Окружность и эллипс

1.

Окружность и эллипс относятся к кривым
второго порядка, которые описываются
уравнениями второй степени с двумя
переменными.
Пусть дана окружность радиуса R с центром в
точке О(х0,у0). Найдем ее уравнение.
Выберем на окружности произвольную точку
М(х,у).

2.

M ( x, y)
R
O( x0 , y0 )

3.

Для точки М выполняется равенство:
OM R
Используем формулу расстояния между двумя
точками:
( x x0 ) ( y y0 ) R
2
2
Возводим обе части выражения в квадрат:
( x x0 ) ( y y0 ) R
2
2
2

4.

Если центр окружности
координат (0,0):
лежит
x y R
2
2
2
в
начале

5.

ЭЛЛИПСОМ называется множество
точек плоскости, сумма расстояний от
каждой до двух данных точек,
называемых фокусами, есть величина
постоянная.

6.

y
M ( x, y)
2b
F2
F1
2a
x

7.

Введем обозначения:
F1 (c;0)
F2 ( c;0)
F1F2 2c
a – большая полуось эллипса
b – малая полуось эллипса
Для любой точки М(х,у), принадлежащей
эллипсу,
по
определению
выполняется
равенство:
F1M MF2 2a

8.

Для того, чтобы точка М(х,у)
принадлежала эллипсу, необходимо и
достаточно, чтобы ее координаты
удовлетворяли уравнению
2
2
x
y
2 1
2
a
b
где
b a c
2
2
2
1

9.

Покажем, что координаты точки, принадлежащей
эллипсу, удовлетворяют уравнению (1).
Т.к. точка М(х,у) принадлежит эллипсу, то по
определению эллипса, должно выполнятся
условие
F1M F2 M 2a
Выразим каждое расстояние по
расстояния между двумя точками:
F1 (c;0)
M ( x; y)
формуле
F1M ( x c) y
2
2

10.

F2 ( c;0)
M ( x; y)
F2 M ( x c) y
2
2
Тогда:
F1M F2 M ( x c) y ( x c) y 2a
2
2
2
2
( x c ) 2 y 2 2a ( x c ) 2 y 2

11.

Возводим в квадрат обе части выражения:
( x c) y 4a 4a ( x c) y ( x c) y
2
x 2cx c 4a 4a ( x c) y x 2cx c
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
a ( x c) y a cx
2
2
2

12.

Возводим в еще раз квадрат:
a x 2a xc a c a y a 2a cx c x
2
2
2
2 2
2
2
4
2
2 2
a x c x a y a a c
2
2
2
2
2
2
4
2 2
x ( a c ) a y a (a c )
2
2
2
b
2
2
2
2
Делим все выражение на
2
2
b
2
ab
2
2

13.

2
2
x
y
1
2
2
a
b

14.

Отношение фокусного расстояния к
длине большой оси эллипса называется
ЭКСЦЕНТРИСИТЕТОМ
2c c
2a a

15.

c a
Для эллипса
c
a b
b
2
1 2
2
a
a
a
2
2
2
2
2
Следовательно, для эллипса
0 1
Чем меньше отношение малой и большой полуосей,
тем больше эксцентриситет и тем более
вытянутым будет эллипс вдоль оси х, и наоборот.
При b a 0 имеем окружность.

16.

2
Пусть дан эллипс:
2
x
y
2 1
2
a
b
Это уравнение эквивалентно
параметрических уравнений:
системе
двух
x a cost
y b sin t
Проверим:
x a cos t
2
2
2
y b sin t
2
2
2
a 2 cos2 t b 2 sin 2 t
2
2
cos
t
sin
t 1
2
2
a
b

17.

x a cost
y b sin t