируется
на П4 в линию
А4В4С4

54. 2) Плоскость П1 заменяем на П5, параллельную плоскости Δ АВС

П1→П5‖ Δ АВС
На чертеже:
Х4,5‖ А4В4С4

55. Строим проекцию Δ АВС на П5. Проводим линии связи, перпендикулярно оси Х4,5

56. Отбрасывая плоскость П1, забираем с нее информацию: удаление точек от стены (координаты точек УА,Ув,Ус) – выделены желтым

цветом- и откладываем на плоскости П5 по линиям связи от оси
Х4,5

57. Соединяем проекции А5В5С5 – получаем натуральную величину Δ АВС

58. Задача 6.5 стр.32

• Построить
проекции
прямой призмы
высотой 20 мм
с основанием
АВС

59. Главный элемент- плоскость. Необходимо выполнить 3 типовую задачу: преобразовать плоскость общего положения в проецирующую

Решение:
1)
Зададим в
плоскости линию
уровня, например –
горизонталь
h2 ‖ Х1,2 →
h1 строим по признаку
принадлежности
прямой плоскости
(как проходящую
через (.)А и (.)1)

60. 2) Вместо П2 возьмем плоскость П4, перпендикулярную к горизонтали

На чертеже
новая ось
Х1,4┴h1

61. Строим проекции точек АВС на П4. Забираем высоты точек АВС с П2 и откладываем на П4

62.

• Соединяем
проекции точек
А4В4С4.
Плоскость
треугольника
проецируется в
линию на П4

63. Т.к. призма прямая, ребра располагаются перпендикулярно основанию и проецируются на П4 в натуральную величину

Откладываем
н.в. ребер
=20 мм

64. А4*В4*С4*- верхнее основание призмы в проекции на П4

65. Необходимо показать, как выглядит призма на плоскостях П1 и П2. Т.к. на П4 проекция ребра С4С4*-натуральная величина,

следовательно оно расположено параллельно к П4, на П1
проецируется параллельно оси Х1,4
С1С1*‖ Х1,4

66. Т.к. ребра параллельны и равны между собой, строим А1А1* ‖ В1В1* ‖ С1С1* и А1А1* = В1В1* = С1С1* (выделены желтым цветом)

67. Для построения проекций ребер на П2 рассмотрим ребро ВВ*. Через проекцию (.)В1* проведем линию связи и с П4 заберем размер

высоты точки В* над плоскостью П1 (Zв*)
Отложим
данный
размер
на
плоскости
П2 на
линии
связи с
(.)В1* от
оси Х1,2
Получим
проекцию
точки В
на П2В2*

68. На П2 проекции А2А2* ‖ В2В2* ‖ С2С2* и А2А2* = В2В2* = С2С2*

69. Завершаем построение верхнего основания призмы на П1 и П2

70. Определяем видимость на П1. Рассмотрим накладку проекций А1В1 и А1*С1* (21≡31). Какая из прямых располагается выше над

плоскостью П1? На другой плоскости П2 видно, что (.)22 выше
Вывод:
Видима
прямая
А*С*

71. Следовательно, когда смотрим на плоскость П1, видим верхнее основание А*В*С*

72. Определяем видимость на П2. Рассмотрим накладку проекций А2С2 и В2*С2* (42≡52). Какая из прямых располагается дальше от стены

П2 ? Восстанавливаем линию связи и видим, что на
плоскости П1 дальше располагается (.)41, лежащая на В1*С1*
Вывод: На
П2
видима
В*С*

73. Следовательно, когда смотрим на плоскость П2, видим верхнее основание А*В*С*